XVI

cl =XMsin (2r-Z-(yf-/3) + XiMi sin (2?'-Z-;/if-/3i) + ....

W =Y'Msin (2Z'-Z-^i-/3)+yi'M, sin {2V -l~g^t-\\)^- ,

+ X'Msin (2/"-/'-;/f-/5)+X,'M, sin (2//-Z-f/i^-/5i)+ .. ci//' = Y"Msin (2P-Z'-^^-/3)+Yi"M, sin (2Z"-/'-^i/-/5,)+ •.

Ces formules coïncident avec celles qu'on trouve au n" 7 (liv. ^ 111) de

yS M. SouiLLAKT, Théorie analytique

la Mécanique Céleste, les quantités que Laplace désigne par Q, Q', Q'' se confondant respectivement avec les quantités XM, (Y' — X')M, — Y"M. Pour le calcul des longitudes, elles remplaceront avantageusement les formules (XII), et de même elles seront préférables aux formules (19) pour le calcul des termes complémentaires.

Par leur emploi, on trouve les termes (A), (B), (D) sous la forme suivante, où nous écrivons seulement ce qui se rapporte à la racine g, chaque terme écrit étant censé accompagné de trois autres qui s'en déduisent en changeant g en ^/j, (/s ou g^, tant implicitement qu'explicitement,

(AO ^A(2Y'-2X'-X)Mcos (^f + /3);

(B') F-' Ao'(2Y'-2X'-X) + -A2'(2Y"-X' + Y')1mcos (gt + ft);

Ces expressions sont précisément celles qu'on obtiendrait, si, pour compléter les équations (12), on se proposait d'y ajouter les termes d'arguments gt+^1 git+^ii . . . que l'on peut faire apparaître dans les équations (10) par les approximations successives. C'est en effet ce dernier moyen qu'a employé Laplace {Méc. Cél. liv. VIII, n° 17).

On obtiendrait les termes (C) sous une forme analogue, en prenant pour les calculer, au lieu des formules (20), celles qui résultent des formules (16) (n° 19). Mais vu leur peu d'importance, il sera suffisamment exact de transformer ces termes, en y remplaçant simplement les quantités ^, k\ l^' par leurs valeurs

7c = M cos (.7^ + /3), h' = VM cos (gt + jy), h" = \"M cos (gt+ft). Il vient ainsi

-^ (W'\' + W"X")}Mcos C7/+/3).

Le même mode de transformation suffira également pour les expressions (E), (F), (G), (H), et d'ailleurs il est le seul que l'on puisse employer pour

des mouvements des Satellites de Jupiter. 79

certaines parties de ces expressions ; nous savons en effet remplacer avantageusement les formules (19) et (20), mais il n'en est pas de même pour les formules (24). Nous mettrons ainsi ces termes sous la forme

(E') (|;^B+ o,i\ B')(a + a'V + a"\'OM cos (:/f + /3);

(F') ^ A (c + c'V + c"\")M cos {fjt + /3) ;

(G') [-(CXo)B+^^|B')(a + a'V + a"\")

-([T^B'+ i,2^^B")(b + b'V + b"V')]Mcos (yi + /3); (H')' r--A,/(c + c'\c' + "A")+-A,'(d + d'A' + d"\")lMcos((/f + /3).

32. Cela posé, au lieu de compléter les équations (12) par les termes (A), (B), . . . (G), (H), supposons qu'on les complète par les termes (A'), (B'), . . . (G'), (H') qui donnent une valeur plus exacte des mêmes quantités. Désignons :

par GM cos (gt+(^) la somme des expressions (A') et (F'), par G'M cos (gt+jB) la somme de (B'), (C), (G') et (H^, et par G"M cos (gt+(i) l'expression (D') ;

et appelons Gi, G2, G3 ce que devient G lorsqu'on y remplace g par gj, ^2, ^3 explicitement et implicitement, et ainsi de suite : il viendra

+ GMcos((7^ + /5) + G-iMiCos(^ii + /3i) + G2M2Cos(5r2^ + /3,,) + G3M3cos(^3i+/53),

^' = -[i,oyc+iT\k'-[i,2y^"-[i,3yy"

+ G'M cos (;/^ + /5) + Gi'Mi cos (^ii + /3i)+ ... -,

^ = -[2,0]h-Î2,iyc'+\T\h"-[2,3]¥"

