En faisant
APPLICATIONS DU THEOREME 1) ABEL on obtiendra de même les séries :
cos nx
'^ cos nx
Sa et Sa sont uniformément convergentes. En effet, les termes sont respectivement inférieurs à ceux de la série :
qui est absolument convergente et dont les termes ne dépendent pas de X.
Donc Sj et Sa représentent des fonctions continues et périodiques.
Il en sera évidemment de même des séries S3, S3, etc.
Cherchons la dérivée de S^. On a :
c/Sq v^ cos nx ç, ,
mais, pour que ceci soit légitime, il faut que la série obtenue par la différentiation soit uniformément convergente ; c'est ce qui a lieu pour la série S,', comme on l'a vu, sauf pour les valeurs singulières x = 2Â7r.
On aura, sans restriction :
^3:^ S.:, etc....
dx
76 SERIE DE FOURIER. THEOREME DE DIRIGHLET
mais la dérivée seconde -r~f est discontinue pour x = SKtc. Considérons maintenant une série de la forme :
S = V P„ cosruK
dans laquelle P„ représente un polynôme en - :
p ~-\r A}.E±L \ ... Jl.\e±1
" nP^^nP + * ' ^^/îP + 9
En conservant les notations ci-dessus, la valeur de la série sera:
(1) S = XpSp -}- Xp + ^Sp + ^ -j~ ••• T" ^p + çSp + ç.
Prenons maintenant la série :
cosna;
dans laquelle a„ est supposé développable suivant les puis-
sances de — n
Posons :
\r I }lE±L I ... 1 ^ I \±± L ..
Vt ll±L\ ...
de telle sorte que l'on aura :
APPLICATIONS DU THÉORÈME d'aBEL 77
et la série sera :
V P„ cos nx -f- V Rn cos nx
La première de ces deux séries, en vertu de l'égalité (1 ), est continue, ainsi que les dérivées jusqu'à l'ordre (p — 2) inclusivement; la dérivée d'ordre [p — \] est discontinue pour 30 z= Iki:. On a:
k étant un nombre fixe . La série :
V ——-7 COS nx
est uniformément convergente, ainsi que les séries auxquelles conduisent les g — 2 premières différentiations. Il en sera donc de même de la série :
cos nx
de sorte que les dérivées de cette série sont continues jusqu'à l'ordre [q — 1).
Donc la série:
cosnx
a ses dérivées continues jusqu'à l'ordre [p — 2) inclusivement, et se comporte comme les séries:
et S'p
78 SÉRIE DE FOURIBR. THEOREME DE DIRICHLET Supposons maintenant :
a„ = X„ cos wcp
X„ étant développable suivant les puissances de -•
On pourra considérer la série donnée comme la somme des deux suivantes :
