CHAPITRE II. nS

uniforme d'air athmosphérique entretenu à la température o; il s'agit de déterminer la plus haute température qu'un point donné de la barre puisse acquérir.

Cette question diffère de celle de l'article 73 , en ce qu'on a égard ici à toutes les dimensions du solide , ce qui est nécessaire pour que l'on puisse obtenir une solution exacte. En effet, on est porté à supposer que dans une barre d'une très-petite épaisseur, tous les points d'une même tranche acquièrent des températures sensiblement égales ; cependant il peut rester quelque incertitude sur les résultats de cette supposition. II est donc préférable de résoudre la question rigoureusement , et d'examiner ensuite, par le calcul, jusqu'à quel point, et dans quel cas, on est fondé à regarder comme égales les températures des divers points d'une même section.

La section faite perpendiculairement à la longueur de la barre , est un quarré dont le côté est 2 / , Taxe de la barre est l'axe des x, et l'origine est à l'extrémité A. Les trois coordonnées rectangulaires d'un point de la barre sont x, y, z , la température fixe du même point est désignée par v.

La question consiste à déterminer les températures que l'on doit donner aux divers points de la barre, pour qu'elles continuent de subsister sans aucun changement, tandis que la surface extrême A, qui communique avec la source de chaleur, demeure assujétie, dans tous ses points, à la température permanente A; ainsi v est une fonction de x, de / et de z.

On considérera le mouvement de la chaleur dans une molécule prismatique, comprise entre six plans perpendiculaires

n6 THÉORIE DE LA CHALEUR.

aux trois axes des x, des y et des z. Les trois premiers pla passent par le point m , dont les coordonnées sont x, y, z et les autres passent par le point m, dont les coordonnées sont x -+- dx, y + dy, z + d,z.

Pour connaître la quantité de chaleur qui, pendant l'unité de temps, pénètre dans la molécule, à travers le premier plan passant par le point m , et perpendiculaire aux x, il faut considérer que la surface de la molécule qui est située sur ce plan , a pour étendue d z dy, et que le flux qui traverse

cette aire est égal , suivant le théorème de l'art. 98 , à — K

ainsi la molécule reçoit à travers le rectangle dx dy, passant par le point m, une quantité de chaleur exprimée

par — K dx dy Pour trouver la quantité de chaleur qui

traverse la face opposée , et sort de la molécule , il faut substituer, dans l'expression précédente, x + dxkx, ou ce qui est la même chose, ajouter à cette expression sa différentielle prise par rapport à x seulement ; on en conclut que la molécule perd , par sa seconde face perpendiculaire aux x, une quantité de chaleur équivalente à

on doit par conséquent la retrancher de celle qui était entrée par la face opposée; la différence de ces deux quantités est

Kdz . dyd (J^^, ou Kdzdydx^^;

elle exprime combien il s'accumule de chaleur dans la molécule, à raison de la propagation suivant le sens des x; et cette chaleur accumulée ferait varier la température de la