CHAPITRE II. i

Considérons l'état variable d'un solide dont la chaleur se dissipe dans l'air, entretenu à une température fixe o. Soit <» une partie infiniment petite de la surface extérieure , et (* un point de w, par lequel on fait passer une normale à la surface ; les différents points de cette ligne ont au même instant des températu res différentes.

Soient v la température actuelle du point jx., prise pour un instant déterminé, et w la température correspondante d'un point v du solide pris sur la normale, et distant du point (x d'une quantité infiniment petite a. Désignons par x, y, z, les coordonnées du point et par

x -t- $ x, y+&y, z-\-$Zf

celles du point v; soient f (x,y> z) — o l'équation connue de la surface du solide, et v=y(x, y, z, t) l'équation générale qui doit donner la valeur de v en fonction des quatre variables x, y, z, t. En différentiant lequationy(x,y, z)=o, on aura mdx -f- n dy+p dz=o; m, n,p sont des fonctions de x,y, z.

Il résulte du corollaire énoncé dans l'article i4i , que le flux y dans le sens de la normale , ou la quantité de chaleur qui traverserait pendant l'instant dt la surface w, si on la plaçait en un point quelconque de cette ligne, perpendiculairement à sa direction , est proportionnelle au quotient que l'on obtient en divisant la différence de température de deux points infiniment voisins par leur distance. Donc l'expression de ce flux à l'extrémité de la normale est

K désignant la conducibilité spécifique de la masse. D'un

i4o THEORIE DE LA CHALEUR.

autre côté la surface <•» laisse échapper dans l'air, pendant l'instant dt , une quantité de chaleur égale a hwdt; h étant la conducibilité relative à l'air atmosphérique. Ainsi le flux de chaleur à l'extrémité de la normale a deux expressions

différentes , savoir : hwdtet — k ^zzZ d t; donc ces deux

quantités sont égales; et c'est en exprimant cette égalité, que l'on introduira dans le calcul la condition relative à la surface.

On a w=v + $v=v + $ x + ^ $ y 4- ^ £ z. Or, il

suit des principes de la géométrie, que les coordonnées Sx, èy,dz, qui fixent la position du point v de la normale par rapport au point pi, satisfont aux conditions suivantes :

On a donc

1 / d v d v dv\ ^

on a aussi

« = \/l +èy + S s' = l- (m' + /*' + />' y$z, * ou a=2$ z, en désignant par q la quantité

donc

w — v / dv dv dv\ 1

par conséquent l'égalité

hvvdt^—ïcÇ^ydt