CHAPITRE II

contient x et t,' à devenir nulle, lorsqu'on donne à x sa valeur totale X égale au rayon de la sphère , quelle que soit d'ailleurs la valeur de t. On aurait donc dans cette hypothèse, en désignant par 9 {x, t) la fonction de x et t , qui doit donner la valeur de v, les deux équations

dv K / d* v a dv\ /v » ^=ÏTD(2^ + i-3ï)et'>(X>')- = 0

de plus il faut que l'état initial soit représenté par cette même fonction 9 {x , t); on aura donc pour seconde condition f(x, 0)== 1. Ainsi l'état variable d'une sphère solide dans la première hypothèse que nous avons décrite, sera représenté par une fonction v, qui doit satisfaire aux trois équations précédentes. La première est générale, et convient à chaque instant à tous les points de la masse; la seconde affecte les seules molécules de la surface, et la troisième n'appartient qu'à l'état initial.

Si le solide se refroidit dans l'air, la seconde équation est différente ; il faut alors concevoir que l'enveloppe extrêmement mince, est retenue par une cause extérieure, dans un état propre à faire sortir à chaque instant de la sphère , une quantité de chaleur égale à celle que la présence du milieu peut lui enlever.

Or la quantité de chaleur qui , pendant la durée d'un instant infiniment petit d t, s'écoule dans l'intérieur du solide, à travers la surface sphérique placée à la distance x,

est égale à — 4 K * x1 ^ d t; et cette expression générale est

applicable à toutes les valeurs de x. Ainsi, en y supposant x = X, on connaîtra la quantité de chaleur qui, dans l'état.

no THÉORIE DE LA CHALEUR.

variable de la sphère, passerait à travers l'enveloppe extrêmement mince qui la termine; d'un autre côté, la surface extérieure du solide ayant une température variable, que nous désignerons par V, laisserait échapper dans l'air une quantité de chaleur proportionnelle à cette température , et à l'étendue de la surface, qui est 4* X\ Cette quantité a pour valeur 4 A w X1 V d t.

Pour exprimer, comme on le suppose, que l'action de l'enveloppe remplace à chaque instant celle qui résulterait de la présence du milieu , il suffit d'égaler la quantité 4 h « X1 V dt

à la valeur que reçoit l'expression — ^K-nX'.^dt, lorsqu'on donne à x sa valeur totale X ; et l'on obtient par-là l'équation ~ = — ^ v, qui doit avoir lieu lorsque dans les

fonctions ^ et v on met, au lieu de x, sa valeur X, ce que l'on désignera en écrivant + h V=o.

Ilîaut donc que la valeur de^, prise lorsque ar=X, ait un rapport constant — ^ avec la valeur de v, qui répond au

même point. Ainsi, on supposera que la cause extérieure du refroidissement détermine toujours l'état de l'enveloppe extrêmement mince , en sorte que la valeur de ^ qui résulte de

cet état, soit proportionnelle à la valeur de v, correspondante à x=X, et que le rapport constant de ces deux quantités

soit — g-. Cette condition étant remplie au moyen d'une

cause toujours présente , qui s'oppose à ce que la valeur