XV

des mouvements des Satellites de Jupiter. 57

II. Termes complémentaires des équations qui déterminent les inégalités séculaires des excentricités et des longitudes des p>érijoves.

24. Ainsi qu'on la vu au n° 18, lorsqu'on a égard seulement à la première puissance de la force perturbatrice, les équations (10), qui régissent les variations des excentricités et des longitudes des périjoves, se partagent en deux groupes ( 1 1 ) et ( 1 2 ), lesquels déterminent séparément les inégalités périodiques et les inégalités séculaires de ces éléments. Si l'on veut pousser plus loin l'approximation, il faut dans les équations (10) remplacer chacune des quantités h, k, h\ . . . par l'ensemble des termes que fournissent les intégrales des systèmes (11) et (12), et ajouter de même aux autres variables a^ l, a', l\ . . . leurs perturbations du premier ordre par rapport aux masses. Parmi les termes du second ordre qui apparaissent alors dans les valeurs de

dji dh cW

cie dt' cw

il en est qui sont explicitement indépendants du temps, et en faisant de nouveau le partage, on obtiendra deux nouveaux groupes d'équations, analogues aux groupes (11) et (12), qui détermineront encore séparément les inégalités périodiques et les inégalités séculaires de A, k, //, . . . , en tenant compte, cette fois, non-seulement de la première puissance^ mais encore du carré de la force perturbatrice. Celles de ces équations qui se rapportent aux inégalités séculaires ne différeront des équations (12) que par l'addition d'un certain nombre de termes aux seconds membres ; dans les autres, les tenues primitifs des équations (11) se retrouveront aussi, les uns sans modification, les autres sous une forme plus compliquée, et de plus il y aura un grand nombre d'arguments nouveaux.

Les formules que donne cette seconde approximation étant substituées à leur tour dans les équations (10), en même temps que les formules analogues relatives aux autres éléments, on sera conduit encore à deux nouveaux systèmes d'équations pour déterminer les inégalités de A, k^ h\ . . . , en poussant la précision jusqu'aux termes dépendants du cube de la force perturbatrice^ et ainsi de suite.

58 M. SouiLLART, Théorie analytique

Occupons-nous d'abord exclusivement des termes non, périodiques que les approximations successives introduiront dans les valeurs de — J, -'. etc., et,

en ^;?Y«i?er lieu, de ceux qui résulteront de la seconde apijroximation. Ces termes seront très-nombreux ; pour en obtenir, par exemple, dans la

valeur de ^, il suffit de prendre dans l'expression H (n° 17) un terme

d'argument quelconque, et d'y augmenter les quantités a, l, h, k, a\ . . . de leurs inégalités périodiques dépendantes du même argument.

Les termes ainsi obtenus seront nécessairement au moins du premier degré relativement aux excentricités. En effet, si le terme de départ pris dans ^ est du degré zéro, la somme algébrique des coefficients des longitudes

moyennes dans son argument est égale à 4- 1, et les inégalités de a, /, a\ . . . qui dépendent du même angle, sont du premier degré ; si le terme de départ est du premier degré, il reste tel quand A, ^', //, ... y varient de leurs inégalités de même argument, mais il devient du troisième si l'on emploie les inégalités de a, /, r/, . . . Pour que les termes nouveaux soient sensibles à côté de ceux qui entrent déjà dans les équations (i 2), il faut quHls ne dépassent pas le pjremier degré. Il faut de plus que la petitesse des masses y soit compensée par la présence de faibles diviseurs ; il y aura lieu cependant d'examiner aussi les termes dans lesquels les masses sont remp)lacées par le coefficient J.

Les faibles diviseurs ne pourront être que l'un des nombres n—m'+a, n—2n' + a\ . - .*, leurs multiples et leurs puissances, et ils se trouvent exclusivement dans les inégalités qui ont pour argument l'un des angles 2l' — l^ 2I" — l\ 4.l' — 2l, /^l" — 2l'. Nous serons donc conduits à considérer d'abord dans H le terme —A cos (2^'—/), faisant partie du groupe XC cos (ct+f), et ceux qui dépendent de l'angle âj! — 2I.

