G -&)N(^' + HN
o = FiN + F/N' + F/'N" + F/"N'" + Fi^^N^v
Ces équations donneront pour l'argument b autant de valeurs b^^ b^, ^2, • • . , qn'il y a de plans dont on considère les déplacements, et les intégrales générales du système (61) seront :
M. SouiLLAKT, Théorie analytique
Xo siu (/>o^ + yo)+î^i siu (&ii + yi)+îf2 sin (^a^ + y,,) + , No' sin (V + 7o)+^/ sln (5,^ + y,) + N.3' sin (&2^ + y,) + .
^ = No^^^ sin (&o^ f yo) +N/*-^ sin (^
i + yi)+N2"' sin (&o + y2) + ..
sin (&oif yo)+N/*-^ sin (Z/if + yi)' ^1 = No^'> • '' • ■ ^ —
-- V „- . ,ux . -i — v^i^ . ,,^+N2(-^^ sin (&2i + raisin (M + 7o)+N"/'^ sin (&j/ + y,)+N2^'^ sin (^a^ + yo)
</ =No COS (Z;o^ + yo)+^i COS (?;i^ + yi)+No C0S(&2^ + 72)+ ,
Une solution aussi générale du problème n'a d'intérêt qu'au point de vue théorique : en effet le système (62) se partage de lui-même en autant de systèmes partiels qu'il y a de groupes d'astres. Cela résulte de la comparaison des coefficients. Dans celles de ces équations qui se rapportent aux satellites et à l'équateur de Jupiter, les termes provenant des planètes autres que Jupiter^ savoir ceux des secondes lignes, sont négligeables à côté des autres : leur rapport à ceux-ci est à peu près égal au cube du rapport des distances d'un satellite à Jupiter et d'une planète au Soleil, divisé par le rapport des masses du satellite et de la planète, et par suite il est au plus Tô-è"ôo • E^ négligeant ces termes, on obtient un premier système adéquations de condition^ identique à celui qu^ auraient donné les équations (60) par les mêmes substitutions^ savoir
'0= -(&+0)N+(o,i)N' + (o,2)ISr" + (o,3)N'"+(o)N>v+[o]N--\
0= (i,o)N-(/.+ |l])N'+(i,2)N" + (i,3)N'" + (i)Niv + [i]N'0,
(64): o = (2,o)N + (2,i)N' -(//+[T;)N" + (2,3)N'" + (2)Niv + [2]N'-^\
0= (3,o)X+(3,i)N'+(3,2)N"-(/.+ |Ti)N'"+(3)N-+[2]N^'\
o = (■ o N + Qn' + 0N" + (z)W" -{1 + Ç))^'"- + 0N(*-\
Si l'on considère au contraire, parmi les équations (62), celles qui se rapportent aux diverses planètes, on reconnaîtra que les termes dus à l'action des satellites et à l'aplatissement de Jupiter, savoir ceux qui composent les premières lignes, sont encore de plus petites fractions de ceux qui résultent
des attractions mutuelles des planètes ; leur rapport à ces derniers est approximativement éi^al (pour les plus considérables) au carré du même rapport de distances que plus haut, multiplié par le même rapport de masses. En en faisant abstraction, on obtient un second système d équations de condition^ en oiomhre égal au 7ioml>re des planètes^ et ne contenant, avec l'argument h^ que les coefficients W\ W^\ . . . qui sont en même nombre.
Ce second système, qui différerait à peine de celui que l'on considère habituellement dans la théorie des planètes, est indépendant du premier et de tous les autres, et par conséquent il fera connaître séparément les variables <^, ^, ^1, ,^^1, .... sous forme d'expressions composées d'autant de termes seulement qu'il y a de planètes. Cela exige que les valeitrs des quantités W'\ W'\ . . . relatives aux autres arguments, soient insensibles dans les formides complètes (63).
Le premier système dépend au contraire du second, à cause de la présence des termes en N^'\ Il ne suffira donc pas, dans les valeurs de p), q, p\ . . . d'avoir égard aux termes qui proviennent de l'action des satellites et de l'aplatissement : on devra tenir compte de tous les arguments, mais il y aura des simplifications.
Les considérations qui précèdent sont nécessaires pour justifier le procédé d'intégration que nous allons appliquer aux équations (60) ; elles étaient sans cloute dans la pensée de Laplace,* mais il a négligé de les exprimer, et elles paraissent avoir échappé complètement à son commentateur.
