APPLICATIONS DU THEOREME 1) ABEL

La série :

2, c-n cos nx

est une l'onction holomorphe de x.

En effet, on peut l'écrire :

■y 'bi Q-nt + nix I y ^ g- nt-nix^

Ces deux séries sont des fonctions liolomorphes de x. Donc leur somme est aussi une fonction holomorphe de x.

Considérons maintenant, d'une manière plus générale, la série :

y. 'fil (0 cos nx

en supposant (f„ [t) développable suivant les puissances croissantes de t.

Soit:

Cette série est-elle une fonction holomorphe de l? Cherchons, d'abord, si l'on peut grouper les termes qui contiennent une même puissance de t.

Cela pourra se faire si la série :

t] cos 71X

est absolument convergente; ce qui aura lieu, par exemple, si la série :

est convergente.

80 SERIE DE FOURIER. THEOREME DE DIRIGHLET Supposons en particulier:

cp„ [t] z=o {^-^ tj

et supposons que l'on ait :

,„(rt = A. + ^ + ^ + + ^ +

Aq, A^, A2,... Ap... étant des fonctions de < développables suivant les puissances croissantes de t.

Pour que le terme général tende vers zéro, il faut que l'on ait :

Ao = o.

Nous supposerons, d'abord, que l'on a aussi :

On aura :

-■w=si:pîa

tf.

Supposons cette série convergente pour :

Alors la quantité :

doit tendre vers zéro, donc on peut trouver un nombre M tel que:

I pî I dPy'' < M