XVII
'^ =iB2-lB2cos (4Z'-40,
Sr = -5B2 sin (4Z'-47)-^ B ^-^ sin (2Z'-2/);
^ =iB'2-iB'2cOS (2/-2//),
Aj
,7/^5 Ti/ 00 sir
y =5B'2sin(2Z-2/')-^ B'iVsin(Z-0;
^ =iB"2-iB"2cos (2Z'-2Z"), a." 2 2
Av" =5B"2siii(2Z'-2r')-^B"^sm (Z'-//');
Av'" = o.
On trouve dans la Mécanique Céleste (liv. VIII, n" i8) une partie des inégalités ci-dessus, savoir les premiers termes des valeurs de Az/, Av' et Ap". Lors de la réduction en nombres, Laplace n'y a égard que dans la longitude du second satellite : il y aurait lieu cependant à en tenir compte aussi dans celle du premier, si l'on devait y conserver tous les termes que conserve Laplace et avec toutes leurs figures décimales. En effet la deuxième des formules précédentes donne approximativement (en secondes centésimales) :
Av= -I2",54 sin (4?'— 4/)-4",26 sin (2^' — 2?);
or les termes du premier ordre dépendants des mêmes arguments sont, d'après la Mécanique Céleste :
-3",76 sin (4?''-40-5O5o">59 sin (2l'—2l).
On saurait à quelle limite il convient de s'arrêter, si l'on connaissait le nombre des chiffres sur lesquels on peut compter dans les valeurs des divers coefficients. Pour avoir une règle, et ne pas multiplier outre mesure les termes de correction, 7ious conviendrons ici encore de ne conserver dans nos formules que les termes dont le coefficient dé'passe une unité du cinquième ordre décimal^ ce qui est à peu près la valeur de Varc de deuv secondes sexagésimales^ ou de six secondes centésimales. Nous aurons soin, cependant, pour les termes
des mouvements des Satellites de Jupiter, 85
qui ne sont pas beaucoup au-dessous de cette limite, soit d'en donner la formule, soit d'en indiquer au moins le mode de calcul.
D'après cela, la valeur précédente de Ai; devra être réduite à son premier terme.
En ce qui concerne les rayons vecteurs, les termes non périodiques des valeurs de A 7% A?-', Ar" sont sensibles à côté de ceux du premier ordre obtenus au n° 1 1 .
34. Nous avons à examiner maintenant les termes qui seront introduits dans les formules (38) par les perturbations du second ordre des éléments, et tout d'abord à calculer celles de ces perturbations qui nous seront utiles.
Un certain nombre d'entre elles pourront avoir des valeurs sensibles : car il pourra s'y trouver, outre les faibles diviseurs provenant, quand il y a lieu, des inégalités employées, d'autres diviseurs pareils résultant de l'intégration finale. Les faibles diviseurs qu'on peut obtenir par l'intégration ne sont pas seulement les nombres n — 2?2', 72' — 2??/', comme lorsqu'il s'agissait des inégalités du premier ordre ; il faut y joindre le nombre SjV' — 2j'\ jf étant le moyen mouvement de Saturne. Une autre circonstance peut encore contribuer à rendre sensibles certaines des inégalités que nous cherchons : la substitution du facteur J à l'une des deux masses équivalant à peu près à l'introduction d'un faible diviseur, il y aura lieu à examiner les termes du second ordre qui contiennent la première ou la seconde puissance de ce facteur.
Pour nous arrêter à la limite indiquée plus haut, nous commencerons par rejeter tous les termes dépendants des excentricités des satellites. En conséquence, les inégalités du premier ordre dont nous aurons à faire usage seront exclusivement celles qui ne dépendent pas de ces excentricités : si nous voulons qu'elles amènent un premier petit diviseur, nous ne devrons prendre, parmi les inégalités des éléments des satellites, que celles du groupe (24).
Il n'en sera pas de même pour les variations des éléments elliptiques du Soleil : dans celles-ci, au contraire, nous prendrons uniquement V inégalité à longue période due à l'action de Saturne sur Jupiter.
Cela posé, considérons le premier satellite, et cherchons d'abord les valeurs de Aa et A/, cette dernière quantité se composant des deux parties A^, Ae.
86 M. SouiLLART, Théorie analytique
Supposons, en premier lieu, que l'on fasse varier seulement les éléments des satellites. Chacun des termes que nous obtiendrons ainsi dans A(2 et a^ ne pourra avoir d'autre faible diviseur que celui de l'inégalité qui aura servi à le former : en effet, devant être du degré zéro relativement aux excentricités, il ne pourra, en vertu de la propriété énoncée au commencement du n° 28, présenter aucun des arguments 2/' — /, 2I" — l'^ ou de leurs multiples. D'ailleurs tous les termes du premier degré qui existent dans les expressions de
da d^p de
dt' d^' de
excepté seulement ceux d'argument 2I' — l, donneront par l'emploi des formules (24) des inégalités de cette espèce. Pour en apprécier l'importance, observons que les plus considérables seront celles où l'une des masses est remplacée par le facteur J ; on les obtiendra en prenant pour terme de départ celui
que fournit la partie f -^e cos (l—"^) de la fonction perturbatrice. Il vient ainsi les inéo^alités
a n—n (39)^ > = 3 (°> Bsin (2V-2J),
Lf = 13 M^B sin (2l'-2l),
\ 4 'Ib — lV
dont les coefficients respectifs sont à peu près
0,000005, 0,000017, — 0,000 ooS:
elles n'ont donc aucune importance, et à plus forte raison celles qui contiennent effectivement deux masses seront-elles insignifiantes.
Il en sera de même pour le deuxième et le troisième satellite.
Lorsqu'on prend pour termes de départ ceux qui dépendent de l'angle 2Ï —l^ on ne trouve aucun résultat pour a« et a/o, mais on obtient dans
l'expression de -^ le terme constant du second ordre:
dt
dAi
dt
des mouvements des Satellites de Jupiter. 87
Il nous reste à voir s'il n'y a pas de termes sensibles parmi ceux de A a, Ap, Ae qui ne contiennent aucun petit diviseur^ mais dans lesquels chacune des masses est remplacée par le facteur J.
Ces inégalités s'obtiennent en traitant par les formules (22) les ternies de
qui proviennent de
da d^p de
dt' dt^' Jt
f — , e cos (Z— -et).
