CHAPITRE II. n

supposons une longueur égale à l'unité, a pour expression

— 2K x x^^dt. Pour trouver la quantité de chaleur , qui,

traversant la seconde surface dont le rayon est x + dx, passe de la couche infiniment peu épaisse dans la partie du solide qui l'enveloppe, il faut, dans l'expression précédente, changer x en x + dx, ou, ce qui est la même chose, ajouter

au terme — x^~dt, la différentielle de ce terme,

prise par rapport à x. Donc la différence de la chaleur reçue à la chaleur perdue, ou la quantité de chaleur qui, s'accumulant dans la couche infiniment petite détermine les changements de température, est cette même différentielle, prise

avec un signe contraire, ou aKit</î^a;^j; d'un autre

côté, le volume de cette couche intermédiaire est 2 -kx d x et zGDizxdx exprime ce qu'il faut de chaleur pour l'élever de la température o à la température 1 , C étant la chaleur spécifique, et D la densité; donc le quotient

aC. Utcxdx

est l'accroissement que reçoit la température pendant l'instant d t. On obtient ainsi l'équation :

d v K. / d'v 1 dv

K. / d*v 1 dv \

75 {dp + xdx y

dt— CD

La quantité de chaleur qui traverse, pendant l'instant de, la surface cylindrique dont le rayon est x, étant généralement exprimeé par 2 K ic ;r ^ dt , il s'ensuit que l'on

u4 THÉORIE DE LA CHALEUR.

trouvera celle qui sort pendant le même temps de la super' ficie du solide, en faisant, dans la valeur précédente, x=X; d'un autre côté , cette même quantité qui se dissipe dans l'air est, selon le principe de la communication de la chaleur, égale à 2 * X hvdt; on doit donc avoir à la surface 1 equa-

tion déterminée — K^ = «u La nature de ces équations

est expliquée avec plus d'étendue, soit dans les articles qui se rapportent à la sphère, soit dans ceux où l'on donne les équations générales pour un corps d'une figure quèlconque. La fonction v, qui représente le mouvement de la chaleur dans un cylindre infini doit donc satisfaire, i° à l'équation

, , , dv K / d* v i dv\ ,. ,i

générale = (^ — + -^j,quia heu quelles que

soient x et t; 2° à l'équation déterminée ~ v -\- o, qui

a lieu , quelle que soit la variable t , lorsque x = X ; 3° à 1 équation déterminée v=F(ar). Cette dernière condition doit être remplie pour toutes les valeurs de v, où l'on fait f=o, quelle que soit la variable x. La fonction arbitraire Fx est supposée connue, et elle correspond à l'état initial.

SECTION IV

Équations du mouvement uni/orme de la chaleur dans un prisme solide d'une longueur infinie.

Une barre prismatique est plongée par une de ses extrémités dans une source constante de chaleur qui maintient cette extrémité à la température A; le reste de cette barre, dont la longueur est infinie , demeure exposé à un courant