CHAPITRE III

toutes ces relations entre les quantités qui répondent à l'un des cas et celles qui répondent au cas suivant, on aura

4'-i) *,=*4(4'-a') cJ=*4{4'-3-) 5»— i) ^=£,(5'— 2') c,=*,(5'— 3*) d,=d^— 4') 6»-.) *,=*.(6'-a') <r5=c.{6'-3*) rf^ÔW) *,=*,(6'-5') 7--i) *,=*r(7'-2') c.^'-^') di=dJfr-4) et=e,(7>-ï) ff=f,&-*) î

etc.

on aura aussi

AJ==4A4— B4 Bj — 4 B< — C4 C,=4C,— D4

A4 = 5 A,— B, B4=5B,— C, Ct=5C5— D, D4=5D,— E5,

etc.

On conclut des équations (c) qu'en représentant par a y b , c , d , e , . . . etc., les inconnues dont le nombre est infini , on doit avoir

1> = tt;

(4'— 3') (5«— 3') (fr— 3*) (7'— 3')

aiG THÉORIE DE LA CHALEUR.

Il reste donc à déterminer les valeurs de a, b, c} dx e5etc; la première est donnée par une équation, dans laquelle entre A,; la seconde est donnée par deux équations dans lesquelles entrent A, B, ; la troisième est donnée par trois équations, dans lesquelles entrent AjBjCj, ainsi de suite. Il suit de là que si l'on connaissait les valeurs de

A, A,B, A, B, C, A4B4C4D4... etc.,

on trouverait facilement a, en résolvant une équation , a, b, en résolvant deux équations , a, c, en résolvant trois équations, ainsi de suite ; après quoi on déterminerait a, b, c, d, e, etc. Il s'agit maintenant de calculer les valeurs de

A, A, B, AjBjC, A4B4C4D4 ASB5C5D5ES etc.,

au moyen des équations (d). i° on trouvera la valeur de A. en A, et B3 ; 20 par deux substitutions on trouvera cette valeur de A, en A3 B3 C3 ; 3° par trois substitutions on trouvera la même valeur de A, en A4B4C4D4, ainsi de suite. Ces valeurs successives de A, sont :

etc. ,

dont il est aisé de remarquer la loi. La dernière de ces valeurs, qui est celle que l'on veut déterminer, contient les

CHAPITRE III. 2I7 quantités A , B , C , D , E, etc. avec un indice infini , et ces quantités sont connues; elles sont les mêmes que celles qui entrent dans les équations (à).

En divisant cette dernière valeur de A, par le produit infini

a\3\4*.5\6' etc.,

on a

A-B&+^^+F+etc0+C(^+I^+3^-t-etc)

+ E (î^^S" "l~2'.3-V.6- + etc ) + etc.

Les coefficients numériques sont les sommes des produits que l'on formerait par les diverses combinaisons des frac-

tions T^F^^F et' aPres avoir ^paré la première fraction ~. Si l'on représente ces différentes sommes

de produits par P.Q.R.S.T,. . . etc., et si l'on emploie la première des équations (e) et la première des équations (6), on aura, pour exprimer la valeur du premier coefficient a, l'équation

('— } Cl^.y.7.?.(!-?- • • =A-BP.+CQ,-D R,+ES,PTi+etc,

or les quantités P, Q, R, S, T,. . . etc. , peuvent être facilement déterminées comme on le verra plus bas; donc le premier coefficient a sera entièrement connu. ,:j

ai8 THÉORIE DE LA CHALEUR.

aïo.

Il faut passer maintenant à la recherche des coefficients suivants bcdef... etc., qui d'après les équations (e) dépendent des quantités b, cs dK e$f6 . . . etc. On reprendra pour cela les équations (b); la première a déjà été employée pour trouver la valeur de a, ; les deux suivantes donnent la valeur de b, ; les trois suivantes la valeur de cs ; les quatre suivantes la valeur de <?41 ainsi de suite.

En effectuant le calcul, on trouvera, à la seule inspection des équations, pour les valeurs de bicidées. . . etc, les résultat* suivants :

+C,(r.a'+ i\3M- lk.4*-M*.3<-t*a9~*f4'3*41)— D, (r-t-a'+S'+i -

etc.

La loi que suivent ces équations est facile à saisir; il ne reste plus qu'à déterminer les quantités

A, B, AjBjC, A4B4C4 etc.

Or, les quantités A, B, peuvent être exprimées en AiBjCj, ces dernières en A4 B4 C4 D4 etc II suffit pour cela d'opérer les substitutions indiquées par les équations {d) ; ces changements successifs réduiront les seconds membres des équations précédentes à ne contenir que les quantités ABCD etc., avec un indice infini, c'est-à-dire, les quantités connues