CHAPITRE XI

99. Nous allons exposer la métliode de Caucliy pour le développement d'une fonction arbitraire en série de forme déterminée.

Cette méthode est fondée sur la théorie des résidus.

Nous commencerons par rappeler les principes élémentaires de la théorie des fonctions.

Une fonction entière G(z) est une fonction (jui est développable suivant les puissances croissantes de 3-, de telle sorte que la série soit convergente pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de ^. Telles sont, par exemple, les fonctions e', e*-, P [z], P {2, e^-, cf'-), P représentant un polynôme.

En particulier, cos z et sin ^ sont de cette dernière forme.

Ces fonctions n'ont aucune espèce de points singuliers.

Nous avons démontré que, si f {x) est une fonction (piel-

VALEURS ASY.MPTOTIQÎ'ES DES FONCTIONS 181

conque, mais finie, l'intégrale:

Cf{x) e«=* fte,

L étant lin cheniin de longuieur finie, est une fonction holomorplie de z dans tonte l'étendue du plan, c'est donc une fonction entière.

Considérons maintenant le quotient de deux fonctions entières:

Ce sera une fonction méromorphe de z ; elle admet des singularités qui sont des pôles.

Le théorème des résidus de Caucliy est le suivant: iSi on considère un contour fermé quelconque G, on a:

fi\ [z) dz = 2m yj A

N A étant la somme des résidus relatifs aux pôles contenus

à l'intérieur du contour C.

Considérons une série de cercles concentriques de rayons croissants: C^, C^, ... C,,, ... et prenons l'intégrale :

dz

le long de ces différents cercles.

Supposons que l'on ait démontré d'une manière quelconque que, lorsque le rayon des cercles va en croissant suivant une certaine loi, l'intégrale tende vers une limite finie et déterminée.

182 METHODE DE CAUGHY

Soit 2«7rX cette limite.

On sait, d'autre part, que :

Jn{z) dz = 2/^ (A^ + A., + ... + A„)

A,, A,, ... A„ étant les résidus des pôles contenus à l'intérieur du cercle Cp,

Lorsque le rayon du cercle croît indéfiniment, on obtient à la limite :

X = A^ -hA^H-.-. + A,, + ...

Si R est une fonction de^ et de a?, R (^, -»), les quantités X et A^, Ao, ... sont des fonctions de a;, et la fonction À se trouve développée en une série procédant suivant les fonctions A.

La question se ramène donc à trouver la limite vers laquelle tend :

Çv^[z)dz

quand le rayon du cercle d'intégration croît indéfiniment.

100. Nous sommes donc amenés à étudier les valeurs asymptotiques d'une fonction entière ou méromorphe, quand le module de la variable croît indéfiniment.

Nous allons prendre, tout d'abord, quelques exemples simples.

Considérons la fonction entière :

Qu'entend-on par valeur a,syniptotiquc de f[z) ? C'est une fonction ip [z] telle que, lorsque le module de z croît indéfi-

VALEURS ASYMPTOTIQUES DES FONCTIONS 183 niment, (in ait :

lim ^ = 1

Dans l'exemple choisi, il est facile de voir (|ue la valeur asymptotique dépend de l'arg-ument.

Posons, en effet:

z = pe''-"

Supposons d'abord :

La partie réelle de z est positive.

Donc, lorsque p croît indélininient, il en est de môme de e' et, au contraire, e~' tend vers zéro : la valeur asymptotique est donc, dans ce cas, <?-.

Si, au contraire, on a :

la valeur asymptotique de la fonction sera — e~'.

Si l'argument est un mpltiple impair de ^S il n'y a pas de limite déterminée.

On pourra dire:

Ces arguments correspondent à des azimuts singuliers. Prenons comme second exemple la fonction :

D'après ce que l'on vient de voir pour l'exemple précé-