On n'obtient rien dans -— et --^, mais on trouve dans -4 le nouveau terme
dt dr dt
constant
dt
35. Les expressions (40) et (41} sont les termes du second ordre qu'il faut ajouter à la quantité o- du n" 11. Evaluons aussi ceux qu'il faut
ajouter à la quantité ^ du même n° ; ils seront donnés par la partie
— {Mù cos lAr^ti sin /)
de la première formule (38), où il faudra remplacer A A, A^ par leurs termes de deoré zéro et d'arsfument l. Nous avons d'abord à évaluer ceux-ci. Ils ne peuvent évidemment contenir qu'un seul faible diviseur, et pour en contenir, il faut qu'ils aient été obtenus au moyen des formules (24). Or si l'argument de l'inégalité employée est 2I! — l oxx. 2l" — l\ on ne peut prendre pour celui du terme de départ que 2I' ou 2Ï—2I. Rassemblant les termes de ces deux provenances, on obtient pour A A l'expression
A7.= ^«p(-2A'2^ + 7A,'=^ + 3A2'«)B+(2A,<') + A2<"-^2^B'j sin l,
et pour aZ; la même expression où cos l remplace sin l.
Il faut considérer en outre les inégalités sans faible diviseur qui contiennent le carré du nombre J. On les obtient pour li en introduisant les valeurs (22) de o/i et S^- dans les termes
~ = (o)/t-f 3(o)(7.- cos 2/ + /' sin 2?),
88 M. SouiLLART, Tliéorie analytique
ce qui donne
on a de même
^h ■= 4 ^^-^ sin l ;
AZ- = 4 i-^ cos 1.
D'après cela, les termes du second ordre qu'il faut ajouter à la valeur de - sont les suivants :
L'ensemble des termes non périodiques que le carré de la force perturbatrice introduit dans le rayon vecteur du premier satellite se composera donc :
1° De la partie ^af'^y, déjà indiquée au n° 1 1 ;
2° Du terme ^aW compris dans les formules (XYII) ; ° Des termes que les expressions (40) et (41) ajoutent à la partie
4"^ De ceux que la formule (42) ajoute à la partie 1\.
Si l'on remplace -f-)' W^^ la valeur approchée — ^-^, on obtiendra pour
l'ensemble de tous ces termes la formule
(X^ail) +-^ ^(-2aA'-^'+i7«A/^> + 7aA2'-")B
^ ' 12 fX
Les deux termes de la première ligne sont seuls un peu sensibles, les autres n'étant que du huitième ordre décimal.
Pour le deuxième et le troisième satellite, on pourra même se borner aux termes non périodiques contenus dans les formules (XVII), et pour le quatrième il n'y a que des termes insignifiants.
des mouvements des Satellites de Jupiter. 89
36. Cherchons mamtenant les termes que peuvent produire dans A a et Al lesinégahtés des éléments oi, S, H du Soleil (la longitude moyenne J' est supposée, suivant l'usage, corrigée de ses grandes inégalités). Considérons, parmi ces inégalités, celles qui dépendent de l'angle 5^''— 2/'^, f ^ et l" étant les longitudes moyennes de Jupiter et de Saturne., en sorte que l'on aZ'' = j^+ 180°.
Si on les introduit dans des termes périodiques de ~ ou ^, les termes
résultants ne pouvant acquérir par l'intégration aucun nouveau faible diviseur, ne donneront rien de sensible : mais il en sera autrement pour les termes non-périodiques, parce que l'intégration y amènera le diviseur Sc/Î'^' — 2j/^, dont la valeur numérique est environ 0,000 019 475.
Les expressions de ~ et ^ ne contiennent pas de termes non périodiques ; il s'en trouve, au contraire, dans celle de y , laquelle peut se réduire, à ce point de vue, à la formule
de 2^ an
dt na da
Ceux qui nous seront utiles s'obtiendront au moyen de la partie fJlR^o,s) ^^ ^5 où nous prendrons les termes
il viendra ainsi
dt n jA 2^ )'
Faisant varier J et t , et remplaçant ensuite -^ par -A^'^ nous obtiendrons, en négligeant P à côté de i, la formule
Les inégalités en question de d et ê sont données au tome XII des Annales de V Observatoire de Paris (p. 14 et 23) ; supposons-les mises sous la forme
-^=Fcos(5Zv 2Ziv + /-),
^(^ = G COS (5^-2Zi^-f-^),
90 M. SouiLLART, Théorie analytique
E, G, /. g désignant des constantes : nous obtiendrons dans la longitude du premier satellite les termes du second ordre
(XIX) AZ=: ^^^i!!^[Fsin(5Zv-2Ziv+/) + G(,^sm(5Zv 2Z- + ^)].
La même formule conviendra pour les trois autres satellites, à la seule condition d'y remplacer n par n\ n" ou n'". Appliquée au quatrième satellite, pour lequel l'inégalité a la plus grande valeur, elle donne approximativement
ù^V" = -32",3 sin (5/^— 2Z^^'-i9=',36).
Relativement aux trois premiers satellites, on observera que cette inégalité étant à longue période, son coefficient devra subir la modification ordinaire (voir n° 23).
C'est dans la Connaissance des Temps pour 182 1, c'est-à-dire environ quinze ans après la publication du tome lY de la Mécanique Céleste^ que Laplace a examiné l'influence des grandes inégalités de Jupiter sur le mouvement de ses satellites ; le même article a été reproduit plus tard au livre XVI de la Mécanique Céleste. La formule qu'il obtient ne s'accorde pas avec celle que nous venons de trouver ; elle donne, par exemple, pour le quatrième satellite l'inégalité
AZ'"= -44",334 sin (5ZV- 2^^-38^,36).
Le désaccord ne peut pas être théorique, car la marche que nous avons suivie revient au fond à celle de Laplace ; on a dans l'une et dans l'autre à développer la même expression, et toute la différence est qu'au lieu d'employer les inégalités des coordonnées, nous employons celles des éléments elliptiques. Si l'on répète le calcul de Laplace, en prenant pour le rayon vecteur de Jupiter^ au lieu de la valeur numérique dont il fait usage, l'expression
^ = cyf[i-^cos(j'-n)-a.^co3(J'-n)-i-^+^a^],
on retombe identiquement, comme cela doit être, sur la formule (43).
Le désaccord provient de ce que la valeur numérique de ce rayon vecteur, adoptée par Laplace, est fautive dans son dernier terme
— 0,000 264 cos (5Z*— 2Z'^— i3',5o) ;
des mouvements des Satellites de Jupiter. 91
ce ternie devrait représenter hJ+Jlêhê, et il représente en réalité ^J—dê^ê, savoir, au facteur près ——^ la parenthèse qui entre clans (43). L'erreur a
été commise à la page 132 du tome 3 de la Mécanique Céleste (édition de 1802), dans la réduction des formules en nombres : le terme
qui équivaut à Âê^ê^ a été pris en signe contraire.* Lorsqu'on y corrige cette erreur de signe, la formule de Laplace s'accorde complètement avec celle que nous avons obtenue.