51. Occupons-nous exclusivement, en premier lieu, des quatre valeurs de h qui se rapportent aux orbites des quatre satellites. Nous pourrons alors, dans les quatre premières des équations (64), négliger les derniers termes : on vient de voir, en effet, que les valeurs correspondantes de N^'^ sont extrêmement petites, et de plus les coefficients [o], [i], [2], [3] sont euxmêmes relativement petits. Nous y pourrons encore négliger les termes en N'^, malgré l'importance des coefficients (o), (i), (2), (3). Prenons, en effet, la dernière des équations (64)
* En effet, au N° 9 de sa théorie des satellites, alors qu'il n'a encore formé que quatre équations différentielles du second ordre entre les six variables qu'il veut déterminer, Lapi^ace préjuge déji\, sans aucune explication, la forme que doivent présenter les intégrales.
128 M. SouiLLART, Théorie analytique
Les coefficients (o), (i), étant de très-petits nombres (v. le
tableau III), il en sera de même du produit {h + Q)W^ et par suite aussi du produit l)^'^. Mais les valeurs de h dont il s'agit sont assez voisines des nombres (o), (i), (2), (3); il faudra donc aussi que les termes (o)N% (i)N'', (2)X'% (3)N''' soient négligeables.
Ce dernier raisonnement suppose, il est vrai, que les valeurs des coefficients N, X', . . . ne sont pas considérables : or, en fait, les valeurs numériques obtenues par Laplace, traduites dans nos unités, atteignent au plus 0,001.
D'après cela on pourra, pour le calcul des quatre arguments que nous avons en vue et des nombres qui en dépendent, se borner à prendre les équations réduites
ce sont celles qu'obtient Laplace pour le môme objet.
Soient &o, ^1, ^21 ^3 ^es quatre valeurs de b qu'on en déduit ; si Von désigne par pi, «/i, ;:>/, . . . la jyartie des inégalités séculaires de 2^1 (jt-tP'-, • • • Qui ne dépend que de V action mutuelle des satellites, on aura
,^j, =i:iNsm (Z/i + y), î, = S,Ncos (6^ + y), (66)Li' = S,N'sin(&f+y), ....,
le signe ^1 s'étendant exclusivement aux quatre valeurs Iq^ ^1, h^, h^ de b, La partie correspondante des latitudes au dessus du plan fixe s'en déduira par la formule
A = (j^ sin l—p cos /,
et on aura :
X, = SiNsin (I-lt-y), (XXVIII) JX,' = i:,N' sin Q'-ht-y),
ConsidéroDS, en second lieu, les termes qui dépendent des déplacements de l'équateur de Jupiter et des orbites des diverses planètes : on pourra les calculer en bloc comme il suit.
Les valeurs de h dont il nous reste à tenir compte, sont toutes trèspetites à côté des quatre premières. En effet celle qui se rapporte à l'équateur a été trouvée par Laplace égale à 9'',8788, ce qui équivaut à 0,000 000 0425 dans nos unités ; quant à celles qui proviennent des diverses planètes, en prenant les valeurs trouvées au tome II des Annales de V Observatoire, on voit que la plus grande n'atteint pas dix fois cette dernière. Toutes ces valeurs de h sont donc négligeables à côté des nombres | o |, | i |, [2^ et | 3 | (mais non à côté du nombre Q) ; en conséquence, quelle que soit celle que l'on considère, les quatre premières des équations (64) peuvent se réduire aux suivantes :
o = -,r^N+(o,i)N' + (o,2)N" + (o,3)N'" + (o)Ni-+[o]N« 0= (i,o)N-gN' + (i,2)N" + (i,3)N"' + (i)Niv+[i]N('), 0= (2,o)N+(2,i)N'-jT]N"4-(2,3)N'"+(2)Nîv+[2]N('', 0= (3,o)i^+(3,i)N' + (3,2)N"-[2N'" + (3)Niv+[3]N«
Dans chacune de ces équations la somme algébrique des coefficients des variables est nulle, et par suite il n'entre en réalité que les rapports de cinq variables, qui sont des différences des quantités N, N', . . . prises deux à deux ; ces différences se présentent ici au nombre de 14, mais on peut, de six manières différentes, écrire les équations sous une forme telle qu'elles contiennent les mêmes différences. Nous choisirons la forme suivante :
o = -[^ (N-N(^)) + (o,i)(N'-N'^0 + (o>2)(î^"-N''0 + (o,3)(N'"-N'^0 + (o)(Niv N('0,
Si nous posons
les équations précédentes nous donneront, pour déterminer les quatre nombres />t, /x', /x", \i!" les quatre équations :
130 M. SouiLLART, Théorie analytique
'0= -|]^iA' + (o,i)/ + (o,2V + (o,3V" + (o), o=(i,o) /x- |T"|/ + (i,2)/' + (i,3V''+(i),
0=(2,0) At+(2,iy- H/'+(2,3V"+(2),
lo=(3,o) /.+ (3,iV + (3,2V'- [T|a^'" + (3)-
Pour faire usage de ces nombres, prenons comme plan de comparaison, au lieu du plan fixe considéré jusqu'ici, le plan variable de l'orbite de Jupiter. Soient, à l'époque f, I l'inclinaison de l'orbite du satellite m sur ce plan, et r la longitude de son nœud, comptée à p)artir du rabattement de V origine primitive. On aura, comme on sait, les équations
sin I sîn (r — 0) := siu ^ sin (0 — G),
sin I cos (r— 9) = sin <\t cos (9—6) cos $— sin $ cos <p,
d'où, en négligeant les carrés des inclinaisons,
I sin (r-e) = ^ sin (0-e), I cos (r-e), = </> cos (0-9)-*,
et par suite
I sin - = jj — ^, I cos T =. q^ — Q. On aura en conséquence
I sin- = S(N-N^^') sin (6^ + y), I cos r = 2(N'-N'^0 cos (&i + y), '
le signe % s' étendant à toutes les valeurs de h sans exception.
