CHAPITRE y

Inégalités des Latitudes — Equations séculaires des Longitudes.

47. La latitude x est donnée, dans le mouvement elliptique, par la formule

sin X = sin <p sin (»^ — 6).

Lorsqu'on néglige les termes qui sont du second degré par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, cette formule se réduit à l'expression simple

X = ^ sin (Z-0),

et par suite les perturbations de la latitude se déduiront de celles des éléments (f) et 9 par la formule

(54) c\ = c(l> sin (1-6)- (f)c9 cos (1-6),

si l'on convient, suivant l'usage, d'employer dans les calculs la longitude corrigée de ses inégalités, et si l'on se borne aux quantités du premier ordre par rapport aux masses.

Au même degré d'approximation, les formules qui expriment les variations des éléments (j), ù, se réduisent aux suivantes :

/ \ f ^'A L I ^ tZ9 I I do,

^^^' dt~ na^ é d6' dt ~ mi^ <p dé'

(j) d6^ dt ncî^ <p d(p'

Les termes de la fonction perturbatrice qui dépendent des inclinaisons étant au moins du second degré par rapport à ces quantités, les inégalités de l'inclinaison et de la longitude du nœud seront au moins du premier degré. Kon seulement on pourra se borner à celles-là, à cause de la petitesse des inclinaisons, mais il suffira même, pour les inégalités périodiques, de consi-

des mouvements des Satellites de Jupiter.

dérer celles qui présentent soit un f câble diviseur^ soit le coefficient J. Nous prendrons, en conséquence, dans la fonction perturbatrice relative au jyj'emier satellite, d'abord les termes non périodiques, et ensuite ceux dont Vargument est âj! — 2I ou 2j;, ou dont le coefficient cantient le facteur (o). Il viendra ainsi

E,o,n = -\-^''W-2^f' cos (9-0')]

+-^ B(2^[./.2 cos (4/'-2?-29)-2^f cos {4'-2l-e-Q')],

R(0.) = -l -~[<P'-2<p<t COS (0-0)]

+1 ^ If C03 (2j?-20)-2</,a. COS (2 j'-0-e)],

Y = -i ^U2 + 2éa;COS (»// + 0)]

■■] 1^0)^ COS (2^ — 20) + 2éw COS (2? + ;// — 0)] ;

R(o.o) et R(o,3) se déduiront de la première ligne de R(o,i), en y remplaçant les éléments du second satellite par ceux du troisième ou du quatrième.

D'après cela, en conservant les notations du n° 16, et posant, en outre,

{0,1} = I ^ naB^'\ 4 H-

on aura les deux équations

^ = (o,i)f sin (0-0') + (o,2)f' sin id-6") + (o,^)(p"' sin (0-0'")

+ [0]$ sin (0 — e)-(o)w sin (\p + d) -{o,i][<p sin (4l'-2l-2d)-(p' sin (4Z'-2i!-0-0')] -[o][(j> sin (2j'-20)-$ sin (2j?-0-e)] -(o)[0 sin (2?— 20) + w sin (2? + ;//-0)],

0T = -[°]^+(°>l)f COS (0-0') + (o,2)f' COS (d-e^') + (o,3)<p"' C03 (0-0'")

+ [o]<î> COS (0-G) — (o)w COS (\p + d)

+ {0,1} [0 COS {4'-2l-2d)-<p' COS (4Z'-2Z— 0 — 0')] + [o][<^ COS (2^7-20) — «I> COS (2j'-0-0)] + (o)[^ COS (2Z— 20)+W COS (2Z + 1/' — 0)].

ii6

M. SouiLLART, Théorie anahjtujue

Les iuégalités relatives au second satellite s'obtiendront de la même manière, en considérant dans la fonction perturbatrice, outre les termes non périodiques, ceux dont l'argument est l'un des angles âj! —21., /[l" — 2I' , 2J9 ou 2/', ce dernier provenant de la correction d'aplatissement. On aura ainsi

Ra.o) = -|B("[f2 2^^'cos(9-0')]

+ JB(='^[</.'2 coS (4l'-2l-2d')-2^>cp' COS (4I' - 2I-O -6')] o

Ra,2) se déduira de l'expression de R(o,i) donnée plus haut, par l'addition d'un accent à chaque lettre ;

R(i 3), R(i,) et V se déduiront respectivement de R(o,3), R(o.5) et V par la substitution des éléments du second satellite à ceux du premier.