Parmi les inégalités de d et de 0, celles d'argument ^V — il'^, que nous venons d'employer, ne sont pas les plus considérables ; celles d'argument l^-^ — 2p ont de plus grands coefficients, et elles amèneraient par l'intégration le nouveau diviseur J\i^—2u¥' qui vaut à peu près 0,00028226, nombre encore assez petit. Il y a donc lieu à examiner si l'introduction de ces inégalités dans la formule (43) ne donnerait pas aussi pour A^ des résultats sensibles ; mais, même pour le quatrième satellite, le coefficient n'atteint pas 4".
Si l'on considérait dans E(o,,) les termes périodiques
jU COS ( J'-n) +2 p COS (2 j'-2n)j, lesquels donneraient
I = 3M ||~^ COS (J'-n)4-2 (f2 COS (2 J'-2n)J,
on en pourrait aussi déduire des termes d'argument 5^""— 2/""; il suffirait pour cela d'y faire varier les éléments d, ^, Il de leurs inégalités d'arguments ^l' + ^J-'^ et 5^'^—/'''. Mais on n'obtiendrait ainsi que des résultats insignifiants.
2)7 . Il nous reste à calculer les termes périodiques résultant des deux expressions
(44) — = — (AZ; COS / + -^7i sin l), Ar = 2(AA- sin l — ^h cos /),
* Je dois ce renseignement à l'obligeante bienveillance de M. le Professenr J, C. Adams, à qui j'avais signalé le désaccord en question.
92 M. SouiLLART, Théorie analytique
les termes qui suivent ceux-ci, dans les formules (38), devant être négligés à cause des facteurs h et k qu'ils présentent. Occupons -nous, en conséquence, de déterminer la partie la plus importante des valeurs de Ah et A^-.
Certaines inégalités, du second ordre et de degré zéro, des éléments h et k contiendront deux faibles diviseurs, ce qui n'arrivait pas pour a et /. On les obtiendra en introduisant les inégalités (24) dans les termes du
premier desrré de ^-^ V? tlont l'argument est o ou /d' — 2I.
^ ° dt dt
Prenons d'abord dans ^ les termes non périodiques
nous allons voir qu'il faut exclure de cette somme le terme | o\k, qui en est la partie principale.
Ce terme donnerait l'inégalité
MB
^h=- ^-' sin (2l'-l)
dont le coefficient est assez considérable. Mais il faut remarquer que l'on ferait double emploi si l'on avait égard à cette inégalité : on en a déjà tenu compte implicitement, grâce au mode d'intégration adopté au n° 8. Reprenons en effet les équations
^ = 2C cos (ct+f) + a7:, '^=-2C sin (ct+f)-ah,
qu'on a alors intégrées, et supposons que, pour obtenir les inégalités périodiques du premier ordre des éléments h et k, on les intègre sans aucun égard aux variations séculaires de tr. Il viendra
ih = 2- sin (ct+f), Ih = S- cos (d+f). c c
Si l'on veut ensuite passer au second ordre, on portera ces valeurs dans les équations précédentes, en même temps que les variations des autres éléments. En ayant égard seulement aux variations de h et k^ il viendra
— - = aS- COS (ct+J), -— = — aS- sin (ct+f), at c ai c
des mouvements des Satellites de Jupiter. 93
et par suite les inégalités du second ordre
A/i = aS -, sin (c^+/), ^A; = oi: -„ cos {ct+f).
Si l'on portait pareillement dans les termes a^, —ait les valeurs de a/.', a/^, on obtiendrait dans h et ^' les termes du troisième ordre
a^S ^ sin (c^+/), a2v ^^ cos (c<+/),
et ainsi de suite. Observons que le nombre - est toujours plus petit que l'unité : car a=| o I, et la plus petite valeur de c est n — 2n', auquel cas - est environ-. D'après cela, la somme de toutes les inégalités des divers ordres obtenues ainsi pour li sera
S^f 1+^ + "'+ ... 0 sin (ci+/) = ^^sin {ct+f), c \ G c^ J c — a
c'est-à-dire précisément l'expression obtenue au n° 8 dès la première approximation.
Ainsi, pour ne s'occuper que de l'argument 2/' — /, lorsque dans l'intégration, on a substitué au dénominateur n — 2n' le dénominateur }i — 2n' + a, on a tenu compte, à la fois, du terme du premier ordre dépendant de cet argument, et de certains termes de tous les ordres suivants, que produiraient dans h et k les termes ak, —ah, ou | o 1^', — | o \h.
Nous n'avons donc à considérer ici, parmi les termes non périodiques de -r-^, que l'expression
le terme [0,3]^' s'éliminant de lui-même, parce que les formules relatives au quatrième satellite n'ont pas de faible diviseur. Il en résulte un premier groupe de termes périodiques du second ordre
^^' = ([o,i]B'-[o,2]B") cos (2l'-l).
dt
94 M. SouiLLART, Théorie analytique
On en obtient un second en prenant les termes en 4^ — 2/, ce qni donne :
^ = ([^ + r^ B') COS {2l'-l).
ai '
Posant
ou aura pour l'ensemble des deux groupes la première des deux équations
dont la seconde s'obtiendrait par le même moyen.
L'intégration immédiate de ces deux équations donnerait le dénominateur n — 2n' ; mais, ici comme au n° 8, il sera plus exact de prendre 7î — 2n' + a. En effet si l'on repasse, pour un instant, aux variables e et tn-, ce qui se fera par les formules
d'^e . dAh , d^h d . eAw d^Ji . d\Jc
——- = Sm T3- — \- COS 'OT —r— , = COS ■CT — ; Slll tu——- ,
dt dt dt ' dt dt dt
que l'on déduit des formules (37), en y supprimant ce qui se rapporte à d'autres termes, on fait réapparaître l'angle zj dans l'argument, ce qui permet d'avoir égard à sa variabilité. On aura donc enfin
(45) ù.h= ZL^ sin (2Z'-/), A^ = n^ cos(2Z'-0,
et par suite, au moyen des formules (44), on obtiendra, pour le rayon vecteur et la longitude du premier satellite^ les termes du second ordre
(XX) — = ^^ cos(2Z'-2Z), Ar = ^^ sin(2Z'-20.
