CHAPITRE III

tion ^ ■+- = o. On connaît ainsi la route que suit la

chaleur qui sort du foyer A. Elle se propage dans le sens des x, et en même temps elle se décompose en deux parties, dont l'une se dirige vers une des arêtes , tandis que l'autre partie continue de s'éloigner de l'origine , pour être décomposée comme la précédente et ainsi de suite à l'infini. La surface que nous considérons est engendrée par la courbe trigonométrique, qui répond à la base A, et se meut perpendiculairement à l'axe des x en suivant cet axe , pendant que chacune de ses ordonnées décroît à l'infini , proportionnellement aux puissances successives d'une même fraction.

On tirerait des conséquences analogues, si les températures fixes de la base A étaient exprimées par le terme

b cos. 3jouc cos. 5 y etc. ;

et l'on peut, d'après cela, se former une idée exacte du mouvement de la chaleur dans les cas plus généraux; car on verra par la suite que ce mouvement se décompose toujours en une multitude de mouvements élémentaires, dont chacun s'accomplit comme s'il était seul.

SECTION II

Premier exemple de l'usage des séries trigonométriques dans

la théorie de la c/uzleur.

Nous reprendrons maintenant l'équation 1 = a cos.y + b cos. 3/ -+- c cos. By-\-d cos. 77 -1- etc. ,

dans laquelle il faut de'terminer les coefficients a, b, c, d, etc. Pour que cette équation subsiste, il est nécessaire que les constantes satisfassent aux équations que l'on obtient par des difiërentiations successives, ce qui donne les résultats suivants :

i = d cos. y+b cos.3j>*+ ccos.Sy-¥ dcos. jy + ete. o = a sin. y +3 bsiu.3y + 5 csin. 5/ 4-7 rfsin. 7^-4- etc. o = acos.y+3'bcos. 3/4- 5,ccos.5j4-7></cos. 77 + etc. o = a sin. j4-33£cos.3/4-5,ccos.5y4-73rfcos. •jy + etc. ,

ainsi de suite à l'infini.

Ces équations devant avoir lieu lorsque x=o, on aura

i=a-+- b + c-\- d 4- e 4- f+g+,.. etc.

o = a + 3*6 4- 5'c4- fd+ Q'e 4- 1 r/+ . . . etc.

o = a 4- 3* b 4- 5*tf -4- fd 4- 9*e 4- . . . etc.

o = fl + 36i + 5,c+76^+... etc.

o = a 4- 3* b 4- 5'c 4- . . . etc.

Le nombre de ces équations est infini comme celui des indéterminées a,b,c,d,e. . . etc. La question consiste à éliminer toutes les inconnues , excepté une seule.

Pour se former une idée distincte du résultat de ces éliminations, on supposera que le nombre des inconnues a, b, c, d . . . etc. , est d'abord défini et égal à m. On emploiera les w, premières équations seulement, en effaçant tous les termes

CHAPITRE III. 169 où se trouvent les inconnues qui suivent les m premières. Si l'on fai t successivement m = 2 , m = 3 , m = 4 1 m = 5 > a i nsi de suite, on trouvera dans chacune de ces suppositions, les valeurs des indéterminée?. La quantité a , par exemple, recevra une valeur pour le cas de deux inconnues, une autre pour le cas de trois inconnues, ou pour le cas de quatre inconnues, ou successivement pour un plus grand nombre. Il en sera de même de l'indéterminée b, qui recevra autant de valeurs différentes que l'on aura effectué de fois l'élimination ; chacune des autres indéterminées est pareillement susceptible d'une infinité de valeurs différentes. Or la valeur d'une des inconnues, pour le cas ou leur nombre est infini, est la limite vers laquelle tendent continuellement les valeurs qu'elle reçoit au moyen des éliminations successives. Il s'agit donc d'examiner si, à mesure que le nombre des inconnues augmente, chacune des valeurs a, b, c, d,. . . etc. ne converge point vers une limite finie, dont elle approche continuellement.

Supposons que l'on emploie les sept équations suivantes : 1 = a+ b+ c-fv d+ e -f- /+ g

C+ 7' 9' €+ II1 f-\r l3* g

o = fl+ 3* b 4-5* e+ il4 /-f- i34 g

o = a + 36 b -+- 56 c + 7' d -+- 9* e -f- 1 16 /+ i3* g o = «-+-3' b + 5* c+f d+tf en- ii* / •+- i3* g o = <i + 3,1H5,,c + 7,,</ + 9,,e + 11"/+ o = tf+3"£ + 5"c + 7'*ÉJ + 9"€+ir,/-,-i3"g-.

aa

i7o THÉORIE DE LA CHALEUR.

Les six équations qui ne contiennent plus g, sont :

r(i3« — x»)+ *(i3»— 3')+ c(\V— 5')-+- </(i3'— 7')+- *(i3*— 9')+ /(i3'-n i (,3«,»)4.3' J(i3*— 3')+5' c (i3«— 5')-f-7* </(»3'— 7')+9* * (i3*— 9')+! i*/(t3»-i< t(i3*— r)+5**(i3*— 3')+ï«c(i3'— 5l) j-^rf^S'— 7-)+9« e(i3*— g0+ii«/(i3'-ir t(I3w)+3s*(i3'-3')4-5"r(i4'5>7V(.3'~7'>9V(i3'-9')+1iy(,3'-H (,$. ,')+3' 4{i3'— S^+S1 c (i3'— 5*)+7* rf(i3*— 7*)+9» tf(i3'-9')+"y (,3'-«'' (,3» ,.)+3-*(,3'— 3')+5"c(I3'-5-)+7'V(i3'— 7>)+9''e(i3*9')+ii-y(»3'-<'

En continuant l'élimination , on obtiendra 1 équation finale en a, qui est :

a(i3'— 1*) (1 r— r)(9'— 1») (7*— i") (5f— r}(3*— f)= i3,.ii*.9V7,.5'.3*a\

Si l'on avait employé un nombre d'équations plus grand d une unité, on aurait trouvé, pour déterminer a, une équation analogue à la précédente, ayant au premier membre un facteur de plus, savoir: i5* — 1", et au second membre i5', pour nouveau facteur. La loi à laquelle ces différentes valeurs de a sont assujéties est évidente, et il s'ensuit que la valeur de a, qui correspond à un nombre infini d'équations, est exprimée ainsi :

3' 5' f 9' u* \V a=y=ï V^'—l'~i—~t -i—l - etc-

3.3 5.5 7.7 g o 11. 11 i3.i3 ou a = — ;-7-,4 -tj-o — 1' ' • etc.

a. 4 4.6 6.8 8.10 lu. 12 12.14

Or cette dernière expression est connue et, suivant le théorème de Wallis, on en conclut a = =. Il ne s'agit