CHAPITRE III. an
en une suite infinie de sinus ou de cosinus d'arcs multiples. Cette question est liée à la théorie des équations aux différences partielles et a été agitée dès l'origine de cette analyse. Il était nécessaire de la résoudre pour intégrer convenablement les équations de la propagation de la chaleur; nous allons en exposer la solution.
On examinera, en premier lieu, le cas où il s'agit de réduire en une série de sinus d'arcs multiples, une fomtion dont le développement ne contient que des puissances impaires de la variable. Désignant une telle fonction par çx, on posera l'équation
fx=asin.x -+• bsin.zx 4- csin. Zx -+- </sin. l\x ■+- . . . etc.
et il s'agit de déterminer la valeur des coefficients a, b, cy d, etc. On écrira d'abord l'équation
x = x 9' o + f f o + £3 f o + ^ 9» o + ^3^5 ?' o + . . . etc.
dans laquelle ?'o, f'o, <p"'o, ç"o, etc. désignent les valeurs que prennent les coefficients
lorsqu'on y suppose x=o. Ainsi en représentant le développement selon les puissances de x par l'équation
■Ax— ■B0 + Ca.M.5~~Da.3.4.5.6.7 + Ea.3.4.5.6.7.8.9
? 0 = 0 et f o = A
<p" o = o <pT" o = D
etc. etc.
Si maintenant on compare l'équation précédente à celle-ci
9 x=asin.x 4- £sin. ax + csin. 3.r 4- sin. 4 # + esin. 5 a: 4- etc.
En développant le second membre par rapport aux puissances de ,r, on aura les équations
A =<z 4- 2 £-h3c4-4«?-*-5 e 4- etc.
B=fl + aîA4 3Ic + 45</+ 5,e4-etc.
C =a 4- iïb 4- 35c 4- 4S<* + 5*e 4- etc. D=fl + 27i + 37c + 47^+57e + etc.
E=<i + 2îi + 3,c + 4^+59c + etc. (a) etc.
Ces équations doivent servir à trouver les coefficients a, b, c, d, e, etc., dont le nombre est infini. Pour y parvenir , on regardera d'abord comme déterminé et égal à m le nombre des inconnues, et l'ou conservera un pareil nombre m d'équations; ainsi Ton supprimera toutes les équations qui suivent les m premières, et l'on omettra dans chacune de ces équations tous les termes du second membre qui suivent les m premières que l'on conserve. Le nombre entier m étant donné, les coefficients a, b, c, d, e — etc.
on aura