Si l'on pose encore

{1,0} =- -SiVB^^\ 4 H-

et qu'on désigne par {1,2} ce que devient {o,i} par l'addition d'un accent à chaque lettre, on aura les deux équations

'^ = (1,0)^ sin (6'-d) + (i,2)<p" sin (d' -Q") + (1,3)^'" sin (d'-B'")

+ [i]* sin (6'-0)-(i)w sin (^^ + 0') -{i,o][(p' sm(4l'-2l-2B')-0sin (4I' -2l-d' -0)] -{i,2}lcj>' sin (4l"-2l'-2d')-<p" sin (4I" -2V -6' -6")] — etc.

<p''JP-= -Hf + (i,o)r/. COS {0'-6) + (j,2)<J/'cos (0' - B") + (j ,3)<J>"' COS (6' -6'")

dt

+ [i]*cos (e'-0)-(Ow COS (v/'+e')

+ {i,o}[v/ COS (4l'-2l-2B')-(t> COS (4l'-2l-B'-B)]

+ {l,2}[f COS (4l"-2l'-2B')-cl>" COS (4l"-2l'-B'-B")-]

+ etc.

On obtiendra de même les équations relatives au troisième et au quatrième satellite, en déduisant R(2,i; de R(i,o) par l'addition d'un accent à

des mouvements des Satellites de Jupiter. 1 1 7

chaque lettre, et désignant par {2,1} ce que devient {1,0} par le même changement, et ainsi de suite.

48. Les équations différentielles que nous venons d'obtenir sont au nombre de huit, mais elles ne contiennent pas seulement les huit inconnues <^, ^, (f), 9\ (f)", Ô", (f)'", h'" . Ici encore s'est fait sentir, comme précédemment, la nécessité d'avoir égard à la figure de Jupiter et à l'influence d'un astre étranger au système jovien, savoir le Soleil : il en est résulté, dans les équations, des termes, les uns périodiques, les autres non périodiques, contenant les c|uatre variables nouvelles eu, \|/, <E>, 0, tandis qu'au n° 16 les mêmes actions n'avaient introduit que deux variables nouvelles, savoir & et IT, et seulement dans des termes périodiques.

Lorsqu'on étudie le mouvement de révolution des planètes autour du Soleil, il est permis de faire abstraction du mouvement de rotation de tous ces astres. Cela est permis encore, dans l'étude du mouvement des satellites autour de leur planète, tant que l'on s'occupe seulement de la forme des orbites et de leur orientation dans leurs plans respectifs, mais il n'en est plus de même lorsqu'on veut déterminer les déplacements de ces plans : nous devrons considérer en môme temps les perturbations du mouvement de rotation de la planète. Il en résultera entre nos douze variables deux nouvelles équations.

Si l'on désigne par A, B, C les trois moments d'inertie principaux du sphéroïde de Jupiter relatifs à son centre de gravité, C étant celui qui se rapporte à l'axe de rotation ; par i la vitesse de cette rotation, et par U une fonction perturbatrice dont nous donnerons plus bas l'expression, les équations qui régissent la précession des équinoxes de Jupiter et la nutation de son équateur par rapport au plan fixe, sont données par les formules

( 9\ ^i^ I tZU ç^ __ I <?U

dt iÇj sin w cZv// ' dt l'C sin w c?w

Ces formules ont été établies par Poisson de deux manières différentes dans deux ' Mémoires sur le mouvement de la Terre autour de son centre de gravité' (/. de V Ecole Polytechnique, XV'' cahier; Mémoires de V Académie des Sciences, t. YII) ; elles ont été démontrées de nouveau par ^I. Serret dans son Mémoire relatif à la même question {Annales de V Observatoire, t. V) ; Bessel les avait retrouvées également dans sa théorie du sj^stème de Saturne {Astronomische Nachrichten, Bd. xxviii., ou Ahhandlungen, Bd. i.).

1 1 8 M. SouiLLART, Théorie analytique

Elles ne sont qu'approchées, mais on y néglige seulement des termes à très courte période (comme la durée de la rotation de Jupiter ou ses parties aliquotes), ainsi que des quantités qui dépendent du carré des forces perturbatrices. Les forces perturbatrices sont ici les attractions des satellites et du Soleil, ces astres étant les seuls dont l'influence soit sensible, à cause de la proximité des uns et de la masse de l'autre ; U désigne la fonction de ces forces.

La partie de U qui provient de l'action du satellite m peut (Serret, p. 257-259 et p. 303) être mise sous la forme

z désignant la distance actuelle du satellite au plan de l'équateur de Jupiter.

Pour développer la fonction U, observons que - est le cosinus de l'angle que fait le rayon vecteur du satellite avec l'axe de rotation, lequel a été évalué déjà au n° 4.

