Ainsi le potentiel diminue, bien que U croisse, et il
diminue comme — •
Supposons maintenant :
pour toutes les valeurs de x.
D où :
0 = o et:
pour :
oc > a ou X <. b.
f\ (^) ayant des valeurs données dans l'intervalle de h à a. On a dans ce cas :
,-lOC .
y, / , sin^ Vf/^ — 1 .
" =j ": -vF^ ' "'
ou
dq dz.
On sait qu'on peut intervertir l'ordre des intégrations. Posons alors :
dq
150 EQUATIONS ANALOGUES A CELLES DE LA CHALEUR et l'on aura alors :
D'après ce que l'on a vu tout à l'heure, si :
{x — zY > t^ on a :
et si:
{x — z-^) < f' on a :
K = ttJo {\/{x — zf — t^)
Ainsi K est nul à moins que l'on n'ait :
Dans l'intégrale U, on pourra donc prendre comme limite supérieure la plus petite des deux quantités :
a et (^4" ^) et, comme limite inférieure, la plus grande des quantités :
b et {x-\- t.).
Supposons :
c'est-à-dire :
Il y aura cinq cas à considérer :
1° Soit:
On a:
2» Soit:
On a:
3° Soit:
On a:
^2" Jo 'y(^ - ^)^ - i') dz.
4« Soit:
On a:
U = / ^ Jo (v'^-^)^-<^) dz.
5° Enfin, soit :
On a:
Supposons maintenant :
D'où:
152 ÉQUATIONS ANALOGUES A CELLES DE LA CHALEUR On peut donc prendre x tel que :
Dans ce cas les limites d'intégration sont:
[x — t) et [x -\- t)
et l'on a :
■.JO + t
U = / %^ Jo dz.
Les autres cas se discutent comme pour
83. Considérons maintenant le cas inverse du précédent. Supposons :
pour toutes les valeurs de x^ d'où :
Et:
lorsque l'on a :
a; > a ou x < b.
On aura dans ce cas :
(1) U = A. COS t slq^ — iél"- dq.
'J -oc
La solution dans le cas précédent était :
La solution du problème qui nous occupe se déduit de celle-ci, en difîérenliant la formule (2) par rapport à l et en remplaçant /, et 0, par /"et 0.
Et on aura, suivant les différents cas, en supposant comme précédemment :
1" Pour:
2° Pour:
/ 2 rf< ^ 2
^ JC-t
en remarquant que :
Jo(o) = 1; 3° a — t < X <: h -\- l
Si nous supposions :
on aurait :
154 ÉQUATIONS ANALOGUES A CELLES DE LA CHALEUR On pourrait donc prendre :
l> -\~ t <. X <^ a — t et, dans ce cas, les limites d'intégration pour U seraient :
(x — t) et [x -j- t).
En remarquant que ces deux limites sont fonctions de t, on a :
- rr^o ^^ ! fi^ - i) | n^ + 1)
/ 2 dl
et, lorsque t tend vers zéro, on voit que l'on a :
Dans le cas plus général où f et f^ ont des valeurs quelconques dans l'intervalle (ô, a), mais sont nulles au dehors de cet intervalle, on obtient la solution générale en ajoutant les deux solutions particulières obtenues dans ce qui précède.
84. Représentation graphique. — On peut représenter graphiquement les résultats des discussions qui précèdent.
FiG. 21.
Nous représentons l'état initial de la perturbation en portant les X en abcisses et les U en ordonnées, ce qui nous donne la figure 21.
