CHAPITRE III. i

oua/ = c — fdx tang. x 4- / dx.

sin. a m 4- i x

cos. x

intégrant par parties le dernier terme du second membre, et supposant m infini ,onaj = c+ l- log. cos. x. Si dans

lequation

jr = ~ cos. ax — ^cos. l\x 4- ^ cos. G x — £ cos. Sx+ . . . etc.

on suppose x nulle, on trouve

J= ; — 4 +ê—8 + ••• etc. =-log. a;

donc / = ^ log. 2 + ^ log. cos. x. On parvient ainsi à la série donnée par Euler :

log. (a cos. i x) = cos. a: — i cos. a a: 4- ^cos. 3x — ^cos.4-r 4- etc.

En appliquant le même procédé à l'équation

y — sin. a: -f- 1 sin. 3 x 4- ^ sin. 5 x 4- l- sin. 7 .r 4- etc.,

on trouvera la série suivante, qui n'avait pas été remarquée,

^ir=sin.a*4- 5 sin. 3a:+ ^sin. Sx 4- ^ sin. 7x4- ^ sin. o,;r4-etc.

Il faut observer à l'égard de toutes ces séries, que les équations qui en sont formées n'ont lieu que lorsque la variable x est comprise entre certaines limites. C'est ainsi que la fonction

cos. x — ~ cos. jx+e- cos. jx cos. 7 .r + etc.

n'est équivalente à ^ a, que si la variable .r est contenue

entre les limites que nous avons assignées. 11 en est de même de la série

sm. x sm.2.t-+- .,sm. 5x — . stn.a.r-f rsin.D# — etc.

Cette suite in finir, qui est toujours convergente, donne la

valeur - x toutes les fois que l'arc x est plus grand que o,

et moindre que x. Mais elle n'équivaut plus à ^ x , si l'arc

surpasse r. \ elle a au contraire des valeurs très-différentes

de - x; car il est évident que dtins l'intervalle de x=n à

x = a la fonction reprend avec le signe contraire toutes les valeurs qu'elle avait eues dans l'intervalle précédent, depuis x=o, jusqu'à .r=ïï. Cette série est connue depuis longtemps, mais l'analyse qui a servi à la découvrir n'indique pas pourquoi le résultat cesse d'avoir lieu lorsque la variable surpasse

11 faut donc examiner attentivement la méthode que nous venons d'employer et y chercher l'origine de cette limitation, à laquelle les séries trigonometriques sont assujetties.

Pour y parvenir, il suffit de considérer que les valeurs exprimées par les suites infinies, ne sont connues, avec une entière certitude, que dans les cas où l'on peut assigner les limites de la somme des termes qui les complètent; il faut

CHAPITRE II. »85 donc supposer qu'on emploie les premiers termes seulement de ces suites et trouver les limites entre lesquelles le reste est compris.

Nous appliquerons cette remarque à lequation

i o . 1 e * cos. a m — 3 ay=cos. x — * cos.oar + rcos.ox cos. 7 X... H 5 — .

cos. a m — ix

le nombre des termes est pair et représenté par m; on en

j ' i > d y sin. a m x , ,,

déduit cette équation a = , a ou Ion peut

1 dx COS. x 7 r

tirer la valeur de y, en intégrant par parties. Or, l'intégrale y* u.v d x peut être résolue .en une série composée d'autant de termes qu'on le voudra , u et v étant des fonctions de x. On peut écrire, par exemple :

f u.vdx=c+u/vdx — *^fdx fvdx+'^fdxfdxfvdx

-Ad(jg)fdxfdxfvdx),

équation qui se vérifie d'elle-même par la difterentiation. En désignant sin. a m x par v et sec. x par u> on trouvera

a y = c — secrcos. a mx -+- -4—, sec' x sin. a m x

-+- -s-^ sec. a: cos. imx — y (" a> mi ♦ cos. a mx)*

Il s'agit maintenant de connaître les limites entre lesquelles est comprise l'intégrale , '^/"(^ (seO cos- a m a;) qui com»

iW THÉORIE DE LA CHALEUR.

plète la suite. Pour former cette intégrale il faudrait donner à l'arc x une infinité de valeurs, depuis o, terme où l'intégrale commence, jusqu'à x, qui est la valeur finale de l'arc, déterminer pour chacune des valeurs de x celles de la différentielle d (sec* a;), et celle du facteur eos. amx, et ajouter tous les produits partiels : or le facteur variable cos. a m x est nécessairement une fraction positive ou négative : par conséquent l'intégrale se compose de la somme des valeurs variables de la différentielle d (sec." a), multipliées respectivement par des fractions. La valeur totale de cette intégrale est donc moindre que la somme des différentielles d (sec." a:), prises depuis x=o jusqu'à x, et elle est plus grande que cette même somme prise négativement : car, dans le premier cas, on remplacé le facteur variable cos. imx par la quantité constante i , et dans le second cas on remplace ce facteur par — i : or cette somme des différentielles d (sec*, a;), ou ce qui est la même chose, l'intégrale f d (sec." prise depuis ar=o, est sec."x — sec." o;sec.".r est une certaine fonction de x, et sec." o est la valeur de cette fonction, prise en supposant l'arc x nul.

L'intégrale cherchée est donc comprise entre

-l- ( sec." x — sec." o) et — (sec." x — sec." o) ;

c'est-à-dire, qu'en représentant par k une fraction inconnue positive ou négative, on aura toujours

f (d ( sec." x) cos. 2 mx) = k (sec." x — sec/ o).

On parvient ainsi à l'équation