Ces termes dépendent, comme on le voit, du même argument que la grande inégalité du satellite ; ils en modifient d'ailleurs assez notablement le coefficient, car on trouve approximativement
A,' = 278",8 sin (2/'-20,
des mouvements des Satellites de Jupiter. 95
et le terme du premier ordre est, d'après la Mécanique Céleste,
— 505o"»59 sin {2l'-2l).
38. Kous n'avons examiné jusqu'ici, parmi les termes de A A et a^', que ceux qui présentent deux faibles diviseurs ; il reste à voir s'il en est de sensibles parmi ceux qui n'en contiennent qu'un seul, ou qui n'en contiennent aucun.
Les termes de a A qui ne contiennent qu'un seul petit diviseur peuvent se ranger en deux classes, selon que ce diviseur provient de l'intégration finale ou de l'inégalité du premier ordre dont on s'est servi pour les former.
Considérons en premier lieu ceux qu'on obtient par les variations des éléments du Soleil, et où, par conséquent, le diviseur est ^JV' — 2JÏ'. Si l'on prend dans R(o,,) les termes du premier degré en ^, et ceux qui contiennent le produit eê^ et qu'ensuite, dans les termes qu'ils fournissent à l'expression de
— , on fasse varier J^ c, Il à raison de leurs inégalités d'argument 5/"— 2/"",
on en déduira pour A/i un nombre assez grand de termes appartenant à la seconde catégorie : on peut s'assurer qu'ils sont tous insignifiants.
On ne rencontrera d'ailleurs ici aucun terme de la première catégorie ; car tous les termes de — ^^^ nous venons de mentionner, contiennent dans
leur argument la longitude l du satellite, et par suite l'argument n'y deviendra jamais égal à 5/^— 2^'^
Considérons maintenant les termes de Ah dus à la variation des éléments des satellites. Ceux de la première classe ont nécessairement pour argument un multiple de l'un des angles 2I' — l^ iH'—l'. Il y a deux manières d'en obtenir, qui consistent, la première à introduire dans les termes de degré zéro de ^ les inés^alités • de désiré zéro des éléments a, l, a\ . . . , et la
dt ° ^
seconde, à porter dans les termes du premier degré les inégalités de degré zéro des éléments h, k, h\ ... En considérant les diverses formes que peuvent prendre, dans chacune de ces deux manières, l'argument du terme de départ et celui de l'inégalité qu'on y associe, et en en formant toutes les combinaisons possibles, par addition et soustraction, on reconnaît que chaque combinaison peut donner autant de termes qu'on voudra de l'espèce cherchée. Les inégalités les plus importantes de toute cette série sont celles où une
96 M. SouiLLART, Théorie analytique
masse est remplacée par le facteur J (substitution qui ne peut se faire qu'une fois). Dans celles que fournit le premier moyen, le facteur J ne peut provenir que du terme de départ, et celui-ci doit être exclusivement le terme (o) cos /; les inégalités qu'on y introduira sont celles des éléments a, l où l'aro-ument est 2l' — 2l. Dans celles qui résultent du second moyen, si le facteur J est amené par le terme de départ, celui-ci ne peut être que
3(0) (Z; cos 2I + I1 sin 2I),
et on y fera varier li et h à raison de leurs inégalités d'argument —2I' 3? ; si ce facteur, au contraire, est amené par l'inégalité employée, celle-ci sera prise dans les formules (22) ou dans les formules analogues relatives aux autres satellites, et l'argument du terme de départ devra être l'un des angles
2I', sl'-l, 21".
Quant aux termes de la seconde classe (ceux où le petit diviseur provient de l'inégalité employée), on prendra toujours, pour en obtenir, les inégalités du groupe (24), mais le terme de départ pourra être l'un quelconque
des termes périodiques du premier degré que contient l'expression de -j. On
obtiendra les inégalités principales de cette nouvelle série, en prenant encore pour terme de départ
3(0) (/; cos 2/ + /isin 2I),
ce qui donnera la première des deux formules
(46) ^^^=3;S7,'^^i^(-^^' + 30, ^/. = ^£^^,Bcos(-2Z'-h3/),
que nous aurons à considérer plus loin (n" 44).
Enfin parmi les termes de Ah qui ne contiennent aucun petit diviseur, les plus considérables seront ceux où chacune des masses est remplacée par le
facteur J. On les obtient en prenant dans '^^ le terme (o)/t:, ainsi que le
terme d'argument 2I écrit plus haut, et les traitant par les formules (22), ce qui donne le résultat
Ah = 4 -^ sm l
déjà trouvé au n° 35.
des mouvements des Satellites de Jupiter. 97
Dans chacune des inégalités que nous venons d'indiquer comme étant les plus importantes parmi celles qui ne contiennent pas deux petits diviseurs, les coefficients atteignent à peine quelques unités du sixième ordre décimal : nous n'y aurons donc point égard.
39. Toutes les inégalités du second ordre que nous venons de considérer dans les deux n°^ précédents, se rapportent au premier satellite : la même analyse pourra se répéter dans la théorie du second. On sera conduit ù
prendre exclusivement, parmi les termes de ^^ et ^
i" Les termes non périodiques, excepté | i j^'' ; 2° Les termes qui dépendent des deux angles 4Z' — 2/, â^l" — 2I' ; et à traiter les uns et les autres par les formules (24). Si l'on pose
c' = (^i^+[i,o])b+(|t;3 + |1Zi)B'+(CS)+[ï'2])B'',
on obtiendra les formules
(47) hU' = Ç-sin(2r-0, ^h' = ^— -,cos(2Z'-0,
d'où l'on déduit, pour le rayon vecteur et la longitude du second satellite^ les termes du second ordre
(XXI) ^ = ^^-—- cos d-l'), A,/ = — ^-^ — - sin (/-/').
Pour le troisième, on aura pareillement, en posant
C"=-[2,o]B + (Cji~;) + [2,i])B'+KÎ]B", les inésfalités
et
(48) ^^>'" = -r-^, — -sm(2l"-n, ^h" = -r-^, — -co^{2l"-l'),
n' — 27i"-ta" n' — 2u"-j-a"
<^^"> v^ = -.t^St^™^ (''-'">• -■■'=^y~!k:? - (''-'"'•
Les formules (XXI) et (XXII), réduites en nombres, donnent approximativement
A/ = 5So",osm (/-/')> ^r"= iio",i sin (l'-l"),
M. SouiLLAET, Théorie analytique
valeurs considérables par rapport aux termes du premier ordre, qui sont, d'après la Mécanique Céleste,
h'' = -ii92o",67 sin (l-l), cv" = -8o8",20 sin (l'-l").
