CHAPITRE II

excède toutes les limites possibles, d'où il suit que le même , raisonnement ne peut s'appliquer au cas où l'arc x n'est pas

moindre que - x.

On fera usage de la même analyse pour les se'ries qui expriment les valeurs de ^ .r, log. cos. je, et Ton pourra distinguer par ce moyen les limites entre lesquelles la variable doit être comprise, pour que le résultat du calcul soit exempt de toute incertitude; au reste, ces mêmes questions seront traitées ailleurs par une méthode fondée sur d'autres principes.

L'expression de la loi des températures fixes, dans une lame solide, suppose la connaissance de l'équation

^ =cos. x — \ cos. %x+\ cos. 5 x — - cos. 7 x + - cos. qx — etc. 4 3 5 7 ' 9 ?

Voici le moyen le plus simple d'obtenir cette équation : .

Si la somme de deux arcs équivaut au quart de la circonférence i tt, le produit de leurs tangentes est 1 , on a donc en

général - w= arc.tang. u-t-arc.tang. ^(c); le signe arc.tang.it

indique la longueur de l'arc dont la tangente est u, et l'on connaît depuis long-temps la série qui donne la valeur de cet arc ; on aura donc le résultat suivant :

+ + -etc. (<*)

,9o THÉORIE DE LA CHALEUR.

si maintenant on écrit e x ^/=~' au lieu de u dans lequation (c) et dans l'équation (d) on aura :

I v = arc.tang. -t- arc.tang. e ~ »

et ~ % = cos. x — * cos. 3 x + ^ cos. 5 x — j cos. 7 x + ^ cos. 9 x — etc.

la série de l'équation (d) est toujours divergente, et celle de l'équation (b) est toujours convergente; sa valeur est ^ * ou

SECTION VI

Solution générale.

On peut maintenant former la solution complète de ia question que nous nous sommes proposée ; car les coefficients de l'équation (b) (art. 1G8) étant déterminés, il ne reste plus qu'à les substituer, et l'on aura :

-p = e cos.j — 3 e cos. Jj-H 5 c cos. oy

e ' cos.jy+-e * cos. g y + etc. (a).

Cette valeur de i> satisfait à l'équation 4- ^=0; elle devient nulle lorsqu'on donne ay une valeur égale à |nou — enfin , elle équivaut à l'unité , toutes les fois que x étant