CHAPITRE III. ao

pourra donc être considéré comme formé de deux autres , savoir : un premier , pour lequel les températures initiales seraient — 9(^,7), les trois arêtes étant maintenues à la température o, et un second état, pour lequel les températures initiales sont +9(0?,/), les deux arêtes B et C conservant la température o , et la base A la température 1 ; la superposition de ces deux états produit l'état initial qui résulte de l'hypothèse. Il ne reste donc qua examiner le mouvement de la chaleur dans chacun des deux états partiels. Or, pour le second, le système des températures ne peut subir aucun changement ; et pour le premier, il a été remarqué dans l'article 201 que les températures varient continuellement , et finissent toutes par être nulles. Donc l'état final , proprement dit, est celui que représente 1 équation (a) ou v=y{x, y).

Si cet état était formé d'abord , il subsisterait de lui-même, et c'est cette propriété qui nous a servi à le déterminer. Si l'on suppose la lame solide dans un autre état initial, la différence entre ce dernier état et 1 état fixe forme un état partiel, qui disparaît insensiblement. Après un temps considérable, cette différence est presque évanouie, et le système des températures fixes n'a subi aucun changement. C'est ainsi que les températures variables convergent de plus en plus vers un état final, indépendant de réchauffement primitif.

On reconnaît par-là que cet état final est unique; car, si l'on en concevait un second , la différence entre le second et le premier formerait un état partiel, qui devrait subsister de lui-même, quoique les arêtes A,B, C fussent entretenues à

^o(î THÉORIE DE LA CHALEUR.

la température o. Or ce dernier effet ne peut avoir lieu : il n'en §erait pas de même si l'on supposait une autre source de chaleur indépendamment de celle qui s'écoule à l'origine A : au reste cette hypothèse n'est point celle de la question que nous avons traitée , et pour laquelle les températures initiales sont nulles. Il est manifeste que les parties très - éloignées de l'origine ne peuvent acquérir qn'une température extrêmement petite.

Puisque l'état final qu'il fallait déterminer est unique, il s'ensuit que la question proposée n'admet aucune autre solution que celle qui résulte de l'équation («). On peut donner une autre forme à ce même résultat , mais on ne peut ni étendre, ni restreindre la solution, sans la rendre inexacte.

La méthode que nous avons exposée dans ce chapitre, consiste à former d'abord des valeurs particulières très-simples , qui conviennent à la question , et à rendre la solution plus générale, jusqu'à ce que la fonction v ou f.(x,y) satisfasse à trois conditions , savoir :

Il est visible que l'on pourrait suivre une marche contraire, et la solution que l'on obtiendrait serait nécessairement la même que la précédente. Nous ne nous arrêterons point à ces détails, qu'il est facile de suppléer, dès qu'une fois la solution est connue. Nous donnerons seulement dans la section suivante une expression remarquable de la fonction f (x,y) dont la valeur est développée en série convergente dans l'équation (a).