COS

Mais dans l'intervalle de o à ^, on a cos x>o, et puisque l'on suppose C > ou = 2/3^, on aura toujours à fortiori C + 2y8" cos x > 2/B'-, d'où

•' dx t < / -^ ou f <

Jr>' dx

On trouve approximativement ^ j - = 401 jours. Si donc on avait

C > ou = 2^^, l'angle x ne mettrait guère qu'une année pour atteindre un angle droit : or cet angle a toujours paru nul ou très-petit.

La seule hypothèse admissible est donc la seconde, et par suite l'angle L ne peut qu'osciller de part et d'autre de la demi-circonférence, qui est par conséquent sa valeur moyenne, abstraction faite des quantités périodiques.

On a donc

ce qui démontre le second théorème. Le premier en résulte immédiatement : car l'égalité précédente, ayant lieu pour une époque quelconque, se partage dans les deux suivantes

£ — 3£'H-2t" = TT, 7i — 37t'-|-2'/i" = O.

Les deux théorèmes n'ont lieu qu'entre les valeurs moyennes des diverses quantités ; à une époque quelconque les expressions l— 2,1' + 2l'\ n—yï + 211!'

des 7nouvements des Satellites de Jupiter. 51

ne sont pas égales respectivement aux nombres tt et o, mais elles n'en difFcrent que par des termes périodiques, qui les font osciller autour de ces valeurs moyennes. Il n'est donc pas nécessaire qu'à l'origine du mouvement on ait eu rigoureusement les deux relations

Z — 3Z'+2Z" =: TT, W — 3?i'4-2//." = O ;

ce qui aurait exigé pour les trois premiers satellites des positions relatives très-particulières. Il faut pourtant que ces relations aient été assez approchées, afin que, par suite des attractions mutuelles de ces corps, elles aient pu s'établir rigoureusement entre les valeurs moyennes.

Ainsi qu'on l'a vu plus haut, les conditions que doivent remplir les valeurs des éléments à l'époque, quelle qu'elle soit, que l'on prend pour origine du temps, sont exprimées par les deux inégalités

Or l'équation donne, pour ^=0,

(f)' = C-.,î'cosL,

(■^{y =C-2/3!cos(£-3f' + 2."); la condition C < 2^8^ revient donc à

\dt J t-0 2

Il faut donc que la valeur initiale de '-r-, que l'on peut confondre avec celle de n— y^ -^ 2iï\ ait été comprise entre les deux limites

+ 2/3 sm-(£ — 3£' + 2£'') et — 2/3 sin -(e — 3£' + 2£").

lia condition C > — 2y8' n'ajoute rien à la précédente.

On a vu, dans les Chap. II et III, que les principales inégalités périodiques du second satellite, provenant des actions du premier et du troisième, se réunissent en un seul terme, en vertu de la relation qui lie les longitudes.

5 2 M. SouiLLART, Tliêorie analytique

Si cette relation résultait seulement de l'observation, on ne serait pas en droit d'affirmer que ces deux inégalités ne se sépareront jamais dans la suite des siècles, et on devrait les distinguer dans les Tables : il était donc trèsintéressant, pour la théorie du second satellite, de reconnaître qu'elle n'est pas accidentelle et temporaire, mais la conséquence d'une loi.

Les théorèmes subsistent lorsque l'on considère les longitudes moyennes synodiques, car la position de l'origine des longitudes disparaît dans l'équation

Il résulte de là que les trois premiers satelUtes ne peuvent jamais être éclipsés à la fois, et que dans les éclipses simultanées du second et du troisième, le premier est nécessairement en conjonction et peut, par conséquent, produire une éclipse de Soleil pour Jupiter.

2 2. L'équation

dt= ^"''

s/ C + 2/3^ COS X

détermine l'amplitude œ de l'oscillation de l'angle L autour de tt ; l'angle œ étant toujours très-petit, suivant les observations, on peut remplacer cos x

par I — — , ce qui donnera l'équation

dt = . ^^—