CHAPITRE III. " i

On intégrera le second membre par parties, ën distin- • guant dans l'intégrale le facteur sin. zmx.dx, qui doit être

intégré successivement, et le facteur — — ou sec. x que l'on

doit différencier successivement; désignant les résultats de ces différenciations par sec.' x , sec." x, sec.'" xt... etc., on

aura 2/ = const. — ~ cos. o.mx. sec. x

+ ' . sin. a ma; sec' a; ^—^ cos. im x sec." x -+- etc.

ainsi la valeur dey ou

cos. x — Icos. Zx+ \co%. 5 x — icos. 7 x...-î - — cos. 2 m — ix,

o & 7 am — 1

qui est une fonction de x et m, se trouve exprimée par une série infinie ; et il est manifeste que plus le nombre m augmente, plus la valeur de y approche de celle de la constante. C'est pourquoi, lorsque le nombre m est infini, la fonction y a une valeur déterminée qui est toujours la même, quelle que soit la valeur positive de x, moindre

que - t.. Or, si l'on suppose l'arc x nul, on a

qui équivaut à i «. Donc on aura généralement ^ r = cos. x

— ^ cos. 3x -f- | cos. 5 x — x- cos. y x + ^ cos. 9 x — etc. {b).

,8o THÉORIE DE LA CHALEUR.

Si dans cette équation on suppose x— ^ • ^on trouvera

it i i i i i i i

—y— = I + 5 r l 1 5 =-+... etC.

a\/ ' 3 5 7 9 ii i3 i5

En donnant à l'arc x d'autres valeurs particulières, on trouvera d'autres séries, qu'il est inutile de rapporter, et dont plusieurs ont déjà été publiées dans les ouvrages d'Euler. Si on multiplie l'équation (b) par d x, et que l'on intègre, on aura

^=sin..r — ^ sin. 3 x -t-^sin. 5 x — ^sin. 7 x + etc.

En faisant dans cette dernière équation x— - -r , on trouve

+ £ + 2.+ 2L -4- etc.,

série déjà connue. On pourrait énumérer à l'infini ces cas particuliers; mais il convient mieux à l'objet de cet ouvrage de déterminer, en suivant le même procédé, les valeurs de diverses séries formées de sinus ou de cosinus, d'arcs multiples.

Soit y = sin. x — - sin. ax+ ^sin. 3x — sin. 4 a:....

H — sin. m — 1 x — — sin. ma*.

m étant un nombre pair quelconque. On tire de cette équation