40. Considérons actuellement les inégalités dépendantes du cube de la force pertui'hatrice qui peuvent affecter le rayon vecteur et la longitude du premier satellite.
Reprenons encore les formules (i), en y conservant maintenant les termes du troisième degré par rapport aux excentricités, mais en y introduisant immédiatement les quantités A, h au lieu des éléments e, tn-, afin d'éviter les termes qui contiendraient en diviseur l'excentricité. Si nous y remplaçons, dans les seconds membres, chacun des éléments par l'ensemble de sa valeur relative au mouvement elliptique et de ses inégalités du premier, du deuxième et du troisième ordre (celles-ci seront désignées par la caractéristique â^), les termes du troisième ordre qui y apparaîtront seront de trois espèces différentes : ou bien ils seront du troisièm^e degré par rapport aux perturbations du premier ordre, ou bien ils contiendront une perturbation du premier ordre et une du second, ou bien enfin ils contiendront une perturbation du troisième ordre. Si l'on néo;lio;e immédiatement tous les termes qui renferment les facteurs h et /,', on aura, en ne prenant que les termes du troisième ordre, et négligeant les variations de a et / du premier et du second ordre, les formules
= ^ (ch- + ck^)(c]c cos l-\-th sin /) o
— ^[(cJc^ — ^cJcch'^) cos 3/+(3o7ic/,;2 — c/;^) sin 3/]
+ chMc + llc^]c-[(cJcS]c-UiMi) cos 2l+(ch^k + l]c^h) sin 2/] -1 (Bh cos l + èh sin /),
3y = --{cJi^ + cJc^)(cJc sin l-lh cos 0
+ i3^(c7^3 3^/.-/,2-) gin sl-(s'ih(h'^-'tP) cos 3/]
+ ^[(ch^Jc-chùh) sin 2l—(ch:]c + UcM) cos 2I]
+ cl+2(BJc sin l-ch cos /).
Pour calculer les termes des deux premières espèces, nous devrons remplacer dans ces formules les quantités o/i, ok par la somme des inégalités (22) et (24), et les quantités aA, A/j par leurs valeurs (45). Posons, pour abréger,
n — 2M' + rt' n—2n'-\-u'' n' — 2n" + a" '
les trois nombres D, D', D" sont positifs et ont approximativement pour logarithmes les nombres respectifs
Les valeurs de Ah et a^' seront données par la première ligne du groupe suivant, dont l'ensemble nous servira plus loin,
,^h = -D sin (2Z'-Z), Ah = -D cos (zl'-l) ;
{50) Imc' = D' sin (2l'-l), Ah' = D' cos (2l'-l);
(aI" = B" sin (2l"-l'), Ah" = D" cos (2^'-^').
Les termes du troisième ordre qu'on obtient par ce moyen sont,
f:^* = 3 (2)b2-BD + JB3cos (2Z'-2Z) a ^ n 8
+ /^BD-^ ^^B'-^ cos(4Z'-40-iB3cos (6^-60; \ A n J 8
ar= (lW-z^'B + ^ ^Vi) sin (2Z'-2n V4 « 2 n J
j^flBB-z^'B] sin (4Î'-4n-^B3sin (61' -61).
Ils sont tous négligeables, les coefficients étant au dessous de o,ooo ooi.
41. Examinons maintenant les termes des formules (49) qui proviennent des perturbations du troisième ordre des éléments, et commençons par déterminer celles de ces perturbations qu'il y aura lieu de considérer.
Pour un élément quelconque, les inégalités qui dépendent du cube de la force perturbatrice sont de deux espèces, selon que, pour les obtenir, on a employé les inégalités du premier ordre ou celles du second. Elles ne peuvent être sensibles qu'à la condition d'être indépendantes des excentricités des satellites^ de présenter un nombre suffisant de j^^tits diviseurs, et ctussi, p)eutêtre^ de contenir un ou plusieurs facteurs J remplaqant le même nombre de ma>^ses.
loo • M. SouiLLART, Tlu'Orle analytique
Les petits diviseurs peuvent provenir soit des inégalités employées, soit de l'intégration finale, quand l'argument est convenable. Ils pourront tout au plus être au nombre de trois^ comme on le verra, et on conçoit d'ailleurs, à priori, que les termes qui en auront un nombre moindre seront négligeables, surtout s'ils ne contiennent aucun facteur J.
Xous n'aurons pas à considérer le diviseur ^'A"' - 2J\/' entrant dans un terme concurremment avec l'un des diviseurs n — 2n\ n' — 2n": car l'argument ne peut pas alors être l'un des angles
Parmi les inégalités du premier ordre, les seules qui présentent un faible diviseur sans dépendre des excentricités des satellites, sont celles des éléments /i, k^ h\ . . . données par les formules (24). Il n'en est pas de même au second ordre, ainsi qu'on l'a vu plus haut (n**^ 34, 35) : mais tandis que les termes de A«, A/3, -^e qui sont du degré zéro ne peuvent avoir qu'un seul petit diviseur, ceux de Ni et A^- peuvent en avoir deux^ comme c'est le cas des formules (50), par exemple.
Considérons, en premier lieu, les valeurs de ^a et ^l. On peut bien s'attendre à les trouver insignifiantes, puisque celles de A a et a^ sont à peine sensibles. En effet, au troisième ordre comme au second, les inégalités du grand axe et de la longitude moyenne ne peuvent avoir d'autres petits diviseurs que ceux des inégalités qui ont servi à les former ; en d'autres termes, ^a et ^l ne contiennent aucun terme de degré zéro dont V argument soit multiple de 2I' — l ou de 2I" — l' : cela résulte encore de la propriété énoncée au n° 28.
On pourra, il est vrai, trouver pour l'élément e une inégalité contenant le diviseur {^Jf —2Jl/y, au moyen du terme considéré au n° 36
dt n d\ "^2- J'
en y conservant le second degré par rapport à '^d et 3^, on produira l'argument 10^'' — 4^"^, et par suite l'intégration donnera un troisième diviseur. Malgré cette circonstance, le résultat est encore insignifiant.
42. Certaines inégalités du troisième ordre des éléments h, k pourront avoir un peu d'importance, parce qu'il y aura trois faibles diviseurs. Pour les obtenir, il faut employer exclusivement les inégalités (24) et (50), et
des mouvements des Satellites de Jupiter. loi
choisir en outre le terme de départ de manière que l'argument final soit multiple de 2I' —l o\\ 2l"—l'.