25. Si dans le terme —A cos (2/'—/) on fait varier les quantités a, /, f/,7', il s'accroit de l'expression

('''Aca->r—aA cos (2Z'-Z)-Asin {2V -l)x(cl-2lV), \da 'la J

* Il n'y pas lieu à considérer le diviseur J^, à cause de la petitesse du coefficient [o] : le

terme en 2 /? de — donnerait le résultat insignifiant — ~- ^ -'^ -j-J'- -~° dt dt 2 J/'

des mouvements des Satellites de Jupiter. 59

et l'on obtiendra des termes non périodiques en substituant dans cette expression les inégalités d'argument 2I' — l^ ou d'argument

comprises dans les formules (X), (XI) et analogues (n° 15).

Dans les valeurs de 8(2, Sa', Se, Se', les faibles diviseurs n'entrent qu'à la première puissance, tandis qu'ils entrent au carré dans Sp et hp' ; comme on a à peu près

on pourra négliger les variations des grands axes, et se borner à faire varier les longitudes moyennes des quantités Sp, Sp', données par les formules (XII). Posons, pour abréger,

p — nA

r^ rVia'n' n'A.

711' an Qii — 2n' + ay^'

'a"n" n"Ao'

m'an

wa;

ma'n'

' in'

les formules (XII) pourront s'écrire, en y introduisant les quantités A, ^, h\ . . . au lieu de e, tir, e', ... , sous la forme

^U = (Fh + V'k') siu (2l'-l)-(Ph + F'h') cos (2l'-l), cl' = (qjc + Q'k') sin (2l'-I)-(Qh+Q'k') cos (2l'-l),

+ (R7y + R'7o") sin (2l"-l')-(R'h' + U"h") cos (2/"-/'), U" = (8']c' + S"h") sin (2l"-V)-(8'h' + S"h") cos (2l"-l').

Si l'on porte ces valeurs de SI et ht' dans l'expression

-A{cl-2ll') sin (2l'-I),

6o M. SouiLLART, Théorie analytique

en ayant égard à la relation

il vient les termes non périodiques du second ordre*

--A[P/^ + P7/-2(QA: + Q7o') + 2(R7o' + R'7y')].

Posons encore

ce premier gronj^e de termes non périodiques s'écrira sous la forme

Réduits en nombres, ils donnent, avec nos unités,

0,000 186 8 A' + OjOoo 123 o h' —0,000 079 4 h" ;

ils sont donc très- sensible s à côté de ceux qui entrent primitivement dans ^', savoii':

0,002 452 lu — 0,000029 5 ^i'— 0,000 009 57 //' — 0,000000 39/.:'".

Quant à ceux que nous négligeons, et qui proviendraient de S(^, Sa', Se, Se', on peut s'assurer que leurs coefficients atteindraient au plus quelques unités du sixième ordre décimal. Dans ce qui suit, nous devrons donc ne pas tenir compte des termes additionnels dont le coefficient serait au-dessous de 0,00001. Cela s'accorde avec cette considération très-vraisemblable que l'on peut tout au plus compter sur 3 chiffres de | o |.

On obtiendrait encore des termes non périodiques si l'on prenait dans

j^ les termes d'argument 2/' — / qui sont du second degré par rapport aux

excentricités (ils seront développés plus loin, n" 43), et qu'on y fit varier les quantités /i, k, h' et k' de leurs inégalités d'argument 2l' — l ou 2I" — l', qu'on peut déduire des formules (7) (n" 10). Mais les faibles diviseurs ne s'y

* Pour abréger, nous appellerons souvent ordre d'un terme, sans autre indication, le nombre de facteurs qu'il contient de l'espèce des masses, et de(jr(i du même terme, le nombre de facteurs de l'espèce des excentricités (et des inclinaisons, s'il y a lieu).

des mouvements des Satellites de Jupiter.

trouveraient aussi qu'à la première puissance, et on peut constater que les coefficients atteindraient à peine 0,000001.