+ G"Mcos (^f + /3) + Gi"Mi cos (glt + |3^)+ ....,

clN clt

GMsin (rjt + ft)-GiUy siu (^,i + /3,)- •.••

clt

8o M. SouiLLART, TJiéorie analytique

Ces équations étant identiques, sauf la forme, à celles que nous supjjosons avoir été intégrées, si l'on y remplace /?, k, h', ... et leurs dérivées par leurs valeurs " tirées des intégrales, on pourra égaler à zéro, séparément, les coefficients de chaque sinus ou cosinus. On aura ainsi quatre groupes d'égalités pareils au suivant

Ces égalités ne devenant des identités qu'après la substitution des nombres q, //, ?/', ?/'', elles pourront remplacer, pour la détermination de ces nombres, les équations analogues auxquelles conduit la première méthode, et cela aura quelque avantage, parce que l'on obtiendra ainsi du premier coup une approximation d'un ordre plus élevé.

Les équations (35) coïncident, dans leurs parties essentielles, avec celles que Laplace obtient pour le même objet {Mêc. Cél, livre VIII, n" 17). Laplace n'obtient pas les termes (C), (E'), (F'), (G'), (H') ; par contre, il trouve, pour chacun des trois premiers satellites, un terme dépendant du cube de la force perturbatrice, un peu plus sensible que ceux du même ordre que nous obtenons. Ce terme ne se trouvait pas dans la première édition de la Théorie des satellites ('Mém. de l'Académie des Sciences pour 1788'); c'est seulement dans la Mécanique Céleste qu'il apparaît, à côté des termes du second ordre que l'on vient de calculer par une méthode nouvelle. Il doit être rejeté ; car, pour l'obtenir, on commence par déduire de l'un des termes primitifs de l'équation, en y introduisant des inégalités du premier ordre, un terme du second ordre par rapport à la force perturbatrice, et c'est de celui-ci qu'on tire, au moyen d'autres inégalités du premier ordre, le terme dont il s'agit.*

La résolution des équations (35) sera assez pénible, à cause de cette

* On obtiendrait un terme non périodique analogue à celui-là, en introduisant simuJtavément les iné^'-alitc's du rayon vecteur et de la longitude que Laplace introduit siiccessiveonevt ; mais il serait détruit par un terme, égal et de signe contraire, provenant d'autres inégalités qu'il faut aussi considérer en même temps.

des mouvements des Satellites de Jupiter. 8i

circonstance que l'inconnue g entre dans les dénominateurs des termes additionnels, mais on pourra la simplifier par la méthode de Jacgbi, déjà mentionnée plus haut. On commencera par négliger les quantités G, G', G", et par résoudre les équations qui restent alors. Ayant mis ensuite chacune des quantités G, G', G''' sous la forme

on considérera les nombres F, F', . . . comme les variations des coefficients I o I, [o,i], . . . ; on pourra ainsi, au moyen des formules de correction données dans le Mémoire cité, calculer les variations correspondantes des nombres ^, V, x", . . . qu'on aura d'abord obtenus.

III. Inégalités des rayons vecteurs et des longitudes, dépendantes des puissances supérieures de la force perturbatrice.

2,2,- Les inégalités calculées dans les Chapitres précédents pour les rayons vecteurs et les longitudes sont exclusivement du premier ordre par rapport à la force perturbatrice : nous allons reconnaître qu'il y a aussi, contrairement à l'assertion de Laplace, des termes sensibles dans le second ordre et même dans le troisième.*

Les termes du second ordre qui apparaissent dans les expressions de r et de V, sont de deux espèces : les uns contiennent les carrés et les produits des perturbations du premier ordre qui affectent les éléments, et les autres dépendent de leurs perturbations du second ordre. Pour obtenir les premiers, il suffira, parmi les perturbations des éléments des satellites, de considérer celles des éléments e et rn- ; celles des éléments a et ^ ne donneraient que des résultats comparativement négligeables, soit par l'absence ou le trop petit nombre de faibles diviseurs, soit par la présence de l'excentricité comme multiplicateur. Quant aux termes de la deuxième espèce, nous verrons qu'il en est encore à peu près de même.

Reprenons les formules (i) (n° 7), qui donnent les valeurs de r et v dans le mouvement elliptique, et augmentons-y, dans les seconds membres, chacune des quantités e, ttt de ses inégalités du premier et du second ordre,

* Les termes principaux du second oi'dre, obtenus dans ce paragraphe, ont été retrouvés ensuite par la méthode même de Laplace. Voir le No. 2214 des Astronomische Nachrichten (tome 93).