A , 77 I COS (4I

V \?i— 2îi+o 7i— 2M+« n—2n-\-a"J

Au moyen des inégalités qui précèdent, on obtiendra dans ^ des termes non périodiques du troisième ordre qu'il y a lieu de conserver.

On ne peut évidemment prendre comme termes de départ que ceux d'arguments 2I' — l^t /[l' — 2I. Le terme — Acos (2/' — ^), quand on y fait varier l et /' des quantités A /, A l\ s'accroît de la quantité

K{2\V-ùd) sm{2l'-l).

Prenant pour A/ l'ensemble des inégalités (25) et (26), pour aT l'ensemble de {2S) et (30), et éliminant l'angle l" par la relation

l-^J' + 2l"=lSo°,

on obtiendra pour 2 Al' — /2^l une expression de la forme

2M'-M=(ehi-c'h' + c"Jc") sin (2l'-])-(eh + c'h' ^c"h") cos (2/'-^),

et par suite on aura dans ^— les termes non périodiques du troisième ordre

Les nombres C, C', c'' ont pour valeurs approchées de leurs logarithmes les nombres respectifs

— 1,7714, 0,0565, 1,7380; il en résulte pour les termes (F) la valeur numérique

— 0,000 017 92 /i; + o,ooo 034 56 /j' + o,ooo 016 60 h",

et par suite on ne doit pas les négliger.

Si l'on prend, au contraire, dans jj^' les termes d'argument 4/' — 2/, et

qu'on y augmente les éléments h, k, h\ h' de leurs inégalités exprimées par les formules (27), (29) et (31), on obtient

74 M. SouiLLART, Théorie analytique

Mais ces termes sont négligeables, les coefficients atteignant à peine une unité du sixième ordre décimal.

So. Par une analyse toute pareille à la précédente, on reconnaît que les

termes non périodiques du troisième ordre qu'il faut ajouter à l'expression de

dh'

-TT proviennent :

i" des termes en ^l' — 2I et 4^ — 2/', traités par l'emploi simultané des formules (19) et (24) ;

2° des termes en 2/'-/, traités par les formules (25), (26), (28) et (30) ;

3° des termes en 2I" —l' ^ traités par les formules (28), (30) et (32) ;

4° des termes en 4V — 2I et ^V — 2l\ traités par les formules (27), (29), (31) et i-y^).

Dans le calcul des termes de la troisième espèce, si l'on prend pour Al' l'ensemble des inégalités (28) et (30), en remplaçant dans les premières 2/'— /par 2/" — /'— 180°, et pour Al" l'ensemble des inégalités (32), on aura, pour la diffiirence 2 Al" — Al! qu'il y a lieu de considérer, une expression de la forme

2M" -M' = {dJc + ùHc' + ^"h") sin (2Z"-0-(d/i + d'A' + d'7i") cos {2I" -V).

Les nombres d, d', d" qui s'introduisent ainsi ont respectivement pour logarithmes les nombres

Cela posé, les termes non périodiques cherchés seront, en réunissant dans le groupe (H) ceux de la deuxième et de la troisième espèce,

( ^ 1,0^) B +Li25 l B') (a/^ + a'/y + a'7y') (G)

- ( li:2 iB' + ^i^ B") (b/.- + b'/y + b'7/'),

-iA,/(c/^ + c7,;' + c'7y')

+ iA2'(dA- + d7o' + d'7y') V 2

des mouvements des Satellites de Jupiter. 7^

avec le groupe

4 \ii — 2)1 ■\- a n — 2n+a' n — 2n+a"J

+-[(1 i,o|+|i;2|)A2 +v 1,2/'^ J( rr-+ T^—,-^ rr-7/)'

dont les coefficients n'atteignent que le sixième ordre décimal, tandis qu'ils atteignent le cinquième ordre dans les groupes (G) et (H).

Relativement au troisième satellite, on aura de même à considérer dans — ^ les termes d'arguments /\l" — 2l' et 2l!' — l\ mais les termes qui en résultent

sont insensibles, comme atteignant à peine le sixième ordre décimal.

Aucun des termes non périodiques dépendants du cube de la force 'perturbatrice ne dépassant quelques unités du cinquième ordre décimal, il n'y a pas lieu à se préoccuper de ceux qui dépendent de la quatrième puissance.

Dans la discussion qui précède, nous avons pris pour règle de ne conserver que les termes dont les coefficients atteignent au moins 0,000 01 ; mais il ne faut pas oublier qu'un grand nombre de termes rejetés avaient des coefficients supérieurs à 0,000 001, et même à 0,000 005. On devrait donc avoir égard à ces derniers, si l'on voulait que, dans les équations complétées, les coefficients fussent exacts à 0,000 01 près, ce qui supposerait qu'on pût compter sur trois chiffres dans la valeur du coefficient primitif | o j, qui est le plus considérable de tous.