Considérons maintenant dans H les termes d'argument 4/' — 2/. Comme ils sont du premier degré relativement aux excentricités, on ne devra y faire varier que les éléments /i, k, h\ k'. îsous prendrons donc simplement l'expression

(I 0,1 \^h—(o^i^èk') cos (4l' — 2l) + (| 0,1 \cJi— o,ï ^Jo') sin (4?' — 2Z).

Les valeurs de SA, Sk, . . . que nous y substituerons ne sont pas celles qu'on peut déduire des formules (16) (n" 19) ; celles que nous prendrons seront moins exactes, mais mieux appropriées au calcul actuel. Pour les obtenir, nous intégrerons immédiatement par quadratures les valeurs de

^, e— , (bornées aux termes dont il s'agit), en ayant égard seulement aux

variations des périjoves : il viendra ainsi, en posant

2'ii' — 411" + 2a' '

le groupe de formules

fêh = (Th + T'l') sin (41'- 2l)-(Th + T'h') cos (4^-21), èh' = (U/.: + U7/) sin (4r-2Z)-(U/i + U70 cos (4^-20

+ (Y'k' + y"k") sin (4Z"-2/')-(V7i' + V"A") cos (4^-2^; (20) ^ ch" = (^Y'k' + W"l-") sin (4l"-2l')-(W'h' + Yl"h") cos (4l"-2l'); ck = (T/.- + T7y) cos (4Z'-20 + (TA + T7(/) sin (4/'-20,

ck' =

62 M. SouiLLART, Théorie analytique

En substituant dans l'expression trouvée plus haut celles de ces inégalités qui se rapportent aux deux premiers satellites, et ayant égard à la

dh — 2i=300 +46 —2^, on ouuent aans

périodiques

relation 4/"— 2/' = 360° + 4/' — 2/, on obtient dans ^-^ les nouveaux termes non

|o,i \(T1: + Th') -C^\lih+ {\J' + Yyc' +Y"l-"'\.

Il n'y a pas lieu à conserver ces termes, car ils ne donnent que quelques unités du sixième ordre décimal ; mais il n'aurait pas suffi, pour être en droit de les rejeter, d'observer qu'ils ne présentent qu'un seul faible diviseur : car

les termes analogues ne seront pas tout à fait négligeables dans ^.

26. Outre les termes du second ordre que l'on vient d'obtenir dans la

valeur de '-^, on doit se demander s'il ne faut pas y conserver aussi ceux qui

contiennent, au lieu du produit de deux masses, le carré du nombre J. Il n'existe d'ailleurs aucun terme non périodique contenant à la fois un seul facteur J et un petit diviseur.

Parmi les termes de H, il en est un, (o) cos /, compris dans la partie 1)C cos (c^+/), dont le coefficient est relativement assez grand. Lorsqu'on y fait varier a et /, il s'accroît de

, ^ca cos l — (o) sinZ c ? = — (o) f - — cos l + sinZ cl ) , da \2 a J

et si l'on substitue dans cette expression les termes de 0*2 et tl qui dépendent de /, savoir (n" 15, formules X),

— = 2^^^ e COS {/ — tu), èl = -L ^-^a sm (/ — -sr), a n 2 '//

elle fournit le terme non périodique

2i (ol^^.^

On trouve un terme analogue en prenant dans H les termes d'argument 2I contenant le facteur J, savoir

3(o)(/j cos 2l-\-h sin 2/),

des mouvements des Satellites de Jupiter. 6^

et y augmentant les quantités h et h de leurs inégalités dépendantes de l'angle 2/, déterminées par le même moyen que les formules (20), savoir

(21) oli = 3- ^(h sin 2l-h cos 2I), ck = ^ ^~\k cos 2l + h sin 2I). 2 n ^' 2 n '

