CHAPITRE I. g

la surperficie; elle varie aussi selon le milieu dans lequel le corps est plongé ; mais la conducibilité propre ne peut changer qu'avec la nature du solide.

Ces trois qualités élémentaires sont représentées dans nos formules par des nombres constants, et la théorie indique elle-même les expériences propres à en mesurer la valeur. Dès qu'ils sont déterminés, toutes les questions relatives à la propagation de la chaleur ne dépendent que de l'analyse numérique. La connaissance de ces propriétés spécifiques peut être immédiatement utile dans plusieurs applications des sciences physiques; elle est d'ailleurs un élément de l'étude et de la description des diverses substances. C'est connaître très-imparfaitement les corps, que d'ignorer les rapports qu'ils ont avec un des principaux agents de la nature. En général, il n'y a aucune théorie mathématique qui ait plus de rapport que celle-ci avec l'économie publique , puisqu'elle peut servir à éclairer et à perfectionner l'usage des arts nombreux qui sont fondés sur l'emploi de la chaleur.

La question des températures terrestres offre une des plus belles applications de la théorie de la chaleur; voici l'idée générale que l'on peut s'en former. Les différentes parties de la surface du globe sont inégalement exposées à l'impression des rayons solaires; l'intensité de cette action dépend de la latitude du lieu ; elle change aussi pendant la durée du jour et pendant celle de l'année, et est assujétie à d'autres inégalités moins sensibles. Il est évident qu'il existe, entre cet état variable de la surface et celui des températures intérieures, une relation nécessaire que l'on peut déduire de la

io THÉORIE DE LA CHALEUR.

théorie. On sait qu'à une certaine profondeur au-dessous de la surface de la terre, la température n éprouve aucune variation annuelle dans un lieu donné : cette température permanente des lieux profonds est d'autant moindre, que le lieu est plus éloigné de l'équateur. On peut donc faire abstraction de l'enveloppe extérieure, dont l'épaisseur est incomparablement plus petite que le rayon terrestre , et regarder cette planète comme une masse presque sphérique, dont la surface est assujétie à une température qui demeure constante pour tous les points d'un parallèle donné, mais qui n'est pas la même pour un autre parallèle. Il en résulte que chaque molécule intérieure a aussi une température fixe déterminée par sa position. La question mathématique consisterait à connaître la température fixe d'un point donné, et la loi que suit la chaleur solaire en pénétrant dans l'intérieur du globe.

Cette diversité des températures nous intéresse davantage, si l'on considère les changements qui se succèdent dans l'enveloppe même dont nous habitons la superficie. Ces alternatives de chaleur et de froid, qui se reproduisent chaque jour et dans le cours de chaque année, ont été jusqu'ici l'objet d'observations multipliées. On peut aujourd'hui les soumettre au calcul, et déduire d'une Théorie commune tous les faits particuliers que l'expérience nous avait appris. Cette question se réduit à supposer que tous les points de la surface d'une sphère immense sont affectés de températures périodiques ; l'analyse fait ensuite connaître suivant quelle loi l'intensité des variations décroît à mesure que la profondeur augmente; quelle est, pour une profondeur donnée, la quantité des changements annuels ou

CHAPITRE I. ii diurnes, 1 époque de ces changements, et comment la valeur fixe de la température souterraine se déduit des températures variables observées à la surface.

Xes équations générales de la propagation de la chaleur sont aux différences partielles , et quoique la forme en soit très -simple, les méthodes connues ne fournissent aucun moyen général de les intégrer; on ne pourrait donc pas en déduire les valeurs des températures après un temps déterminé. Cette interprétation numérique des résultats du calcul est cependant nécessaire, et c'est un degré de perfection qu'il serait très-important de donner à toutes les applications de l'analyse aux sciences naturelles. On peut dire que tant qu'on ne l'a pas obtenu, les solutions demeurent incomplètes ou inutiles, et que la vérité qu'on se proposait de découvrir n'est pas moins cachée dans les formules d'analyse, qu'elle ne l'était dans la question physique elle-même. Nous nous sommes attachés avec beaucoup de soin , et nous sommes parvenus à surmonter cette difficulté dans toutes les questions que nous avons traitées , et qui contiennent les éléments principaux de la Théorie de la chaleur. Il n'y a aucune de ces questions dont la solution ne fournisse des moyens commodes et exacts de trouver les valeurs numériques des températures acquises, ou celles des quantités de chaleur écoulées, lorsqu'on connaît les valeurs du temps et celles des coordonnées variables. Ainsi l'on ne donnera pas seulement les équations différentielles auxquelles doivent satisfaire les fonctions qui expriment les valeurs des températures; on donnera ces fonctions

elles-mêmes sous une forme qui facilite les applications numériques.

Pour que ces solutions fussent générales et qu'elles eussent une étendue équivalente à celle de la question , il était nécessaire qu'elles unissent convenir avec l'état initial des températures qui est arbitraire. L examen de cette condition fait connaître que l'on peut développer en séries convergentes, ou exprimer par des intégrales définies, les fonctions qui ne sont point assujéties à une loi constante, et qui représentent les ordonnées des lignes irrégulières ou . discontinues. Cette propriété jette un nouveau jour sur la Théorie des équations aux différences partielles, et étend l'usage des fonctions arbitraires en les soumettant aux procédés ordinaires de l'analyse.

Il restait encore à comparer les faits avec la Théorie. On a entrepris, dans cette vue, des expériences variées et précises, dont les résultats sont conformes à ceux du calcul, et lui donnent une autorité qu'on eût été porté à lui refuser dans une matière nouvelle, et qui parait sujette à tant d'incertitudes. Ces expériences confirment le principe dont on est parti , et qui est adopté de tous les physiciens , malgré la diversité de leurs hypothèses sur la nature de la chaleur.

L'équilibre de température ne s'opère pas seulement par la voie du contact, il s'établit aussi entre les corps séparés les uns des autres, et qui demeurent long -temps placés