M. SouiLLART, TJiéorie analytique
Si la quantité n — 2,11+211" n'est pas nulle, comme elle est certainement très-petite, les inégalités les plus importantes des longitudes moyennes seront celles où entrera le diviseur (72.-3?^'+ 2??"')", bien qu'elles soient du second ordre par rapport aux masses.
Pour les déterminer dans la théorie du premier satellite, on pourra, dans la longitude moyenne l=p \-e, faire abstraction de la partie e qui amènerait en diviseur que la première puissance de n — ^^n'+^ii!'. On prendra en conséquence la formule
dt^ a^ de
et on ne considérera dans le second membre que les termes dépendants de l'angle L = /— 3/'+ 2/'', ou de ses multiples. La fonction H ne contient aucun terme pareil, mais il en apparaîtra si l'on y remplace les quantités a, /, 6, . . . a', l\ . . . par a + ha^ l+Sl,e + Se^ . . . a' + Sa\ l' + SI', . . . , les inégalités Sa, 8/, . . . étant celles que l'on a obtenues dans les Chapitres II et III ; et pour les obtenir il suffira de combiner convenablement les arguments de i2 avec ceux de Sa, SI, . . . Les termes de cette espèce étant trèsnombreux, et d'importance très-inégale, on se bornera aux principaux, savoir ceux qui sont indépendants des excentricités et qui en même temps présentent un faible diviseur. Il n'existe d'ailleurs, tant que l'on a égard seulement au carré de la force perturbatrice, aucun terme en L qui contienne le coefficient J au lieu d'une masse ; en effet la fonction V ne dépend que de la longitude /, et aucune des autres parties de 12 ne contient à la fois l' et l".
Considérons d'abord la fonction R(o,i), et supposons qu'on y prenne les termes de degré zéro par rapport aux excentricités : leurs arguments seront de la forme if — il. Pour produire L ou l'un de ses multiples, il faudra choisir dans les expressions de Sa, 8«', S/, SI' les arguments de l'une des deux formes kl" —kl^ kl" — kl' : en effet la somme algébrique des coefficients I, —3, 2 étant nulle dans L, on ne peut combiner, pour former cet angle, que des arguments dans lesquels la somme algébrique des coefficients ait la même valeur absolue. Or les inégalités d'arguments kl"— kl et kl" — kl ne présentent pas de faibles diviseurs : nous rejetterons donc tous les termes provenant de cette source.
Si nous prenons maintenant les termes du premier degré de K(o,i), leurs arguments étant de la forme z( /'—/) + /', il faudra, pour produire L, des
des mouvements des Satellites de Jupiter. 47
arguments de la forme k(l"—l)+l", ou de la forme k{l"-l') + l". Or les inégalités d'argument k{l" — l) -\- 1" ne peuvent avoir de faibles diviseurs, et parmi celles d'argument k{l" — l')-\-l'\ les seules qui en présentent sont celles en 2l" — l'. Il ne s'en trouve pas de cette espèce dans les inégalités du premier satellite ; il suffira donc de faire varier les éléments du second, à raison des inégalités d'argument 2I" — l' trouvées aux n"' 10 et 15.
D'autre part l'angle 2I' — l étant le seul, parmi ceux qu'on peut prendre dans R(o,i), qui par sa combinaison avec 2I" —V puisse donner L, nous devrons réduire la fonction R(o,i) à ses termes d'argument 2I' — l. Il y a plus : il
suffira, dans l'expression de ~ qui en proviendra, de faire varier les quantités e et 73-'. En effet on obtiendra ainsi un terme du degré zéro relativement aux excentricités, et ceux qu'on obtiendrait par les variations de a et l' seraient du second degré.
Finalement on prendra donc
R(o,i) = ^(3A<'^ + A/"-^)e' cos {2V-l-^'\ et par suite
clH -im'an a / / • / 7/ 7 '^
— = -^^^nAje' sm {2I -l-'w ),
dt^ ma n
et l'on fera usage des formules
(17) ce' = -y-^, ;C0s(2r-?'-^'), e'c':.'=-;-^—-,s,m{2l"-V-'w').