Il vient ainsi le nouveau terme non périodique

Enfin on obtiendra encore un terme tout pareil, en prenant, dans la partie de ^| qui provient de V, les termes d'argument / qui sont du second

degré par rapport aux excentricités, et y faisant varier h et k de leurs inégalités d'argument l contenues dans les formules (7), savoir

(22) cm = M sin Z, cA: = ^cosL

Pour former dans ^ les termes dont il s'agit, il faut prendre dans V les termes

-3 eCOs(Z— ■nr)+|e=^ C0S(Z — 'Z3-) ,

et les substituer dans la première des deux formules

f^^ = I / /i^+PyZQ ^/^

\dt na'^\ 2 J dJc 2na^ de^

(7A; I / h^ + k'^ym ï j.i]^

\dt na^\ 2 Jdh 2na^ de'

Il vient ainsi :

éh = (5)r(;i2^/.2) cos l+22k(k COS l+h sill ?) .

On en tire, au moyen des formules (22), le nouveau terme non périodique

Il M!z;.

64 M. SouiLLART, Théorie analytique

Ce terme et les deux précédents forment en se réunissant le terme unique

dont le coefficient atteint à peine quelques unités du sixième ordre décimal, et que nous négligerons en conséquence.

Le nombre (o) étant notablement plus grand que les nombres (i), (2) et (3), les termes analogues aux précédents seront à plus forte raison négligeables dans les valeurs de

dh' dh" . dh'"

— , et .

di dt dt

On a \Ti déjà (p. 58) que les termes de ^' provenant de R(„,,) ne donnent rien.

27. Par des raisonnements pareils à ceux du n° 24, on sera conduit, pour obtenir les termes non périodiques qu'il faut ajouter à la valeur de

j^, à prendre dans l'expression H' en premier lieu les deux termes

a; COS (2r-])-A^' COS (2/"-?')-

Si Ton pose encore, pour abréger l'écriture des formules, b = Q, b' = Q'-R' + 2S', b"=-R" + 2S",

ces termes donneront, par l'emploi des formules (19), le groupe

En considérant ensuite les arguments âj! — 2I et 4/"— 2/', et faisant usage des formules (20), on obtiendra de même les termes

auxquels il faut avoir égard, bien qu'ils ne contiennent (ju'un seul petit diviseur, puisqu'ils donnent approximativement

0,000003532 /,■ — 0,000 014 06 A' + o,ooooi3 18 h".

On trouvera de la même manière, relativement au troisième satellite, qu'il faut ajouter à la valeur de -— les termes non périodiques

(D) -iA"(b&+b7.'+b"F');

quant à ceux qui proviendraient de l'argument /\.l" — 2I', ils atteindraient au plus quelques unités du sixième ordre décimal.

En ce qui concerne le quatrième satellite, il n'y a aucun terme sensible à

ajouter à la valeur de — — .

Les nouveaux coefficients qui figurent dans les formules précédentes devant se retrouver encore souvent dans ce qui suit, il sera utile d'en faire connaître les valeurs approchées. Le tableau suivant contient les logarithmes de ces coefficients (le signe — placé devant un logarithme se rapportant au coefficient).

Tableau II.

CoefF.

Logarithme.

Coeff.

Logarithme.

Coeff.

Logarithme.

Coeff.

Logarithme.

28. Examinons maintenant s'il y a lieu d'avoir égard à quelques-uns des termes non périodiques dépendants du cube de la force 'perturbatrice.

