CHAPITRE III

et? (°iJr)= 'i elle satisfait aussi à 1 équation générale

j^r + ^jt = o, puisque l'équation (c) est une transformée

de l'équation (B). Donc elle représente exactement le système des températures permanentes ; et comme ce dernier état est unique , il est impossible qu'il y ait aucune autre solution , ou plus générale ou plus restreinte.

L'équation (c) fournit, au moyen des tables, la valeur de l'une des trois indéterminées v, x, y, lorsque les deux autres sont données; elle fait connaître très-clairement la nature de la surface qui a pour ordonnée verticale la température permanente d'un point donné de la lame solide. Enfin on déduit de cette même équation les valeurs des

coefficients différentiels j^ct— qui mesurent la vitesse

avec laquelle la chaleur s'écoule dans les deux directions orthogonales ; et l'on connaîtra par conséquent la valeur du flux dans toute autre direction.

Ces coefficients sont exprimés ainsi

2C°s./( -77- lx ),— = — asin.r ( "T7~ . \

On remarquera que, dans l'article io,4 l* valeur de jS, et celle de j£ sont données par des séries infinies dont

il est facile de trouver la somme , en remplaçant les quantités trigonométriques par des exponentielles imaginaires. On obtient ainsi ces mêmes valeurs de gg et jrj- que nous venons de rapporter.

[Tzed by Goolle

aïo THÉORIE DE LA CHALEUR.

La question que l'on vient de traiter est la première que nous ayons résolue dans la théorie de la chaleur , ou plutôt dans la partie de cette théorie qui exige l'emploi de l'analyse. Elle fournit des applications numériques très-faciles, soit que l'on fasse usage des tables trigonométriques ou des séries convergentes, et elle représente exactement toutes les circonstances du mouvement de la chaleur. Nous passerons maintenant à des considérations plus générales.

SECTION VI

Développement d'une fonction arbitraire en séries trigonométriques.

La question de la propagation de la chaleur dans un

solide rectangulaire a conduit à l'équation Çp -h ^-4' = o ;

et si l'on suppose que tous les points de l'une des faces du solide ont une température commune, il faut déterminer les coefficients a, b , c, d, e, etc. de la série

a cos. x -+- b cos. 3 x -+- c cos. 5 x d cos. 73? + ... etc. ,

en sorte que la valeur de cette fonction soit égale à une constante toutes les fois que l'arc x est compris entre — w et + 7 «. On vient d'assigner la valeur de ces coefficients ; mais on n'a traité qu'uu seul cas d'un problème plus général , qui consiste à développer une fonction quelconque