Dans l'expression de ^ changeons / et ct' en é ^^é et ût' + Sct', et
désignons par A-^ le terme du second ordre par rapport aux masses qui en résulte ; on aura
dt^ tna'n! n—271+a' ^
Il n'y a pas lieu à considérer dans R^o.d les termes qui sont, par rapport aux excentricités, d'un degré supérieur au premier : car les termes qui en proviendraient seraient toujours au moins du premier degré. On devra négliger également tout ce qui proviendrait de R(o,2), parce qu'il n'y aurait aucun faible diviseur ; quant aux autres parties de 12, elles ne peuvent évidemment donner aucun terme en L, tant que l'on a égard seulement au carré de la force perturbatrice.
48 M. SouiLLART, Théorie analytique
Kelativement au second satellite, on reconnaîtra, par des raisonnements semblables, que pour obtenir les inégalités principales de la longitude moyenne, parmi celles qui dépendent de l'angle L, il suffit de considérer les deux fonctions R(i,o), R(i,3)5 en les réduisant respectivement à leurs termes d'arguments 2l'—l et 2I" —ï. et de faire varier exclusivement encore les deux éléments e' et ry'. On prendra ainsi
R(i,o, = i(3A^'^ + Ai"^-^^)e' cos {2V-l-'m')
man
avec les variations données par les formules (17), et
R(.,., = - -^A^^' cos (2^-?'-^'),
avec les variations correspondantes,
(18) he' = ^ , cos (2V-l-'m'), e'I^' = ^' . , sin (zZ'-ï-^')-
^ ^ n—2ti' + a' ^ ^ n—27l' + a'
Il viendra ainsi, en confondant les quantités n—2n', n—2n\
Enfin pour le troisième satellite, il suffira d'avoir égard aux termes de R(2,i) ^ont l'argument est 2l" — l\et d'y faire varier encore e' et tr', c'est-à-dire de prendre
Ru,u = ^^A^V cos (2l"-l'-^')
man'
avec les inégalités (18) : ce qui donnera
.dH" 6m W n" A /A ^ o- T
A = ; -Aq A2 sm h.
dt^ vi"a'n' n—2n' + a'
21. D'après cela, si l'on ne considère dans les longitudes moyennes que les inégalités oii doit entrer le diviseur (ji-'^n' + 2n"y, on aura, en remplaçant
-w et ~j-7î ^ par —ii'^ et ^y^n , et posant
n — 2n+a mm
des mouvements des Satellites de Jupiter. les égalités
On en déduit
dH' mm"-n • T
dH" mm'n • t
c?^L -f~,ftn'm" , mm." , mm'\ . r
Si l'on calcule, au moyen des nombres de la Mécanique Céleste, le coefficient de sin L dans cette équation, on trouve qu'il est positif et approximativement égal à 0,000007665. Désignons-le par jS' : l'angle L devra satisfaire à l'équation approcliée
Une première intégration donne, en désignant par C une constante qui dépend des circonstances initiales.
Pour que cette équation soit possible, il faut que le second membre soit positif, et par suite que l'on ait toujours cos L < ,,^.
1° Si l'on a ^> ou = I, la condition sera toujours remplie, et il n'en
résulte aucune limite pour l'angle L, qui pourra alors croître indéfiniment.
2° Si l'on a — i < ~^<i, posons cos (o= ^^, et prenons pour w le plus
petit angle positif qui réponde à cette valeur- On devra toujours avoir cos L<cos ûj ; par suite l'angle L, abstraction faite, s'il y a lieu, des circonférences entières positives ou négatives qu'il peut contenir, devra toujours avoir sa valeur abs(>lue comprise entre œ et 27r— w, et ne pourra qu'osciller autour de la demi-circonférence, avec laquelle il se confondrait toujours dans
le cas-limite — r2=— i.
ri
L'hypothèse --^2 <^ ^^'^^^ P^^ admissible, car il n'y aurait aucune
50 M. SouiLLART, Théorie analytique
valeur réelle possible pour l'angle L. Nous allons reconnaître que la première hypothèse doit aussi être rejetée, comme incompatible avec les observations.
Posons L = 7r±ti' ; l'équation précédente deviendra
{'^^\ ' = C + 2/32 cos X,
et le temps que mettra l'angle x à croître depuis zéro jusqu'à - sera donné par la formule
P dx