Pour obtenir dans ^ les termes de la troisième approximation, périodiques ou non, il faut prendre son expression primitive, et y remplacer chacune des quantités a, /, /i, h, a' ^ . . . par l'ensemble de sa valeur relative au mouvement elliptique, et de ses perturbations du premier et du second ordre, en conservant dans le développement les carrés et les produits des perturbations du premier ordre, et les premières puissances de celles du

66 M. SouiLLART, Théorie analytique

second. Ceux des termes obtenus qui seront explicitement ïndépendants du temps seront tous au moins du premier degré relativement aux excentricités. On le reconnaît aisément en ayant égard à la remarque suivante, qui s'applique à toutes les puissances de la force perturbatrice : le degré, par rapport aux excentricités, d'une inégalité jjériodique d'un élément est au moins égal à la somme algébrique des coefficients des longitudes moyennes dans T argument de cette inégalité, si elle se rapporte au grand axe ou à la longitude moyenne ; il est au moins égal à cette même somme, diminuée de i , quand elle se rapporte aux éléments A, k.

Pour que les termes dont il s'agit puissent être sensibles à côté de ceux que contiennent déjà les équations (12), il faut qu'ils ne dépassent pas le premier degré. Il faut de plus, pour compenser la petitesse du produit de trois masses, qu'il s'y trouve au moins trois p)etlts diviseurs : on ne pourrait d'ailleurs en avoir davantage, quand on se borne au premier degré.

La présence de deux petits diviseurs seulement suffirait peut-être, si deux des masses étaient remplacées par le coefficient J ; mais le cas ne se présente pas, comme nous verrons.

Considérons, en premier lieu, les termes qui résulteront du produit de deux inégalités du premier ordre. L'une de ces deux inégalités devra nécessairement être prise dans le groupe (19) (n° 25), pour qu'elle puisse avoir deux faibles diviseurs ; l'autre devra donc être du degré zéro, et, pour présenter un faible diviseur, elle ne pourra être que l'une des inégalités des éléments /i, k, h\ . . . dépendantes de l'un des arguments 2l'~l, 2l"—l'. Celles-ci se déduisent des formules (7) (n° 10) ; si l'on pose, comme on l'a fait par avance au n° 1 7,

= —7—» -Do—- .„./ , /> -^2 —-7 .„// . .,» ^ —

elles seront

rdi = Bsm(2l'-l), 'ik = Bcos(2l'-l), {24)\ th' = -Bo' sin (2r-l)+B^' sin (2^"-/'), ch' = -B^' cos (2l'-1)+B^' cos (2l"-l') \'ch" = -B" sin (2/"-/'), î/j" = -B" cos (2l"-r).

On peut simplifier les expressions de la deuxième ligne, en remplaçant

des mouvements des Satellites de Jupiter. 67

2l" — l' par 180° + 2/' — /, confondant n' — 2rt!' et 71—27/, et posant en outre

la deuxième ligne devient ainsi

lit' = -W sin (2Z'-0, ch' = -B' C03 {2V -l).

Cela posé, les inégalités (19) et (24), que nous devons employer exclusivement ici, étant toutes d'argument 2/' — ^ ou 2/" — /^, pour que le résultat ne contienne plus aucune longitude, et ne dépasse pas le premier degré, nous ne pouvons choisir dans -^ que les termes du premier degré dépendants de 4F— 2I, savoir

^= Q-^T]k-C^^,k') cos (4l'-2l) + (\^J'\h-C^^h') sin (4l'-2]).

En y faisant varier simultanément /, /', A, k. h', l^, on obtient l'expression

2(2M'-ôl)l-([^èk-Co^) W) sin (4I' - 2/) + (K^ ch - Ço^i) Ih') cos (4l'-2l)], d'où l'on déduit le terme non périodique du troisième ordre

(E) -(roXIB + Ço^i . B')(2iJc + Si'Jc' + a."îc"), Ce terme a peu d'importance : il donne approximativement

— 0,000 019 A; — 0,000 012 /t-'-f- 0,000 008 Je".

Parmi les termes non périodiques, de l'espèce voulue, qui proviennent exclusivement des inégalités du premier ordre, il n'en est aucun qui contienne deux petits diviseurs et le carré du coefficient J. En effet, comme il n'y a dans ha et U aucune inégalité de degré zéro qui contienne J, on ne

68 M. SouiLLART, Théorie analytique

pourrait espérer obtenir un terme pareil qu'en employant simultanément l'une des formules (19) et l'une des formules (22) ou analogues, dans un terme de ~ contenant déjà J: or il est évident que la combinaison des

arguments ne donnera jamais zéro.

