Considérons maintenant un exemple un peu plus général

Soit:

a,, a^, ... , a„ étant des nombres réels rangés par ordre croissant.

Posons :

z =z <^ -\- i-f = pe'^

Si (0 est compris entre o et tt, y tendra vers -|- oo , et, comme l'on a :

I e'«2 I = e-ar

On voit que, si a est positif, celte expression tendra vers zéro.

Cela posé, nous allons démontrer que la valeur asymptotique de /"(z) est dans ces conditions:

n effet.

gj(X>-

11 s'agit de montrer que chacun des termes du second membre tend vers zéro, et ceci résulte immédiatement de ce que nous venons de dire plus haut.

Si, au contraire, on avait:

TT <C w < o

Y tendrait vers — x , et l'on démontrerait que la valeur asymptotique est :

Pour co = 0 et co =: TT on a des azimuts singuliers.

Si l'on prend le secteur compris entre les deux azimuts u)0 et coj choisis de manière qu'ils ne comprennent aucun azimut singulier, si Ton a par exemple :

O < (Uq < tO, < TT

non seulement l'expression :

I fiz)

tend vers zéro, mais encore elle tend uniformément vers cette limite.

186 MÉTHODE DE GAUGHY

En effet, on a :

Ail

et:

y = p Sin (o.

Or, on a l'une des deux inégalités :

Y > p sin toç,

ou bien

Y > p sin co.

Donc on peut prendre p assez grand pour que la différence :

soit en valeur absolue inférieure à une quantité s, et cela quel que soit co.