CHAPITRE III. 207 SECTION V

Expression finie du résultat 4e \la solution.

On pourrait déduire la solution précédente de l'intégrale

de l'équation ^-^ + ^-^ = o , qui contient des quantités

imaginaires, sous le signe des fonctions arbitraires. Nous nous bornerons ici à faire remarquer que cette intégrale

a une relation manifeste avec la valeur de v donné par 1 equation

7sv — * i — 3* o i — 5x t

— = e cos.y — j « cos.ôy + ^e dos. — etc.

En effet, en remplaçant les cosinus par leurs expressions imaginaires, on a '

' +e-(-+^-).e-3(-^>/-) + -e-5(^^=T) etc.

La première série est une fonction de x — yV — i, et la seconde est la même fonction de x + jV/~.

En comparant ces séries au développement connu de l'arc arc.tang. z en fonction de z sa tangente, on voit sur-le-

ao8 THÉORIE DE LA CHALEUR.

champ que la première est arc.tang e~~ ^x~^s/~x^ J ct que

la seconde est arc.tang. e~ i1^^— 0 . amsi l'éqUati0n («) prend cette forme finie,

^=arc.tang.«-(x+-rl/:rT) + arc.tang. ,-1—*"=* (B) C'est de cette manière qu'elle rentre dans l'intégrale ge'nérale v=9{x+y\/~i) + ^{x—y\y~) (A);

la fonction ? (z) est arc.tang. e~~z, et il en est de même de la fonction ^ (z).

Si dans l'équation (B) on désigne le premier terme du second membre par p et le second par q , on aura

vv=p + q, tànQ.p=e~^x+jr^~l\tSLng. q=e~^x~jVZ~1^ donc tang.Qp + ^ou ^'P^^ » co*-/

on en déduit l'équation ï « o/= arc.tang. ^ '""'^

C'est la forme la plus simple sur laquelle on puisse présenter la solution de la question.

Cette valeur de u ou ? (x, y) satisfait aux conditions relatives aux extrémités du solide qui sont y (x, ± 7 ic)=o