Ces deux angles étant les seuls qui figurent dans les inégalités employées, il n'y a lieu à prendre comme tennes de départ, dans y et —, que
ceux dont les arguments sont multiples de 2I' — l (ou peuvent s'y ramener au moyen de la relation /— 3/' + 2/''= 180°), c'est-à-dire les termes dont les arguments sont :
o, 2l'-l, 4l'-2l, 61' -2,1 et 4"-l:
les multiples supérieurs amèneraient un degré trop élevé, relativement aux excentricités, pour pouvoir donner au troisième ordre des termes de degré zéro. Il faut d'ailleurs que le terme de départ dépende des excentricités : il devra être du premier degré pour l'emploi des formules (50), et du second degré pour celui des formules (24).
Considérons d'abord les termes du premier degré de y", et, en premier lieu, les termes non périodiques
gZ;-[o,i]7/-[o,2]Z;".
Ici encore, comme dans la recherche des inégalités du second ordre, il faudra négliger le terme l^l-^", lequel donnerait l'inégalité sensible
^h = 1--^^ sin (2V -ï).
Cela résulte encore du mode d'intégration, qui a conduit à prendre
au lieu de
Ah= sin (2V-I)
Ah= ^, sin(2Z'-0,
et à renfermer implicitement, par là, dans les termes du second ordre, certains termes dépendants des puissances supérieures de la force perturbatrice. On a, en effet.
n — 2n'\ n — 2H (pi— 211 y J
I02 M. SouiLLART, Théorie analytique
On a donc obtenu par anticipation, dès le second ordre, le terme
lequel ne diffère du terme trouvé plus haut que par des quantités du quatrième ordre au moins.
Les termes restants
nous donnent, en remplaçant 2I!' —1! par 180° + 2/^—/, les termes du troisième ordre
^= (-[0,I]D'+[0,2]D") COS {2l'-X).
dh is ensuite, uuus
la nouvelle formule
Si nous prenons ensuite, dans — ^, les termes en 4Z' — 2/, ils nous donneront
Par suite l'ensemble des termes du premier degré de — ^ nous fournira l'inégalité du troisième ordre
(5.) ,;,^[ÔZ'D + r°.') + [°.-])D--[°.^]D%i, (,,,), n — 2/i. +a
et on aurait pour ^k la même expression, sauf le changement du sinus en cosinus. Il en résulte pour la longitude du j^i^emier satellite le terme du troisième ordre
(XXIII, s,. = J^D+(C^il^ + [°.'])D--[°.^]P"3;, (, ,,,), ^ ' n-2n' + a ^ ^
qui donne approximativement
. * 3)' = — i3",97 sin (2Z' — 2?).
43. Considérons maintenant les termes du second degré qu'il y a à prendre dans -^. et d'abord ceux qui dépendent de l'angle 2l' — l.
Ctt
des mouvements des Satellites de Jupiter. 103
Pour former ceux-ci, on doit porter les termes du premier degré de R(o^i) dépendants de 2I' —l dans la première des deux formules:
dh £ m'an /? 2 i 7.2% '^R'io.n i in' an -, JR^d
dt~ ~1 ^ ^' ^ ' ) ^ij. 2 i-i ^ ^dT '
âh I mW. ., 2. 7.2N <^^I^(o,n i m'an -,d^^Q•^)
dt 2 II dh 2 f.1 da
et les termes du troisième degré, dans la première des suivantes :
dh m'an (?R(Q ij dh m'an cZR^„i^
dt ji dh ' dt /t dh
Le premier des deux groupes de termes qui en résultent est
j = -iU-[Z; cos {2l'-l) + h sin (2^-?)]
-- ^^^^ Ao'A[Z;' sin (2l'-l)-h' cos (2?'-/)],
et il donne, au moyen des formules (24), le terme unique
^ = -AB2cos (2l'-î).
dt 2 ^ ^
Pour obtenir le second groupe, on prendra dans le développement de la fonction perturbatrice que l'on trouve au tome I des Annales de r Observatoire (p. 273, 279 et 280), les termes du troisième degré dépendants de 2l'—l, ce qui donnera une expression de la forme :
;?^R,oi)= (Pc3 + Qee'2) cos (2r-Z-^) + ReV cos Czl'-l-^')
+ SeV cos (2Z'-Z-2^ + '5r')+Tee'^ cos (2I' -l- 2^' + ^).
Les lettres P, Q, R, S, T, employées ici d'une manière transitoire, ne désignent pas les mêmes quantités qu'au n° 25 : on a actuellement
I04 M. SouiLLART, Théorie analytique
m I m ail
Il en résulte dans — les termes
^'= [P(7i2 + r-)+Q(A'2 + /,'2)-| cos (2^/^)
+ [27.-(PA- + R//) + 2S(/J/ + /J.0+T(/^'2//2^] COS (2l'-l)
+ [2J:(Ph + 'Rh') + 2S{hh'-hh') + 2Th'h'] sin (aZ'-Z),
d'où l'on déduit les termes du troisième ordre
^ = [3PB2 2(R + S)BB' + (Q + T)B'2] cos (2l'-l).
En les joignant aux précédents, et intégrant, on obtient pour l'élément h la nouvelle inégalité du troisième ordre
Si = riB34-3PB'-^CB+S)BB'+(Q + T)B'n ^.^ (^,,,^ .
nous la négligerons, parce que son coefficient atteint à peine quelques unités du sixième ordre décimal.
Les termes d'argument 61' — 3/ qui se trouvent dans la fonction perturbatrice sont tous au moins du troisième degré ; on les obtient au moyen du développement cité plus haut {A?maks de C Observatoire, tome I, p. 2S7). Si l'on pose :
des mouvements des Satellites de Jupiter. 105
j, = I ^^^(^5 A(-^)+iâlA .- + 3iA,'- + 3A3"^)), G = I ^^' (416 A''^+ i5iAi'- + 32A2'- + 3A,^^').
les termes qu'il faut considérer sont donnés par la formule
^^^^^R^o,l) = — Ee^ cos (6Z'— 3?— 3w)+Fe2e' cos {61' — 2,1— 2^— -uj') H-
— Gree'^ cos {61' — tJ. — vj—2vj'). On en tire, au moyen de la formule
dh in' an (^R(o,i) dt /Lt dit
les termes suivants
dl
|-'= -[3E(A-2 A2)2F(M-'-M') + G(/y2 7,'2)] cos (6Z'-30 -[6EM-2F(/Ji' + M-') + 2G//Z;'] sin (6Z'-30,
d'où l'on déduit la nouvelle inégalité
(53) 3/, = 3EB^+.FBB- + GB-^^; ,
■?« — 2?i' + Ct
Au moyen de cette formule et de la valeur correspondante de î^^', on trouve pour la longitude du premier satellite le nouveau terme
/VYTV\ Cl 3EB2 + 2FBB' + GB'2 . , ., ,,
(AA.iV) -i-r = —2 ^ ; ! Sin {2I' — 2I),
qui vaut à peu près
— ii",94 sin (2Z' — 2/).
