CHAPITRE II

dv K /efrv d'v d*-v\

Tt ~ cTd \d? + JJ' + 7?)'

En effet, considérons le mouvement de la chaleur dans une molécule comprise entre six plans perpendiculaires aux axes des x, des y, et des z; les trois premiers de ces plans passent par le point m, dont les coordonnées sont x, y, z, et les trois autres passent par le point m', dont les coordonnées sont a: + dx ,y -f- dy, z + dz.

La molécule reçoit pendant l'instant dt, k travers le rectangle inférieur dx dy, qui passe par le point m, une

quantité de chaleur égale à — K dx dy ^ d t. Pour connaître la quantité qui sort de la molécule par la face opposée, il suffit de changer dans l'expression précédente 2enz + dz, c'est-à-dire d'ajouter à cette expression sa propre différentielle prise par rapport à z seulement ; on aura donc

— Kdx.dy~dt — K dx.dy d (jp-) dz dt

dz

pour la valeur de la quantité qui sort à travers le rectangle supérieur. La même molécule reçoit encore à travers le premier rectangle dx dz qui passe par le point m, une quantité de chaleur égale à — K ^ dx.dz.d t; et si l'on ajoute

à cette expression sa propre différentielle prise par rapport à y seulement , on trouve que la quantité qui sort à travers la face opposée dx dz, a pour expression

— K^dx dz dt — K dy dx dz dt.

i36 THÉORIE DE LA CHALEUR.

Enfin cette molécule reçoit, par le premier rectangle dy dz une quantité de chaleur égale à — K^j- dy dz dt, et ce

qu'elle perd à travers le rectangle opposé, qui passe par m', a pour expression

R i2L dy dz dt — K cl (££) dx dy dz dt.

Il faut maintenant prendre la somme des quantités de chaleur que la molécule reçoit, et en retrancher la somme de celles qu'elle perd. On voit par- là qu'il s'accumule durant l'instant dt dans l'intérieur de cette molécule, une quantité

totale de chaleur égale à H- j-p + ^j^dx dy dzdt.

Il ne s'agit plus que de connaître quel est l'accroissement de température qui doit résulter de cette addition de chaleur.

D étant la densité du solide, ou le poids de l'unité de volume, et C la capacité spécifique, ou la quantité de chaleur qui élève l'unité de poids de la température o à la température i ; le produit CD dx dy dz exprime combien il faut de chaleur pour élever de o à i la molécule dont le volume est dx dy dz. Donc en divisant par ce produit la nouvelle quantité de chaleur que la molécule vient d'acquérir, on aura son accroissement de température. On obtient ainsi l'équation générale

d v K ld* v d* v d* v\

~di — (Td [d^ "*~ dj\+ d7'\ ' W

qui est celle de la propagation de la chaleur dans l'intérieur de tous les corps solides.