31. Nous avons déterminé, dans les n°' 25 à 30, ce quïl faut ajouter aux termes non périodiques primitifs des valeurs de

cU ' clt ' cU '

pour avoir égard aux puissances supérieures de la force perturbatrice. Les termes nouveaux, qui sont donnés par les formules (A), (B), (C), . . . (H), sont encore linéaires et homogènes par rapport aux variables ^, k', k" : ceux qu'il faudrait ajouter pareillement aux valeurs de

dk ciy clk" dt' dt' dt^

se déduiraient d'ailleurs de ceux-ci par le changement de k, k', h" en — ^, — //, —h". Il en résulte qu'après avoir été ainsi complétées, les équa-

76 M. SouiLLART, Tliéorie analytique

tions différentielles (12) présenteront encore la même forme, avec cette restriction, toutefois, qu'il n'existera plus entre les coefficients les relations, telles que

■/Uv/a[o,i] ^ m' \/a'\i,o],

qui liaient les coefficients primitifs. Leurs intégrales seront donc encore de la forme (13), avec des valeurs différentes pour les nombres ^, ^1, g.2^ g^ et pour ceux qui en dépendent ; on pourra, pour les obtenir, suivre la marche ordinaire, seulement les équations de condition, bien que se présentant encore sous la forme (15), ne seront plus susceptibles d'acquérir la même symétrie. Pour ce motif, il vaudra mieux intégrer les équations (12) sous leur forme primitive, et calculer ensuite les variations des arguments et des coefficients obtenus, dues aux variations que les termes complémentaires font éprouver aux nombres | o |, [0,1], . . .: on pourra suivre à cet effet la méthode élégante et rapide exposée par Jacobi au tome 30 du Journal de Crelle (' Zur Théorie der Sacularstorungen ').

La marche que nous venons de développer offrira sans doute une exactitude bien suffisante pour la détermination des mégalités séculaires des excentricités et des longitudes des périjoves ; cependant, comme il est facile d'obtenir, avec les mêmes termes et sans complication nouvelle, une seconde approximation, nous allons le faire, d'autant plus que le procédé ainsi perfectionné revient à celui de Laplace.

Nous serons conduits au nouveau mode de calcul, en mettant sous une forme nouvelle les expressions des termes complémentaires des divers ordres. Supposons effectuée l'intégration des équations (12), complétées comme il a été dit. Connaissant avec assez de précision les variations séculaires des excentricités et des longitudes des périjoves, nous pourrons d'abord remplacer les formules (19) (n° 25) par des expressions plus approchées, ne dépendant plus des corrections incertaines a, a', a''. Celle des formules (19) qui se rapporte au premier satellite a été obtenue en intégrant par quadrature, avec quelque égard aux variations de tn- et tô', une équation de la forme

■^ = Lesin (2l'-l-^) + L'e' iim(2l'-l-':^'),

L et L' étant deux nombres. Mais on peut tenir un compte beaucoup plus

des mouvements des Satellites de Jupiter. yy

exact des variations séculaires des éléments. Ecrivons cette équation sous la forme

^2= (L/^ + L'/y) sin (2?'-/)-(LA+L7/) cos {2V -1).

Si l'on y remplace A, X-, //, l! par leurs expressions (13'''') (n° 18), elle devient

j\ = {li^-y\')U%hi (2Z'-/-r/f-/3) + (L + L'\,')M, sin (2/'-/-//i^-/3i)+ .... On en tire par intégration l'inégalité

n=- ^ + ^^^\,Msin (2Z'-ï-^f-/3)--i^±^^,Mi sin {2V -1 -g,t-i\)- . . . . {n — 2n' + g)- {n—2ti' + g^)-

On procédera de même pour le deuxième et le troisième satellite. D'après cela, si l'on pose

\n — 27i' + gj \n ma' n' / \n—2n'-\-nJ \m'a n u' J

et que l'on désigne

1° Par Xi, X2, X3 et Y/, Y2', Y3' ce que deviennent X et Y', quand on y remplace g et X' par g^ et X/, par ^2 et Xo', par g^ eo X;/ ;

2° Par X', Y'', X/, Y/', ... ce que deviennent respectivement les quantités X, Y', Xi, Y/, . . . quand on ajoute dans leur expression un accent à chaque élément de satellite, et qu'on remplace A par A2', et A/ par A" ; on obtiendra, pour les inégalités en question des longitudes moyennes, les formules suivantes :