OU

{<î;i f < <ï;i) («H + 1 */i + 2) + (*^" +2 Cf/i) (a^î + 2 ^n ^ 3) 4"

• •• -\-[^n + p-\ — ff.i) (a/. + p-) — a« + p) + (<ï/i + /) — <î«) a„+p

Toutes les différences des a entre parenthèses sont positives.

Si on remarque que :

quel que soit p, on voit que la quantité précédente est inférieure en valeur absolue à :

donc:

I On+p ^n i <C P/ja/i + 4

Si n croît infiniment, S„+p — S„ tend vers 0, donc la série est convergente.

44. Applications du théorème d'Abel. — Supposons d'abord que l'on ait :

APPLICATIONS DU THEOREME d'aBEL 73

On aura dans ce cas :

q'x Q{p + ^)ix

ntx

— p(n + {)ix

1 eP'a;

On voit que le module de cette quantité est égal à celui de :

. px sin —

qui est inférieur au module de :

sin|

On peut donc prendre :

Cette quantité sera finie pour toutes les valeurs de x qui

ne sont pas des multiples pairs de tt.

Donc, en multipliant les termes par les quantités positives

et décroissantes :

%^. ïj ... a„...

on obtient une série convergente, sauf pour les multiples pairs de iz.

On arrivera aux mêmes conclusions avec les séries :

cos mx

sm mx

74 SÉRIE DE FOURIER. THEOREME DE DIRICHLET

qui sont respectivement les parties réelles et imaginaires de la série :

Si on prend deux quantités Xq et x^ comprises entre o et 27: et que l'on fasse varier x de manière que l'on ait :

o < Xç^ <i X <:^ x^ < Sti

on pourra trouver une quantité M indépendante de x telle que l'on ait toujours entre ces limites :

On voit donc que la convergence sera uniforme entre x^ et Xf ; le reste est donc inférieur à :

En supposant a„ = -? on obtient les séries que nous avons

déjà étudiées :

sin nx

n cosnx

ç., Y^ cos