VC + 2/32-/3V
Si l'on désigne par D^ la constante arbitraire -^r , et par E une autre arbitraire, il viendra
a; = D sin (pt + E),
et par suite on aura
L = 7r±D sin (/3^ + E),
en se bornant à considérer dans L l'inégalité qui provient des termes du second ordre par rapport aux masses. La période de cette inégalité est 2^^=2270 jours, çu un peu plus de 6 uns; quant aux deux arbitraires 1), E,
elles remplacent, au point de vue analytique, celles que suppriment les deux équations
des mouvements des Satellites de Jupiter.
Di
ce qui rétablit le nombre de constantes exigé par les équations difFérentielles.
Reprenons maintenant les valeurs de 'p, ^^, ^ données au n" 2 1 ;
les inégalités qu'elles fournissent seraient les plus considérables parmi celles qui affectent les longitudes moyennes, si elles se présentaient en effet avec le dénominateur (72 — 3^' + 2 /^")^ Mais on vient de voir que
L = TT + D sin (/5^ + E), (D pouvant être positif ou négatif) ; on aura par suite
sin L = — sin [D sin (/3f + E)],
quantité que l'on peut confondre avec -D sin (/S^ + E). On obtiendra ainsi pour les longitudes moyennes des trois premiers satellites les inégalités
cl = -^r -sin(/5i + E),
cl' = -^^-7^ w sin (pt + h),
r.^,, 2mm' PD • / T, 1 XIN
cl" = ——- -^ sia (p^ + E).
Laplace désigne sous le nom de libration l'inégalité -^ ^^^^ (/3^+ ^) 4*^^^ se répartit ainsi entre les trois premiers satellites, su.iva'it un rapport dépendant à la fois de leurs masses et de leurs distances à Jupiter. Cette inégalité est probablement insensible, car toutes les recherches qu'a faites Delambre pour la démêler dans les observations ont été infructueuses. Il faut en conclure que les mouvements primitifs des trois satellites ont iort approché de satisfaire aux égalités
l — 2,l'+2l" = Tv, n-2,n' + 2n" = 0;
on a, en effet, W = ^±^, et pour que D soit très-petit, il fout que C soit
p presque égal à -2/3" ; par conséquent l'angle o) sera très-voisin de tt, et on a
vu que L doit en être encore plus voisin.
23. Les théorèmes qui lient les moyens mouvements et les longitudes moyennes des trois premiers satellites résultent uniquement, comme on l'a
54 M. SouiLLART, Théorie anabjtique
vu, des attractions de ces astres : il importe donc de s'assurer que les actions étrangères ne viendront pas en troubler l'exactitude, et qu'ils continuent de subsister malgré les altérations qu'elles peuvent produire dans les moyens mouvements.
Considérons, en effet, une inégalité à très-longue période qui affecte les longitudes moyennes, et qui soit due à une cause quelconque, connue ou inconnue, comme les déplacements séculaires de l'orbite et de 1 equateur de Jupiter, ou la résistance d'un milieu très-rare. Soient \ûn{it+o), X' sin (it-to), y sin {it+o) les termes qui en résultent dans les trois longitudes
moyennes. Au lieu de l'équation ^-—=p^ sin L, nous prendrons
Çî" = /32 sin L-i2(X-3\' + 2Z") sin {it + o). Si l'on pose lj = 7r + œ, et que l'on confonde sin x avec x, il vient ^^ + /32., + t2(\-3\'+2\") sin {it+o) = o,
et cette équation donne
« = D sin (i3t + 'E) + —^(X-3\' + 2X") sin (it + o).
Le premier terme de cette valeur est celui dont on a déjà tenu compte, et quant au second, qui donnerait une espèce d'équation séculaire, le facteur
~ — ,2 ^^ rend négligeable, parce que le nombre i est supposé beaucoup plus
petit que /8. Ainsi la partie de ,v qui provient de la cause perturbatrice considérée est tout à fait insensible, et par suite les théorèmes subsistent.
Pour qu'il en soit ainsi, malgré les altérations que cette cause produit dans le moyen mouvement de chaque satellite, il faut que les inégalités qui en résultent soient telles que celle du premier, augmentée de deux fois celle du troisième, soit égale à trois fois celle du second. Ce rappoi't n'existe pas entre les termes \ sin (zY+o), X' sin (it+o), \" sin (it+o) que fournit la première approximation ; mais la libration des satellites modifie d'une manière remarquable ces inégalités à la seconde approximation, et les amène à satisfaire à cette loi. Prenons en effet la formule trouvée plus haut
clH m'm"Tt ■ T m = — 2- P sin L ;
des mouvements des Satellites de Jupiter. 55
l'angle L contient dans son expression des termes en it+o^ lesquels, par
dH
substitution, feront apparaître de nouveau cet argument dans -. Pour obtenir
ces nouveaux termes, il suffira de remplacer L par
7r + -:^^,(\-3^' + 2\") sin {it + o),
ou bien sin L par l'expression
Il viendra ainsi dans ^- le terme du second ordre
dH^ m' m" p t" dt^ a2 Î-2-/32
et par suite dans l le terme nouveau
lequel n'est pas négligeable, parce que le dénominateur r-^' se réduit sensiblement à -/3% quantité dont la valeur absolue est du meine ordre de grandeur que le facteur
(le rapport ^^?^P^ est compris entre ~ et i). V a /5 3 4/
En opérant de même pour le second et pour le troisième satellite, et ajoutant les termes nouveaux aux termes primitifs, on trouve que les inégalités dont il s'agit sont données finalement par les formules
W = (x'-^F'^-^^f^') sin (it + o).
On en tire
rZ-3cZ' + 2cZ" = (\-3X' + 2\")(i+^5^2) ^in('ï'o);
56 M. SouiLLART, Théorie analytique
or le facteur
iH — - —
se réduit ù zéro si l'on peut négliger z^ à côté de ^l Ainsi, par les actions mutuelles des trois pre^niei^s satellites, les illégalités à longues périodes de leurs longitudes moyennes se coordonnent de manière à satisfaire aussi à l'équation qui régit leurs moyens mouvements, avec une exactitude d'autant plus grande que la p)ériode est pdus longue.
On devra donc tenir compte de cette remarquable modification, dans le calcul des inégalités de cette espèce, et en particulier dans le calcul des équations séculaires. Si la période n'est pas très-longue, les inégalités approcheront moins de satisfaire à la relation précédente, mais la correction pourra cependant être encore très-sensible ; pour qu'il y ait lieu de l'appliquer, il suffit que le nombre i- soit au moins du même degré de petitesse que ^\ c'est-àdire que la période soit d'au moins six ans.
L'équation annuelle est dans ce cas, puisqu'elle a pour période une année de Jupiter. Elle a été trouvée au n° 15 sous la forme
3iZf^f sin (J'-n); n
on aura donc
et par suite les équations annuelles des longitudes deviendront
Ces expressions se simplifient un peu, si l'on admet, outre la relation w— 3n' + 2?i!." = o, les deux suivantes n—2n'=-o, n' — 2n" = 0, qui sont beaucoup moins exactes : on aura alors des formules identiques à celles de la Mécanique Céleste.
