Si l'on néglige la solution

a = 0 on voit que chaque solution de l'équation :

tg <j. =. Aa, donne une intégrale particulière du problème.

l'ROPAGATIOX DE LA CHALEUR. 1^

Si donc on a réussi à développer // (r) en une série de la forme :

Tf (r) = A , sin ar -|- Aj sin ar -f- • • • -h A„ sin \i.r -\- ... y.|i. ... y.

étant les racines positives de l'équation. La solution du problème sera :

U = Aje-îj^"' sinar -f- ... -|- A„e-5t ' sinar -[- •••• 'i «

Pour démontrer rigoureusement que U est bien la solution, il faudrait faire une discussion analogue à celle qui a été faite au sujet du problème de l'armille, ce qui se ferait tout à fait de la même manière.

Ainsi le problème est ramené à celui-ci :

Développer la fonction rf (r) en une série procédant suivant les fonctions :

sm [jir, sm [j!.r sm ar

98. Si on suppose le développement possible, on pourra en trouver les coefficients par une méthode analogue à celle que l'on a employée pour la série de Fourier.

On a démontré l'identité :

qui pour t = o devient :

/sin [jy sin |j.r rb' = o, 0 '< 2

sous la condition

Si:

on a:

/ sin^ u.r dr =

r, sini2|ji"|

Considérons

rf (r) = > A,- sin [xr -(- A„ sin ;jir,

multiplions les deux membres par sin <j.r ch\ et intégrons

entre o el 1.

On aura :

/ rf[r) sinuL?- dr ^ A„ / sin^ u.?- c?r. i/o '« «^0 «

D'où

■ sin2;jLn ^,

^ - ^j =jyW sin ^rrfr.

Reste à démontrer la possibilité du développement que Fourier admet sans démonstration.

La seule démonstration rigoureuse est celle de Cauchv, ([ui se rattache aune méthode générale pour développer une fonction en une série de forme déterminée.