Il n'en existe pas non plus parmi les termes qui proviendront des inégalités du second ordre. En effet les inégalités du second ordre qui contiennent le carré du facteur J ne pouvant avoir aucun faible diviseur, on ne

peut songer à prendre dans -^ qu'un terme contenant déjà le facteur J, et

dont l'argument sera, par conséquent, un multiple de / ; l'autre facteur J ne pourra être amené que par une inégalité du second ordre, relative au premier satellite, mais aucune de ces inégalités ne pourra présenter deux petits diviseurs et avoir pour argument un multiple de /.

Occupons -nous maintenant des termes non- périodiques contenant trois petits diviseurs^ qui peuvent résulter de l'emploi d^inégalités du second' ordre des éléments.

Nous devrons commencer par déterminer les perturbations périodiques^ du second ordre^ des quantités a., l, h, h^ a' , . . . , qui présentent trois faibles diviseurs sans dépasser le premier degré relativement aux eacentricités.

29. On voit tout d'abord que les inégalités du grand axe ne renfermeront aucun terme remplissant les conditions exigées. Pour obtenir, en effet, dans A a trois faibles diviseurs, il faut d'abord en amener deux par l'introduction des inégalités (19) dans un terme de -^ ; si ce terme est bien choisi,

l'argument final sera un multiple de 2l' — l ou 2I" — l\ et l'intégration donnera un troisième petit diviseur. Mais les seuls termes qu'on puisse prendre, à

cet effet, dans ^^, étant ceux d'arguments 2I' — l et 4/' — 2/, il est visible que

le terme résultant serait au moins du second degré.

Pour le même motif, il n'y a pas à s'occuper non plus des inégalités de la longitude de l'époque, mais il en est autrement en ce qui concerne la

partie p=ftidt de la longitude moyenne : cela résulte de ce que l'intégration

peut amener ici le carré d'un petit diviseur, et qu'il suffit alors d'employer les formules (20) ou (24), dont l'effet est, pour les premières, de conserver le degré du terme du départ, et pour les dernières, de le diminuer d'une unité, tandis que ce degré s'élève au contraire par l'emploi des formules (19).

des mouvements des Satellites de Jupiter. 69

d'arguments 2l'—l et ^l' — 2I : les premiers peuvent s'écrire

Les seuls termes qu'il y ait lieu de choisir dans ^ sont évidemment ceux

et ils donnent, au moyen des formules (20), l'expression

V ra\/ a J L ra^J a J

- sin (2/' — /)

I \ 7)1 \/ a J L Tïi-J a J

-*î!l^Ao'V'76" 1

Avant d'intégrer cette équation, j'observe que si l'on y remplaçait les quantités A, ^, A', . . . par leurs valeurs e sin tn-, g cos ts-, é sin ct', . . . , elle prendrait la forme

^ = ^e sin (2Z'-Z-^) + ^V sin {2I' -l-'m') + J,"e" sin (zl'-l^^"). dv

Les éléments rar, zr', zr" reparaissant dans les arguments, 011 peut avoir égard à leurs variations, et l'intégi-ation donne

M sm (2l'-l-'m) J'e' sin {2l'-l-'ur') J"e" sin {2V-l-'m") ^P- {n-2n' + ay {n-2n' + a'y (^n-2n' + a"y *

OU la formule équivalente

A,- -r. ^^^ + ^^^^ + '^''^^" 1 sin (2/'-0

, r jh j^hf j"h" 1 ^^^ (^^,^)

^Un-2n' + ay^in-2n' + a'y^(n-2u' + a"y]

yo M. SouiLLAHT, Théorie analytique

L'inégalité que nous cherchons pourra donc se mettre sous la forme

Ap= Vif '^^^^ ^ + ^^^^^^^ ^'