Quant aux termes d'argument 4/'' — /que contient l'expression de y, on
les formera comme ceux d'argument 61' — ^l, et en les traitant de même, on obtiendra encore un terme de la valeur de ^h : nous n'en rapporterons pas la formule, parce que son coefficient est au-dessous du sixième ordre décimal.
io6 M. SouiLLART, Théorie analytique
44. Il reste à voir s'il y a des termes sensibles parmi ceux de ^A qui ne présentent que deux faibles diviseurs, mais qui contiennent le carré du nombre J.
On obtient des termes de cette espèce soit par l'emploi d'une inégalité du second ordre, soit par l'emploi simultané de deux inégalités du premier ordre : examinons d'abord ceux que donne le premier moyen.
L'un des facteurs J devra être amené par le terme de départ, et l'autre par l'inégalité qu'on y introduit : cette dernière ne pourra donc pas être prise dans le groupe (50), et comme toutes les autres inégalités du second ordre et de degré zéro qui affectent les éléments, ne contiennent qu'un seul jDetit diviseur, il faudra que le second diviseur résulte de l'intégration, ou, en d'autres termes, que l'argument final soit multiple de 2I' — l.
On a trouvé, au n° 34, des termes de A« et Al qui sont du degré zéro et contiennent le facteur J avec un seul petit diviseur : ils sont donnés par les
formules (39), que nous écrirons, en y faisant n=.- pour simplifier,
^=2^Bcos(2Ï'-2n, AZ= -^ MBsin(2?'-2?).
Le terme de — où l'on devra faire usage de ces variations, devant être
du degré zéro et provenir de la fonction Y, ne peut être que (o) cos l ; ce dernier conduit en effet à l'inégalité
Bh=^ ^—^ Bsm(2l'-l).
On a trouvé aussi (n° 38) que Ah et Ak présentent un certain nombre de termes de degré zéro, renfermant le facteur J avec un petit diviseur. Tous ces termes, sauf ceux des formules (46), dépendent de l'angle il' — l: on doit les porter dans les termes du premier degré
— = (o)/j + 3(o)(/j cos 2l + ]t sin 2^). dt
Quand on les substitue dans la partie (o)l:, ils donnent tous dans ^h des termes de l'espèce voulue, mais qui sont négligeables, leurs coefficients étant ceux des termes ciui les ont produits, multipliés par la fraction — ^°]
dont la valeur est comprise entre - et ^. Substitués au contraire dans la
seconde partie, ils ne donnent rien, parce que l'argument final ne devient pas multiple de 2I' —l.
Mais quand on prend les inégalités (46) pour les introduire dans les
termes d'argument 2/, il vient, si l'on fait encore ?z' = -, l'inégalité
5/,= -9 (°)' — - B sin (2^-?).
Examinons maintenant les termes de la même espèce qu'on obtient par le produit de deux inégalités du premier ordre. L'une, au moins, de ces inégalités doit contenir le facteur J, et comme elle doit être du degré zéro, elle ne pourra être prise que dans le groupe (22) ; la deuxième ne pourra pas provenir du même groupe, puisqu'elle doit amener un premier petit diviseur: on la prendra donc parmi les formules (24). Puisque chacune de ces inégalités se rapporte aux éléments /i, /;, le terme de départ devra être du second degré, et comme il doit contenir le facteur J, il sera nécessairement le terme, déjà considéré au n° 26 :
^' = i^ [(/i2 + P) cog ij^22l-(Jc cos 7+/^ sin ?)]. dt ^
En y donnant à h et h les accroissements
?7i = ^ sin Z+B sin (2l'-l), dk = ^-^ cos l+B cos (2l'-l), n n
on est conduit à la nouvelle inégalité
^7, = I1 (o)' — . B sin (27'-/). 4 n{n — 2n' + a)
L'ensemble des trois inégalités dont nous venons de donner la formule, et qui sont les plus importantes parmi celles que nous cherchons ici, se réduit à la suivante :
^h = -1 -^-^ r B sin (27' -7);
io8 M. SouiLLAET, Théorie analytique
son coefficient ne vant pas deux unités du sixième ordre décimal. Il est clair que les inégalités de même espèce seront encore bien moins sensibles quand il s'agira du deuxième et du troisième satellite.
45. En résumé, parmi les inégalités qui dépendent du cube de la force perturbatrice, les seules que l'on doive considérer pour les éléments h et h sont données par les formules (52) et (53). Les inégalités du troisième ordre de la longitude du premier satellite peuvent donc se réduire aux expressiojis (XXIII) et (XXIY) ; on aurait les valeurs correspondantes de — en divisant par 2 les coefficients, et changeant les cosinus en sinus.
Ces termes, de même que ceux du second ordre, modifient les grandes inégalités du satellite, mais les deux corrections sont de signes contraires. Xous trouvons ici
^v = — 25",9i sin (2l' — 2l), et nous avons trouvé plus haut
A)' = 278",8 sin (2Z'-2/) ;
le coefficient —5050", 59 que donne la Mécanique Céleste devrait donc être remplacé par —A-"J9'j'' i7-
La petitesse du coefficient de ^v montre bien d'ailleurs qu'il n'y a pas à se préoccuper de la quatrième puissance de la force perturbatrice.
Avant d'examiner ce qui concerne les autres satellites, nous ferons encore quelques remarques sur la méthode d'intégration que nous avons employée dans la recherche des inégalités des divers ordres des éléments h. Ji^ afin d'en faire mieux ressortir les avantages ainsi que la légitimité.
