CHAPITRE IL i9i

nulle , y est comprise entre — ^ r et -+- ^ x. Ainsi toutes les

conditions physiques de la question sont exactement remplies, et il est certain que, si Ton donnait à chaque point de la lame la température que lequation (a) détermine , et en même temps si l'on entretenait la base A à la température i , et les arêtes infinies B et C à la température o , il serait impossible qu'il survînt aucun changement dans le système des températures.

Le second membre de l'équation («) étant réduit en une série extrêmement convergente , il est toujours facile de déterminer en nombre la température d'un point dont les coordonnées or et 7 sont connues. Cette solution donne lieu à diverses conséquences qu'il est nécessaire de remarquer , parce qu'elles appartiennent aussi à la théorie générale.

Si le point m, dont on considère la température fixe, est très- éloigné de l'origine A, le second membre de l'équa-

tion («) aura pour valeur extrêmement approchée , e cos.y; il se réduit à ce premier terme, si x est infinie.

Lequation v= * e~x cos.y représente aussi un état du solide qui se conservera it sans aucun changement, s'il était d'abord formé ; il en serait de même de l'état exprimé par l'équation

v = e • cos. 3 y, et en général chaque terme de la série correspond à un état particulier qui jouit de la même propriété. Tous ces systèmes partiels existent à-Ia-fois dans celui que représente l'équation (a); ils se superposent, et le mouvement de la chaleur a lieu pour chacun d'eux de la même

,9a THÉORIE DE LA CHALEUR.

manière que s'il e'tait seul. Dans l'état qui répond à l'un quelconque de ces termes, les températures fixes des points de la base A différent d'un point à un autre, et c'est la seule condition de la question qui ne soit pas remplie; mais l'état général qui résulte de la somme de tous les termes satisfait à cette même condition.

A mesure que le point dont on considère la température est plus éloigné de l'origine, le mouvement de la chaleur est moins composé : car, si la distance x a une valeur assez grande, chaque terme de la série est fort petit, par rapport au précédent, de sorte que l'état de la lame échauffée est sensiblement représenté par les trois premiers termes, ou par les deux premiers, ou par le premier seulement, pour les parties de cette lame qui sont de plus en plus éloignées de l'origine.

La surface courbe, dont l'ordonnée verticale mesure la température fixe v, se forme en ajoutant les ordonnées d'une multitude de surfaces particulières, qui ont pour équations

X 1CV, I 3 X 0 KO, 5 X r

= e cos. y, -~ = — 3 e . cos. 5y,~~-—e cos. 5jr etc.

La première de celles-ci se confond avec la surface générale, lorsque x est infinie, et elles ont une nappe asymptotique commune.

Si la différence v — v, de leurs ordonnées est considérée comme l'ordonnée d'une surface courbe , cette surface se confondra lorsque x est infinie, avec celle dont l'équation est

-itt>,= — *cos. 3j. Tous les autres termes de la

série donnent une conclusion semblable.