Les deux angles ^ et œ étant du même ordre de grandeur, si l'on néglige les termes qui seraient, par rapport à ces deux quantités, d'un degré supérieur au second, il viendra successivement

= i^fi sin (^v — Q') +ai siu (j/-f i//),

(?-\ =iw>2rr cOS (2l'-20)]+0w[cO3 (0 + v!')— COS (2J'-0 + ;^)]+-w2[i COS (2>'+2l^)].

\rj 2 ' 2

Le premier terme de cette expression peut être négligé, parce qu'il ne contient ni i/; ni w ; dans les suivants, on pourra remplacer la longitude vraie V par la longitude moyenne l, car ces termes étant du second degré en ^ et œ, il est permis d'y négliger les excentricités. Pour la même raison, nous

réduirons le facteur ( - j à l'unité.

En conséquence, la partie de la fonction perturbatrice U qui provient de l'action du premier satellite, se mettra sous la forme

U = ^-%(2C-A-B)r-i(o2-,|.CUCOs(0 + i^)+-w2cOS {2l■\-2^\^)+<l>UlC0S (2Z-0 + ;//)1. *l Cv ( 2 2 I

des mouvements des Satellites de Jupiter.

Il faudra ajouter au second membre, pour avoir la valeur complète de U, autant de groupes pareils au précédent qu'il y a d'astres perturbateurs, savoir un pour chacun des trois autres satellites, et un pour le Soleil. Mais puisque nous excluons les inégalités à courte période, nous ne tiendrons pas compte des termes d'arguments 2?, il', 2l'\ 2I'" ; les seuls termes périodiques que nous conserverons sont ceux d'argument 2J2.

En substituant dans les équations (46) les valeurs de -^, -^, et posant

Jf

nous obtiendrons les deux équations suivantes

C dio

= (o).(^ sin id + xP) + (T)cj>' sin (e' + v//) + + Q'6 sin (O + l)

-0 [« sin (2j?+2-^) + ^ sin (2j-e + -4^)-\, j# = Qw + (ô)f/.cos (9 + i/') + Q</>' cos (d' + xP)+ + Q* cos {e + \P)

-(J) [w cos (2j?+2-J/) + <& cos (2j]-e-]-\l)'].

Les nouveaux coefficients introduits dans ces équations et dans les précédentes ont pour logarithmes les nombres suivants :

Tableau III.

Logarithme.

Coefficient.

Logarithme.

Coefficient.

Logarithme.

Coefficient.

Logarithme.

M. SouiLLART, Théorie analytique

Si l'on compare les coefficients (o), ?,.... introduits dans les équations (59) à ceux qui figurent dans les huit équations différentielles précédentes, on trouve qu'ils sont plus petits, et cela devait être, parce qu'ils contiennent en facteur à la fois l'aplatissement de Jupiter et une masse de satellite ; mais ils sont comparables entre eux, et les termes qui proviendraient des astres perturbateurs dont on n'a pas tenu compte seraient encore beaucoup plus petits.

I. Inégalités séculaires des inclinaisons et des longitudes des nœuds — Termes correspondants des latitudes.

49. Bien que le nombre des équations différentielles obtenues plus haut soit encore inférieur à celui des inconnues, on peut dès à présent séparer le calcul des inégalités séculaires des éléments (^, ô, (^', . . . , et celui de leurs inégalités périodiques.

Si l'on veut s'occuper exclusivement, en premier lieu, des inégalités séculaires, on sait qu'il faut dans les équations précédentes négliger tous les termes périodiques. Pour obtenir plus de symétrie, nous ferons ici, comme au n*' 16, un changement de variables, et nous poserons

j9 ^ ^ sin 9, 2 = <?> cos 9, jp' = (f)' sin 6', .... j)iv = u) sin ;//, f^" = — w cos i//, ^ = <& sin 0, '^ = * cos 6 ;

il viendra alors le système des dix équations différentielles

^Jt = -R'Z+(°'02' + (o>2)'Z" + (o,3V/" + (o)2-+[o]i:>,

^ = (i,oJ2-|Tjî' + (i,2)2" + (i,3)2'" + (02^^ + [i]J,

^ = (2,o)2 + (2,iy/-|T|r/' + (2,3)./" + (2)r/v + [2]9,

dt —

des mouvements des Satellites de Jupiter. 121

Nous n'avons que dix équations pour exprimer en fonction du temps les douze inconnues ^:>, q^ p\ . . . , <^, J : nous allons voir qu'elles peuvent suffire à déterminer le déplacement des plans des orbites des quatre satellites et celui du plan de l'équateur de Jupiter.

Un premier moyen consiste à regarder les variables c^^, J comme connues, indépendamment de toutes les autres, par la théorie des perturbations séculaires des planètes. Ces deux quantités, en effet, déterminent le plan de l'orbite apparente du Soleil autour de Jupiter^ ou, ce qui revient au même, le plan de l'orbite de Jupiter autour du Soleil, et ce plan peut être confondu avec celui de l'orbite que décrit le centre de gravité du système formé par Jupiter et ses satellites. Or les déplacements séculaires de ce dernier plan ont été calculés {^Annales de V Observatoire, t. II, p. 169) par des formules de la forme

p(*) = 2A sin {at + a), <f^ = SA cos {at + u),

les inclinaisons et les longitudes étant rapportées à l'écliptique et à l'équinoxe terrestre de 1800. Dans la théorie des satellites, on prend pour plan fixe l'orbite de Jupiter à une certaine époque 4, et on compte les longitudes à partir de l'équinoxe de Jupiter pour la même époque : ce plan fixe sera donc déterminé, par rapport à l'écliptique et à l'équinoxe de 1800, par les équations

p^^'' = 2A sin (af, + a), q^'^ = 2A cos (at„ + a).

La quantité 0 désigne pour nous la longitude du nœud de l'orbite actuelle de Jupiter rapportée à l'équinoxe fixe de Jupiter ; la longitude de ce même nœud, comptée à partir de l'équinoxe terrestre de 1800, sera ©— yS, y8 étant une constante donnée, et on aura, comme l'on sait, en néghgeaut les carrés des inclinaisons (v. plus loin, n° 51),

$ sin (6-/3) = pW-2V'\ * cos (9-/5) = q^*^-qo^*\ On tire de là

4) sin e = (i>"^-2V*0 cos /3 + (2"^-îZo"') sin /5, <I' cos e = ('/^'-îo^'O cos /3-(i>'-'^-iJ ''0 sin /3 ;

122 M. SouiLLART, Théorie analytique

d'où enfin

,f/*= :sA[sin (a/ + a + /3)- sin (a/o + « + /3)], 0 = :sA[cos (af + n+/5)- cos (afo + « + /3)].

En substituant ces valeurs dans les équations (60), on est ramené à intégrer un système d'équations linéaires avec seconds membres, en nombre égal au nombre des inconnues, et dont on trouve aisément une solution particulière.

Cette marche revient à celle qui a été indiquée dans mon premier travail (Essai sw la Théorie etc., n° 33) ; elle est théoriquement très-simple, et elle serait très-rigoureuse si l'incertitude qui règne sur les valeurs des masses ne limitait pas le degré d'approximation qu'on peut obtenir. Mais il arrive que les différents termes dont se compose l'expression de chacune des variables sont loin d'avoir la même importance pour le calcul des latitudes et pour celui des équations séculaires : la méthode n'établissant entre eux aucune distinction, toute conclusion relative à ces deux calculs est forcément ajournée jusqu'à l'époque de la réduction en nombres. A cause de cet inconvénient, il y aura lieu de préférer un autre procédé, imité de Laplace, qui n'est pas susceptible d'une aussi grande précision, mais qui a l'avantage de déterminer directement les termes principaux, et permet par là de donner la formule des équations séculaires. Il est fondé sur la remarque suivante, qui a besoin d'être justifiée :

Lorsqu'on néglige dans les seconds membres des équations (60) les termes dépendants de c/^ et J, on sait qu'on obtient les intégrales du système en posant

j9 = N sin (?>f + y), j/ = N' sin (//f + y), , y^ = N^^ sin (iZ + y),

2 = N cos (/jf + y), q' = '^' cos (1)1 + y), , ^i^' = IST'^ cos (&^ + y);

quand on y conserve les quantités ^, Ê, la forme des ^ltégrales du système supposé complété reste la même, et il faut seulement poser en outre

^; ^ -^(s) gi^ (ll + y), J = W cos (/v^4-7).

50. Lorsqu'on veut étudier les mouvements relatifs de tous les astres du système solaire, on commence, pour simplifier la question, par considérer non-seulement chaque planète, mais aussi chacun des systèmes secondaires formés par une planète et ses satellites, comme se réduisant à un simple point matériel, son centre de gravité, dans lequel serait réunie la masse totale.

des mouvements des ScUelUtes de Jupiter. 123

Après avoir déterminé les mouvements de tous ces points par rapport au centre du Soleil, on étudie, dans chaque système secondaire, le mouvement de la planète par rapport au centre de gravité du système, ceux des satellites autour de la planète, et la rotation de chacun de ces corps autour de son propre centre de gravité. C'est dans ces dernières recherches seulement c|ue l'on a égard aux actions individuelles de la planète et des satellites, ainsi qu'à la figure de ces divers astres.

Supposons qu'on veuille, au contraire, aborder le problème dans tonte sa complication, et embrasser dans une môme analyse l'ensemble des mouvements, tant de rotation que de translation, de tous ces astres à la fois, considérés individuellement : il faudra tenir compte immédiatement de leur figure et de l'action que chacun d'eux exerce sur tous les autres.

On pourra déterminer, par un système unique d'équations différentielles, les perturbations des mouvements elliptiques que la première approximation attribue à chacun de ces astres, autour du Soleil pour les uns, autour de planètes pour les autres, et, en même temps, les inégalités des mouvements de rotation de ces différents corps. La plupart des fonctions perturbatrices partielles qu'il y aura lieu de considérer, seront plus compliquées que dans le cas ordinaire, à cause de cette circonstance que tous ces astres ne circulent pas autour d'un même centre : ainsi, au lieu d'avoir à développer les puissances de l'expression

I — 2a cos x + a"^ = (i — (:te''')(i— ae~"),

on aura celles de l'expression plus générale

I — 2a cos a; — 2/3 cos ?/ + 2o/5 cos (.^ — ?/) + «" + /3-,

laquelle peut s'écrire

( I — a e'-'' — jk''J) ( I - o e- '■' — l3e-''0,

et même celles de l'expression

(i — ae''^— /je''^— ye'')(i - ae"^''— pe"'^'- ye"^).

Pour nous borner au cas cjui nous sera utile ici, occupons-nous seulement des déplacements séculaires des plans des orbites, en ayant soin de considérer en môme temps, puisque les deux problèmes sont connexes, les déplacements séculaires des équateurs de ceux des astres dont la figure s'éloigne sensiblement de la forme sphérique.

M. SouiLLAET, Théorie analytique

On pourra constater,* par un calcul facile mais trop long pour être reproduit ici, la proposition suivante :

Si l'on convient de rapporter à un même plan fixe (ou à des plans parallèles) les inclinaisons de tous les plans, orbites ou équateurs, dont on étudie les déplacements, et de compter toutes les longitudes des nœuds à partir d'un même point du ciel, les équations différentielles qui déterminent les perturbations séculaires des inclinaisons et des nœuds de ces divers j^lans, et qui sont au nombre de deux pour chaque plan^ sont encore linéaires et de même forme que les équations (60), pourvu que l'on y néglige toujours les termes qui seraient du troisième degré au moins par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.

Si l'on met en évidence ce qui se rapporte aux satellites de Jupiter, à son équateur, à Jupiter lui-même et à une planète quelconque Mi dont l'orbite sera déterminée par les variables ifi, Jj, ce système d'équations différentielles sera de la forme

(61). ^ = Fq + F'q' + F"q" + ¥"'r/" + Y''yqi^ dt

^ = |oJp-(o,i)/-(o,2)p"-(o,3)p--(o)p-[o]^ ai —

^fj,-cjg^>-h0i^-,,,.,

* Voir le Mémoire intitulé Mouvements relatifs de tous les astres du syslhne solaire, chaque astre étant considéré individuellement. {Mémoires des Savants étrangers, publiés par l'Académie des Sciences de Belgiqiie, tome xlii. 1879.)

des mouvements des Satellites de Jupiter.

les lettres /, g, h, /,..., F, G, H, F', . . . désignant des coefficients fonctions des masses et des moyennes distances, et les autres lettres on coefficients étant les mêmes que dans les équations (60). Pour l'intégrer, on devra poser non seulement

^ = ^8111 (?/i + y), , 2^''' = Ni^sin (?/^ + y),

q = 'is COi {11 + y), , ^i^- = N"- COS (6^ + 7),

mais encore

^ = N^-^' sin {U+y), 3\ = Nw sin (Z/i + y), Q = W^ cos {It + y)., ,9i = N'" cos ilt + y'),

Il viendra ainsi entre h, N, X', . . . N'"", ls'^'\ N^'\ condition

les équations de

(0= -(Z/+M)N+(o,i)N' + (o,2)N"+(o,3)N'" + (o)Niv + [o]N('> 0= (i,o)N-(6+|T])N'+(i,2)N'' + (i,3)N'" + (i)Ni^+[i]N<''

0= ûN' + 0N'+ 2 :N" + 0N'"-(&4-,7)^''' + 0^^'' ^/•iv]|^nv|^ivNW^;,iyN(.) + ,

o = FN + F'N' + r"N" + F'"N'" + Fi^'K^^