L (?i — 2îi +a) -J

Les termes qui dépendent de l'angle ^l' — 2I peuvent s'écrire

^= -^n\\^\ (/,2/,2)2r^(M'-7t/0+^^^^[ï;ô](/c'2-;i'2)] sin (4?/-2Z) dt^ L — 'inis/ a J

+ Sîiff^yi . 2M- 2r^ (7^/i' + M-') + ^^^^'[ï^ . 2]l']i\ cos (4/' - 2/). L — ^ m s/ a J

En y faisant varier les éléments h^ h, h', lé à raison de leurs inégalités (24), et intégrant ensuite comme dans le cas précédent, on obtient la nouvelle inégalité

L (^v — 2w-\-aY m\/a {ii—2n +a'y -■

(îi — 2?«.' + a)2 ?/z\/a (?i — 2M' + n')^ J

laquelle dépend aussi de l'angle 2l' — l^ comme la précédente, et pourra en conséquence être réunie à celle-ci.

Si l'on considère maintenant les éléments h, k^ on leur trouvera aussi

une inégalité de même espèce en prenant dans y^, ^^ les termes d'argument

2I' —l^ et y augmentant l et l' de leurs inégalités (19) ; c'est d'ailleurs le seul moyen. Le terme —A cos {2I' — l) donne, outre les termes non périodiques (A) considérés au n° 25, les termes périodiques

-^^- = --A[(aA; + a7^' + a'7c") cos {4' -2l) + (2ih^2i'h' + 2i"h") sin (47'-20], dt 2

des mouvements des Satellites de Jupiter.

d'où l'on déduit

(27) sh = lK\

— ( \ -A , r. COS (4^—20

La valeur correspondante de /\k s'obtient au moyen de celle-ci en ajoutant un angle droit à l'argument 4^—2/. •

Les inégalités des éléments du second satellite se détermineront par les mêmes raisonnements. Si l'on a égard d'abord aux termes en il' — l et ^l' — il qui se trouvent dans les équations différentielles, on obtiendra pour la longitude moyenne les deux formules

Ap' = 6/i'

--^'^AT + Ao'U -^'^AT' + Ao'CU' + V') m' s/ a' -j. , m! y/ a' j

(7i — 2n' + (iy

in s/ a

AT + Ao'U -6n'\ ^^^"^ -,— /.+ ....

L (îi— 2M' + a)'^

{ii—2n'-\-aY J

COS {2V — l),

Ap' = —12W\ ;^

Lm' s/ a'

,rms/a \ô^B + ',o.ïB' 1,0 B + | 1,0 |B^, H .

' 1^ sin (21—1)

Tm^/a [ô^B + Co^jB' Co^B+li^B' "

Lmvn' (n~2n' + ay (n — 2n' + a'y J

COS (2I' — l) ;

et pour l'élément h' la suivante

(29) A/.' = -iA,'-

/ 2i7c , 2i'Jc' , a"/.:" N . .p .^\ ( 1 1 ) sm {41—21)

( ^^' + ^'^^' + ^"^f \ COS (4/'-20

De la même manière les termes d'arguments 2l"—l' et 4/" — 2/' donneront les formules suivantes, analogues aux formules (25), (26) et (27) :

M. SouiLLART, Théorie analytique

m'Wa'

,^Tn Vï-^l^^u^n

Ao'V"-

'1 sin (2Z"-Z')

1 cos (2l"-l'),

h'Jc'

\)"Jc"

2?i' + a ?A — 2rt' + a' ?/ — 2

ï^,)sm(4r-./'))

On trouvera de même, relativement au troisième satellite, en considérant successivement les termes en 2I" -l' et ceux en 4"-2l', les inégalités suivantes :

, m' Va"

(ïi-2w'+a")^

7c"lsm(2/"-/')

M'\-^!^^^^^ A:II— -/.+ .... ]cos(2r-Z'),

L m' Va" (TO-2w' + a)2 j

( ( ^^ + w ,+ t-f- „)sin(4r-.ry