CHAPITRE III

multipliant par a sin. x, et remplaçant chaque terme du second membre par la différence de deux sinus, on aura :

a sin. x-f£=&m.x+x — sin.x — x — sin. 2 x + x 4- sin. a x — x 4- sin. 3 x 4- x — sin. 3 x — x

4-sin.(/re — ix — x) — sin. (m 4- 1 x — x) — sin. (m x 4- x ) 4- sin. ( m x — x ) ; et, en réduisant

a sin. x j£ = sin. x 4- sin. m x — sin. (mx + x),

la quantité sin. mx — sin. (mx+x) ousin. (wan- i x — ~ x)

— sin. (mx+ - x+ - x)

équivaut à — a sin i x.cos. (mx+ ^x); on a donc

, sin.

= : cos. ( m x 4- - ar ) ,

» sin. x v =» "

. cos. (mx+ - x) ou -r-= ;

dx 2 1 '

a cos. - x

ou en conclut

/cos. (m # 4-- x) dx. j .

2 cos. -

i8a THÉORIE DE LA CHALEUR.

Si l'on intègre par parties, en distinguant le facteur ou sec. ^ x, qui doit être successivement différencié, et le facteur cos. (m x + - x) que l'on intégrera plusieurs fois de suite, on formera une série dans laquelle les puissances de m + ~ entrent aux dénominateurs. Quant à la constante, elle

est nulle , parce que la valeur de y commence avec celle de x. Il suit de là que la valeur de la suite finie

sin. x — -j sin. ax -+- * sin. 3x — J sin. 5 x H - - sin. jx... — ^ sin. m x,

diffère extrêmement peu de | x, lorsque le nombre des

termes est très-grand , et si ce nombre est infini, on à l'équation déjà connue

^x=sin. x — isin.2X-+- ^sin.3x — ^sin.4x-+- ^sin.5x — etc.

On pourrait ainsi déduire de cette dernière série, celle que nous avons donnée plus haut pour la valeur de ^ r.

Soit maintenant y = - cos.ax — -. cos. Ax + 1 cos. G x....

•i cos. a m — a x cos. 2 m x.

Différenciant, multipliant par 2 sin. 2x, substituant les différences de cosinus et réduisant , on aura :

2 & : = - tang. x + si"-a",-h,-g dx ° cos. j: