XII
ca =6 — esm (2Z — t — ■ax)— 6^ P — -—& sml2i —L — 'm')
xn'A.o' , • / III V i\ 1 'tn"a'n' n'A'
■ ^ m"a'n' {n - 2n" -\- a'f ^ ' (ii! -2n" -\-a!'f ^ '
les quantités A, Ao', k.^ et A" étant celles du n° 10.
II. Perturbations des excentricités et des périjoves. — Termes qui en résultent dans les rayons vecteurs et les longitudes.
16. Occupons-nous actuellement des inégalités de l'excentricité et de la longitude du périjove qui sont du premier degré par rapport aux excentricités, pour les substituer ensuite dans les expressions (8). Il faut, pour les obtenir, considérer dans la fonction perturbatrice les termes du second degré. Ceux-ci étant de deux espèces, les uns périodiques, les autres explicitement indépendants du temps, il en résultera pour les éléments e et trr de nouvelles inégalités périodiques et des inégalités séculaires.
Les termes périodiques que l'on devra conserver dans la fonction perturbatrice seront, exclusivement, ceux qui peuvent acquérir de petits diviseurs, ceux qui contiennent le coefficient J, et ceux qui dépendent de l'excentricité de l'orbite de Jupiter. Nous prendrons en conséquence, relativement au premier satellite, •
-l--(22A"'^+7A/^^ + A2'") COS {4'-2l-2'^)
-— (2iA''" + 7A/^^ + A2"0 COS (4Z'2?-T!7-^');
V = — e^ + ^e^ cofi {21 — 2-^7) ;
des mouvements des Satellites de Jupiter. 33
les expressions de R(o,2) et R(o,3) ne différeront de la première ligne de R(o,i) que par la substitution des éléments du troisième ou du quatrième satellite à ceux du second.
Les formules qui expriment les variations des éléments e et rn- peuvent encore se réduire aux suivantes :
de I dD> dts i (?Q
dt na^e dtj^ dt tm^e de
D'après cela, si l'on pose
(0,1) = - '^'«(aAi<"> + aAo<''0 =- "^ naB<'\
2 fx 4 fJ.
[0,1] =1 ^'w(-aA(" + aAiW + aA,"0 = - -naB'", 2 fJ. 4 /^
2 fi
— -^ 2 fj.
si l'on désigne de même par (0,2), (0,3) et [0,2], [0,3] ce que deviennent respectivement les fonctions (0,1) et [0,1] lorsqu'on y remplace les éléments du second satellite par ceux du troisième et du quatrième, et si l'on fait, en outre,
M. SouiLLART, Théorie analytique
on aura les deux équations
/de -^ = -[o,i]e' sin (w-'Kr')-[o,2]e" sin (■c^— Er")-[o,3]e'" sin (-nr-^ir"')
— I o,r \e sin (4Z' — 2?— 2'r!r) H-(^^^^^S^7^e' sin (4?'— 2? — ■ro- — ^')
— 5[o]e sin (2^ — 2^-) — 3(0)6 sin (27 — 2-57)
'^sin(J'-7 + n-^)-sin(-J'4-7 + n-'Z3-) + 7sin(-3J'+37+n-^)
-sin(J' + 7-n-^)-^sin(3J'-7-n-^)--sin(- J' + 3Z-n-^)
^ 37 = M'-'— [o,i]e' cos («r — -57') — [o,2]e" cos (-zjr— -î!^") — [o>3]e'" cos (-zb-— îiT'") +1 0,1 1^ cos (4^ — 27 — 2-25-) — (^^^o^T^e' cos (4Z' — 2Z — w — -ro-') 4-5[o]e cos (2 J?— 2'zs-) + 3(o)e cos (2? — 2'ro-)
^cos(J'-?+n-^)-cos(-J?+Z + n-^) + ^cos(-3J' + 374-n— -nr)
-cos(J'+7-n-^)-~cos(3J'-7-n-'cr)-icos(-J?+3^-n-'5T)
Pour former les équations analogues relatives au second satellite, on de\Ta, outre les termes non périodiques, considérer dans R(i,o) l'argument 4/' — 2/, et dans R(i 2) l'argument \1!' — 2I! . On prendra
E,,,o) = \ B'V2-' B^^W cos( ^-^') 8 4
-— (2iA«>+7Ai® + A2(^^)cos(4Z'-2Z-^-^')
+— (igA^^HyAi'^^ + Aa'-O cos (4Z'-2?- 2'=7').
R(i 2) se déduira de R(o,i) par l'addition d'un accent à chaque lettre. R(i^3), R(i,,) et V se déduiront de R(o,3), R(o,«) et V respectivement, en y mettant les éléments du second satellite au lieu de ceux du premier. Posons de même
(1,0) = ' '-'«'a'B">, [1,0] = ' ^«VB(^ 4M 4M
[T^= ' '-^«'Ci9a'A'2'+7a'A,<^> + ci'A2'^^), 2 /^
ïjo"^ = ' "\ n'(2 1 a' A® + 7a'A,"^ + a'A2»>) ; ^^ 2 /i
des mouvements des Satellites de Jupiter.
désignons par 1,2
et i^ ce que deviennent les fonctions 1 1,0 | et ^PJ^ quand ony ajoute un accent à chaque lettre; et par (1,2), (1,3), [1,2], [1,3], (i), [i] ce que deviennent les expressions (0,2), (0,3), [0,2], [0,3], (o), [o] lorsqu'on y met les éléments du second satellite au lieu de ceux du premier. Enfin posons encore
Il viendra les deux équations
dt
e'di
dt
= -[i,o]e sin ('m' — ■m)-[i,2']e" sin ('ra-'-'nr")-[i,3]e"' sin (■zd-'-ot"') — I 1,0 |e^ sin (4l' — 2l — 2's^') + (y^e sin (4^' — 2? — -sr — ra-') -I 1,2 \e' sin (4Z"2Z'-2w') + Q^e" sin (4I" -2I' -'dt' -^") — etc.
= Me'-[i,o]éî cos (w'-^)-[i,2]e" cos ('^'-'^")-[i,3]e"' cos (^'--sx'") +1 1,0 \e' cos (4/' — 2Z— 2CT-') — ( i^o" e cos (4Z/ — 2Z— •td- — w')
+ jj^e' cos (4l"-2l'-2^')-(7^e" cos (4r-2Z'-'Er'-':<7"),
+ etc.
en omettant d'écrire les termes qui proviennent des fonctions perturbatrices
R(M)etr.
On formera les équations relatives au troisième satellite en déduisant R(2,i) de R(io) par l'addition d'un accent à chaque lettre, et désignant par I 2,1 | et C2J) ce que deviennent | 1,0 | et (T^ par le même changement ; et ainsi de suite. Enfin on procédera de même pour former les équations qui se rapportent au quatrième satellite.
1 7. On n'obtiendrait qu'une approximation insignifiante si, pour intégrer les équations (8), (9) et les équations analogues relatives aux deux autres satellites, on procédait par quadratures, en regardant aux seconds membres tous les éléments comme constants, sauf les angles rr, 7*7', . . . , comme on a fait jusqu'ici. En efiet, pour les deux premiers satellites au moins, les variations des excentricités sont plus considérables que les excentricités ellesmêmes : il est donc nécessaire d'avoir égard à la variabilité de ces éléments aussi bien dans les seconds membres que dans les premiers.
Observons que si l'on ajoute aux seconds membres des équations (8) les termes respectifs — ^C sin (ct+f—z^)^ !^C cos (ct+f—zir) provenant des termes
M. SouiLLART, Théorie analytique
du premier degré de la fonction perturbatrice, on pourra, à cause de la petitesse des excentricités et des inclinaisons, regarder comme nuls les termes négligés, et par suite les équations obtenues comme rigoureuses. Il en sera de même à l'égard des autres satellites.
Au lieu des variables e, ct, c', . . . , introduisons les variables A, k^ li\ . . ., liées aux anciennes par les équations
h = e sin -et, J: = e cos ■cr, h' = e' sin w', .... ;
les équations prendront une forme plus symétrique, et nous obtiendrons le groupe suivant :
= -[3,o]7.-[3,iF-[3,2>"-fiI]7c'" + H'";
dh"
dt
dh
f = |^7. + [o,i]7.' + [o,2]7."+[o,3]7.'" + K, dt
dJl ^
dt
en posant
H = 2C cos (rt-^f)+ (|o,i |A;-C^o^7b') cos (47^-2Z) + (| o,i \h—Co^)'h') sin {4'-2l) + 3(0) (7.; cos 2l-\-h sin 2I) + les termes périodiques provenant de R(o,s) ;
H' = 2C' cos {c't +f) + QY^\k'-C7^ h) cos (4?'- 2?) + ([T^ U'-^J^ h) sin(47'-2;Z)
+ ([T;r\h'-CiJ^l-") cos (47"-20 ^(ll^h'-Çî^^h") sin (47" -27') + 3(i)(7(;' cos 2l' + h' sin 2I') + ....,
H" = IC ' cos (c' t+f ') + (ÏJJjJc" -(T^T) h') cos (4/" -27')
+ (: 2,1 \h"—C2^h') sin (47"-27') + 3(2)(7j" cos 2l" + h" sin 27")
H'" = 2C'"cos(c'"7+,7"') + 3(3)(/,"' cos 2I'" -^h'" sin 2?'")
des mouvements des Satellites de Jupiter.
et désignant par K, K', K", K''' ce que deviennent les expressions respectives de H, H', H''', H"' lorsqu'on y augmente de 90° chaque argument.
Les coefficients désignés parles diverses parenthèses (0,1), [0,1], fô|, etc., qui entrent dans les équations précédentes, dépendent exclusivement des masses, des moyennes distances et de la constante /, définie au n° i , Pour se faire une idée de leur importance relative, il suffira d'employer les données numériques de la Mécanique Céleste. Si nous prenons les mêmes unités qu'au n° 5, nous aurons le tableau suivant, dans lequel nous écrivons, au lieu des nombres (qui sont tous positifs), leurs logarithmes à quatre décimales, et où nous inscrivons, en outre, les logarithmes des coefficients A, Ao', A/, A", ainsi que ceux des nombres
'ii — 2n' + u
Bo' =
Tableau I.
CoefiBcient.
Logarithme.
Logarithme.
Coefficient.
Logarithme.
Coefficient.
Logarithme.
Ijj
5ÏD
cs^
18. Reprenons maintenant le système des équations différentielles simultanées (10). Elles ne sont pas susceptibles d'une intégration rigoureuse,
^S M. SouiLLAET, Théorie analytique
et la méthode d'intégration qu'on adopte y fait apparaître successivement les diverses puissances de la force perturbatrice.
En distinguant dans l'expression des variables h, k, h\ ... ce qui pro"sâent de la configuration mutuelle des corps que l'on considère et ce qui en est indépendant, on sait que, en iiêgligeant seulement des termes du second ordre par rapport à la force perturbatrice^
1° on obtient les inégalités pénodiques de ces variables en prenant simplement les équations
, . dli -rj dJc xr dh' tt/
^"> dt=^^ dt=^^ Jt=^^ '
et les intégrant par quadratures, ce qui a déjà été fait en partie avec quelques modifications, et sera continué plus loin (n° 19) ;
2° on obtient V ensemble de la partie ellii^tique et des inégalités séculaires en posant les équations :
(12) ( dt
^ = -[i,oU + LL]//-[r,2]/--[i,3]A;%
Nous verrons au Chapitre TY que cette première approximation ne suffit pas, et qu'il faut avoir égard aux puissances supérieures de la force perturbatrice pour les inégalités de l'une et de l'autre espèce.
On peut, dans les équations (12), regarder les grands axes des orbites, et par suite les coefficients l o|, [0,1], . . . comme des constantes absolues : on a alors un système d'équations différentielles linéaires à coefficients constants et sans second membre, que l'on sait intégrer. Elles sont de même forme que celles qui déterminent les inégalités des mêmes éléments dans le cas des planètes : il y a toutefois une différence notable due à la présence des termes (o) et [o] dans [F], ( i ) et [ i ] dans \i\ etc. La présence de ces termes tient à la nécessité d'avoir égard ici à la figure de l'astre central, ainsi qu'à l'attraction d'un corps étranger au système, à savoir le Soleil. Cette différence, d'ailleurs, ne change rien à la méthode d'intégration ; elle aura seulement pour effet d'en rendre l'application plus facile, à cause de la
des mouvements des Satellites de Jupiter.
grandeur des nombres (o), (i), . . . comparée à celle des coefficients ro,i], [0,2], etc.
Les intégrales générales seront données par les formules :
7i = M sin (^f + /3)+Mi sin {g ,t -ir ft ,) +lsi^ sin {(12^-^1^)+^^ sin {'j^t^ft^), k = M COS (gt + l3)+'Mi COS (g^t + fti)+M2 COS (;/2!Î + /52)+^l3 cos (g^it + fts),
h' = M' sin (gt + i3)+Mi' sin (g ^t + (3 ,) +M2' sin (g2t + lh)+^W sin (g^t + Pi^),
(^3) J/y = M'cos(r/i + /3) + Mi'cos(r/,^ + /5i) + ,
h'>=M" sin (gt+i3)+M^" sin (g,t + i3,) + ,
dans lesquelles
1° les nombres g, f/i, g^^ ^3, sont les quatre racines, toujours réelles, de l'équation :
i'°] 9-ïï] [i>2] [1,3] [2,0] [2,1] g-\J\ [2,3]!
2° les quatre angles /3, /Si, yS;, /Ss, sont quatre constantes arbitraires; 3° les quatre coefficients M, M', M", M"', relatifs à la racine f/, sont assujettis à vérifier les quatre équations homogènes :
qui déterminent les rapports de trois d'entre eux au quatrième, lequel reste arbitraire ; de même les quatre coefficients Mi, M/, Mi", M/'', relatifs à la racine g^, sont liés par des équations identiques aux précédentes, sauf l'addition de l'indice i à chaque lettre ; et ainsi de suite.
Les quatre constantes arbitraires qui doivent entrer dans les intégrales en même temps que les quatre constantes y8, A, A> A> <iéjà indiquées, seront
40 M. SouiLLART, Théorie analytique
i" l'un des coefficients M, M', M", M"' relatifs à la racine (/;
2° l'un des coefficients M^, M/, . . . relatifs à ^i, etc. Pour fixer les
idées, convenons que ces quatre arbitraires seront les coefficients M, Mi, Mg,
M 3, et posons
Les nombres \', \'\ )\!" relatifs à la racine g seront déterminés par les quatre équations compatibles
p/-[^ + [o,i]V + [o,2]\" + [o,3]\''' =o, |[i,o] + (^-lT|)V + [i,2]V' + [i,3]\- = o,
i[3,o] + [3,iF + [3,2]V' + (i/-û])X'" = o;
et de même pour cliacune des racines.
Les formules (13) prendront alors la forme
(i3bis).
(h = Msin (gf+i'j) + Ml sin (rjit+ft,) + M., sin (g^t + ft^) + M3 sin (gst + ft^), h' =X'M sin (gt + i3) + \^'M^ sin (^i^ + /3i) + ^2'M2 sin (g2t + r^2)+K''^i3 sin (g3t+l3^), h" = X"M8m (gt + l3) + \^"Mis{n(gif + ft,)+
Si l'on substitue ces valeurs dans les expressions
ca = —a(h cos ? + // sin l), cv = 2(h sin 1 — h cos ?),
équivalentes aux expressions (8), on obtient sous la forme suivante les termes du rayon vecteur et de la longitude du jjremier satellite dépendants de V anomalie moyenne
,^^^,, f^= -M cos (l-gt-ft)-U, cos {J-g,t-ft,)-. . . ., [cv= 2M sin (Z-r/^-/3) + 2Mi sin (J-gxt-\-ft^) + ;
et on aura des formules analogues pour les autres satellites.
19. Déterminons maintenant les inégalités périodiques des excentricité» et des longitudes des périjoves, qui sont du premier degré relativement aux excentricités. Nous prendrons à cet effet, pour le motif que nous allons exposer, non pas les équations (11) entre les variables A, k, //, • . . , mais
des mouvements des Satellites de Jupiter. 41
les équations équivalentes entre les variables primitives e, tt, e\ . . . Les deux équations qui se rapportent au premier satellite seront composées de termes de la forme
^ = -Be sin {lt+j-2^)-C^ B\n {ct+f-U.-'m), dt
e~ — Be cos {U-\-j-2'm') + CS cos (c^+/-n-w),
B, ^, j, C, c, /, désignant des quantités que l'on peut regarder comme constantes. Si on les intégrait immédiatement par quadratures, ce qui ne permettrait d'avoir égard qu'aux variations de 73-, on obtiendrait :
Se = --^^ cos {U+j-2^) + ^ cos (cf+Z-n-'cr), 0 — 2a c — a
sin (ht+j — 2'n7)+ ^^^ sin {ct+f-Ii-'m).
Pour tenir un compte plus exact des variations des éléments, remplaçons les quantités
e sin (lt+j—2'nT), e cos {ht-\-j—2'm) respectivement par
e cos w sin (ht+j—'a')—e sin -zb- cos (ht+j — 'ST) = A; sin (ht-\-j — 'w) — h cos (bt+j — 'OT), e cos ■ra- cos (bt+j—':!r) + e sin ot sin (M+j—'st) = h cos (&i+i— 't5') + 7«' sin {ht+j—'m),
et mettons au lieu de A et ^ les valeurs
;^ = M sin (gt+ft) + , Z; = M cos (gt+l3) + ;
les équations deviendront, en n'écrivant dans chacune d'elles que les termes relatifs à la racine g,
j ^-= -BM sin (ht+j-'nT-gt-ft)-CS sin (d+f-Tl-^), \e^= BMcos (6i+;-^^^-/3) + C(^cos (c^+/-n-^).
42 M. SouiLLART, Théorie analytique
Elles sont tout à fait semblables aux équations {a) du n° 8 • en les intégrant de même, on obtient les inégalités
BM CP
àe = — cos(ht+j-'z^-gt-l3) + -^=^ cos (cf-U-'m),
BM P/*
el'uj= ~ sin(&/fj-^ + r7^-/3) + ±^ sin (d-W — 'uy),
à — a — g " ' c— et ^ ^
où les premiers termes doivent être accompagnés de trois termes analogues relatifs aux racines g^, g.,, gz.
Si l'on jDrenait au contraire les équations (ii), on aurait d'abord
^^^ = B[/^ cos {U+j) + h sin (&^+i)] + C^ cos (c^+/-n),
dt
dt
= -B[h sin (ht+j)-Ji cos (U+j)]- a sin (ct+f-H),
équations que l'on transformerait dans les suivantes
f:= BM ces (bt+j-gt-fi) + CScos (d+f-U),
dt
dh dt
= -BM sin (bt+j-gt-ft)-CSsm (ct+f-U).
Bien que ces équations soient équivalentes aux équations (a), les valeurs de SA et 8k qu'on en tirerait en intégrant par quadratures, donneraient pour Se et eStr un troisième système de formules, différant du second par la suppression de la lettre a dans les dénominateurs. Ces nouvelles valeurs seraient moins exactes, puisqu'elles coïncident avec celles que l'on obtiendrait en' intégrant les équations (a) sans avoir aucun égard à la variabilité de z^ dans les arguments. Le cas est donc tout à fait pareil à celui du n° 9.
Cela posé, si l'on prend les expressions de ^% e'I'^, '— , . . . , trouvées
dt dt dt'
au n" 16, et qu'on les traite comme il vient d'être dit, on obtiendra, en négligeant J', a et g h côté de ?z, le système des formules suivantes :
des mouvements des Satellites de Jupiter.
2TO — 4w' + a + 9'
M COS {^V — 2l — 'ST — (jt — ft)