La substitution du dénominateur n — 2n'-\-0L au dénominateur tz — 2 w' a pour effet d'introduire, dans chaque approximation, des termes très-notables qui appartiennent en réalité aux approximations suivantes, et par suite de rendre beaucoup plus petits les termes successifs de correction. Ainsi, dès le premier ordre, quand on prend poiu' coefficient de sin (2^' — /), dans la valeur de oh, le nombre
au lieu du nombre
on considère implicitement, outre le terme du premier ordre que donnerait la méthode ordinaire, les termes
[ôjA ^ 0*A
qui sont d'ordres supérieurs au premier. Ces termes s'obtiendraient aussi par la méthode générale, dans les approximations suivantes. Supposons, en effet, que l'on procède sans aucune anticipation. On prendra dans les valeurs de 3/i, §A', SA", au lieu des nombres
les nombres
mais alors on devra prendre dans la valeur de A A, au lieu des coefficients
les coefficients
avec une modification analogue pour A// et Ah" ; enfin dans la valeur (52) de i^/i, le coefficient
l3llD + (CS^ + [o,i])D^-[o,2]D-^ n—27i'-i-a
I lo M. SouiLLART, Théorie analytique
sera remplacé par
Dans la marche que nous avons suivie, on est obligé, comme nous l'avons reconnu, à chaque approximation nouvelle, de supprimer les termes contenant le facteur \~o\. Ainsi la suppression de l o| dans le coefficient de A/i fait disparaître le terme du second ordre
qui se présente de nouveau, et ferait double emploi avec celui qui a été englobé dans le terme du premier ordre. A la vérité, le terme que l'on supprime se présente, non sous la forme,
Sa
mais sous la suivante
Ba ^ Ba r 2[ô] ^ \^
(îi— 2}i' + a)^ (?i — 2ti'y\ n — 2n' ' /'
en sorte qu'il diffère du premier par des termes d'ordres supérieurs au second : cela importe peu, puisqu'on le supprime tout entier. Quant au terme du troisième ordre,
qui entre aussi implicitement dans le coefficient de oA, on l'obtiendrait, en suivant la marche générale, parmi les termes de ^h provenant du produit fô^ Di : ici il ne reparaît pas, à cause de la suppression de |oJ D dans le coefficient relatif à ^A.
On voit de la même manière que cette suppression de \o\ D empêche la
réapparition des termes du troisième ordre déjà contenus effectivement dans A/i, et ainsi de suite.
En résumé, les termes qui subsistent après cette épuration, quand on s'arrête à une certaine puissance de la force perturbatrice, se composent en réalité des termes qu'aurait donnés la méthode ordinaire, et, en outre, de certains termes que celle-ci donnerait seulement dans les approximations suivantes.
46. Dans la théorie du second satellite, on sera conduit, comme dans celle du premier, à négliger les inégalités du troisième ordre du grand axe et de la longitude moyenne. Pour trouver la partie principale de ^//, on aura à considérer exclusivement, dans la valeur de ^', les termes dont les arguments sont
o, 2V -l, 4l'-2l, 61' -si, 2l"-l', 4l"-2l', 61" -si'. En prenant d'abord les termes non périodiques, réduits aux suivants
par la suppression de |ij k', on en déduit, au moyen des formules (50), l'inégalité
Prenant ensuite les termes du premier degré qui dépendent des angles aJU — 2I et /[l" — 2l\ on en tire
7, Ci^D + (l"^+rî^|)D^ + C^^D^^ • / 7/ ■ k' = — ^==- ^' --- — ^ ^- — -^ — sm (2V — i
En réunissant les termes qui proviennent de ces deux inégalités, on obtient dans la longitude du second satellite le terme du troisième ordre
(XXV) .-.' = - (v^'V + [i,o])D + (lj^l + l^^)D- + (e;»^; + [T,2]D- ^.^ ^^ ^,)^
qui vaut à peu près —31'', 50 sin (l—l').
112 M. SouiLLAET, Théorie analytique
dh'
Parmi les termes du second degré que contient -^, on pourra négliger
ceux qui dépendent des angles 2I' — l, 2I'' —11 ^ et se borner à ceux d'arguments 61' — 2)1 et 61" — 2)1' . Pour les premiers nous prendrons
/FeV cos {61' -2,1- 2^ -'ut') -.
-f — ^\\,o) — z^J — Gee'^ cos (or — 3/ — -iir — 2ra-') Y)
^ vi' \/af
l+He'3cos (6Z'-3Z-3^') )
les nombres F, G étant ceux de plus haut, et le nombre H étant
Il viendra ainsi l'inégalité :
,^^,^ jW^ FB^ + 2GBB- + 3HB:^ 3.^ (,^.^), inWa' n-2n' + a'
Quant aux termes d'argument 61" - 3/^, si l'on désigne par E', F', G' ce que deviennent les expressions de E, F, G, lorsqu'on y ajoute un accent à chaque lettre, ils donnent l'inégalité
^h' = ^ i- y, î; sm (2l" — V).
Réunissant les termes qui proviennent de 6/' — 3/ et de 6/'' — 3/', on obtient dans v' la nouvelle iné":alité du troisième ordre
— ^(FB2 + 2 GBB' + 3HB'2) + 3E'B'2 + aF'B'B" + G'B"^
m \/a (XXVI) ^p' = rr—> sin (l - V),
qui vaut environ
n—2n+ci'
-i5",6i sin (l-V).
des mouvements des Satellites de Jupiter. 113
L'ensemble des corrections du troisième ordre pour la longitude du second satellite est donc à peu près
— 47", II sin {l — V);
comme cela est déjà arrivé pour le premier satellite, elles détruisent un peu l'effet des corrections du second ordre. En tenant compte des unes et des autres, et adoptant toujours les données numériques de la Mécanique Céleste^ on devina remplacer, dans la grande inégalité de la longitude du second satellite^ le nombre 11 gid'^Gj par le nombre 11 388''.
Si l'on calcule de la même manière, pour le troisième satellite, les inégalités du troisième ordre de l'élément h'\ on obtient pour celles qui proviennent des termes non périodiques et des termes d'argument 4/" — 2/', l'expression
s;," = -[a,°]D + (C'f- + [3..])D-+[JII]D" 3i„ (,,„;, n'-2n" + a" ^ ^'
et pour celles qui résultent de l'argument 6r — 3/', l'expression
^h" = ^'^-^-. ^ — :L-^2 sm (2Z"-Z'),
dans laquelle H' se déduit de H par l'addition d'un accent à chaque lettre.
Il en résulte dans la longitude du troisième satellite les termes du troisième ordre
(XXVII) 5r" = -2-;
.sin (l'-l"),
m Va n' — 2n" + a'
qui valent environ
-9",94sin(Z'-n-
La grande inégalité de la longitude du troisième satellite n'est donc altérée sensiblement que par les termes du second ordre, mais ceux-ci en changent notablement le coefficient. Si l'on tient compte du tout, on devra remplacer le nombre 808^^,20, que donne la Mécanique Céleste, par le nombre 708".
114 ^^- SouiLLART, Théorie analytique
