CHAPITRE II. m

extrême de ^ soit autre que — ^ i>, l'action de l'enveloppe

tiendra lieu de celle de l'air.

Il n'est point nécessaire de supposer que l'enveloppe extérieure soit extrêmement mince , et l'on verra par la suite qu'elle pourrait avoir une épaisseur indéfinie. On considère ici cette épaisseur comme infiniment petite , pour ne fixer l'attention que sur l'état de la superficie du solide.

Il suit de là que les trois équations qui doivent déterminer la fonction 9 (fc, t) ou v sont les suivantes,

dv K (d*v a dv\ K d\ /v . .

La première a lieu pour toutes les valeurs possibles de x et de t; la seconde est satisfaite lorsque #=X, quelle que soit la valeur de t, et la troisième est satisfaite lorsque t = 0, quelle que soit la valeur de x.

On pourrait supposer que dans l'état initial, toutes les couches sphériques n'ont pas une même température; c'est ce qui arrive nécessairement , si l'on ne conçoit pas que l'immersion ait duré un temps infini. Dans ce cas, qui est plus général que le précédent, on représentera par Fx, la fonction donnée , qui exprime la température initiale des molécules placées à la distance x du centre de la sphère; on remplacera alors la troisième équation par celle-ci, y(x, o)=Fx.

Il ne reste plus qu'une question purement analytique dont on donnera la solution dans l'un des chapitres suivants. Elle consiste à trouver la valeur de v, au moyen de la condition générale , et des deux conditions particulières auxquelles elle est assujétie.

SECTION III

Équations du mouvement varié de la chaleur dans un

cylindre solide.

Un cylindre solide, d'une longueur infinie, et dont le côté est perpendiculaire à la base circulaire, ayant été entièrement plongé dans un liquide dont la température est uniforme, s'est échauffé successivement , en sorte que tous les points également éloignés de l'axe, ont acquis la même température; on l'expose ensuite à un courant d'air plus froid ; il s'agit de déterminer les températures des différentes couches, après un temps donné.

x désigne le rayon d'une surface cylindrique, dont tous les points sont également distants de l'axe; X est le rayon du cylindre; v est la température que les points du solide, situes à la distance x de l'axe, doivent avoir après qu'il s'est écoulé un temps désigné par t, depuis le commencement du refroidissement. Ainsi v est une fonction de x et de t, et si l'on y fait f=o, il est nécessaire que la fonction de x, qui en proviendra, satisfasse à l'état initial qui est arbitraire.

On considérera le mouvement de la chaleur dans une portion infiniment peu épaisse du cylindre, comprise entre la surface dont le rayon est x, et celle dont le rayon est x + dx. La quantité de chaleur que cette portion reçoit pendant l'instant d t, de la partie du solide qu'elle enveloppe, c'està-dire, la quantité qui traverse pendant ce même temps la surface cylindrique dont le rayon est x, et à laquelle nous