Séparons dans ces expressions, en les distinguant par les indices i et 2, la partie qui dépend des quatre arguments ^o? ^i? ^2? ^3 et celle qui dépend de tous les autres. Les deux quantités
2i(N'-Nf'0 sin (/^i + y), Si(N-N('') cos i])t-^y^ ne différeront pas des quantités
2iN sin (&/ + y), :i:,N cos (6i + y)
considérées précédemment, puisque les valeurs de N^'^ relatives aux quatre premiers arguments sont insensibles,
des mouvements des Satellites de Jupiter. 131
On aura ensuite, pour les autres valeurs de è,
22(N-N<") sin (&i + y) =/i22(N'v-N(')) sin {U + y), 2, (N" - W^) COS {ht + y) = |u2o (N>^ - W^) cos (&i + y ) ;
et si Ton observe que pour les arguments exclus du signe S2, les valeurs de N'^ et N^'^ sont insensibles, on pourra prendre pour seconds membres les expressions
^S(Niv N(^)) sin (&i + y), ix^{W^-W'^) cos {ht + y).
Soient co' l'inclinaison de l'équateur de Jupiter sur le plan de l'orbite actuelle, et — ij/' la longitude de son nœud descendant, comptée à 'partir du rabattement de V origine primitive ; on aura, par les mêmes considérations que plus haut,
u)' sin ;//' = f'^ -0^, —ù)' cos -il' = 2^^— J,
et par suite
a>' sin xL' = :S(N''- N"') sin (bt + y), ■0}' cos i//' = i:(Ni^-N^^O cos (ht + y).
La seconde partie des valeurs de I sin r et I cos r peut donc s'écrire ixù)' sin \}/' et — jw-w' cos -^^ On verra plus loin la manière de déterminer ûi' et xj/'.
En réunissant les deux parties, on aura
fl sin r = :S,îir sin (ht + y) + uu)' sin \L', (68)
il cos T = 2,]Srcos (ht + y)—id(x)' cos •4''.
Soit A la latitude du satellite m au dessus de l'orbite de Jupiter : sa longitude ne différera de l que par des termes du second ordre, et par suite on pourra prendre
A = Isin(Z-r).
Au moyen de cette formule et des équations précédentes appliquées à
chacun des satellites, on trouvera pour les latitudes au dessus du plan de Vorhite, abstraction faite des inégalités périodiques, les expressions
(XXIX
A = :SiN sin (/' -U-y)-i-L w' sin (/ +-1'), A' =:S,N' sin (/' -lt-y)-fi' J s'm (r +■>/.'), A" = 2,N" sin (l' -ht-y)-fi"o,' sin (l" +-f ), A'" = SiN"' sin (l'"-ht-y)-fx"'io' sin (l"' + xl^'),
identiques à celles de la Mécanique Céleste.
Il est facile d'ailleurs de tout rapporter au plan fixe. On a, en effet,
p = 0^ + 1 sin r, g = Q + 1 COS r;
on aura donc pour les valeurs complètes de p et q les formules
p = 2iN sin {U-\-y)+nw' sin •^' + <^,
( q = ^liN COS (ht + y)—fxoj' COS ^' + ^,
et par suite pour celle de la latitude au dessus du plan fixe
(XXX) \ = s, Nsin (l-U-y)-pw' sin (Z + -f ) + j3 sin Z-<^ cos l
On aura des formules toutes pareilles pour les trois autres satellites.
52. Il nous reste à déterminer le déplacement de l'équateur de Jwp2V^?', soit par rapport au plan fixe, soit par rapport au plan de l'orbite, c'est à dire à calculer les quantités w, \!/, w'. ^'.
Considérons, à cet effet, le^ valeurs de p''' et q'"" données par les formules (63), en les réduisant aux termes suivants
2^" = ^aNi^ sin (U + y), q'"' = ^2^''' cos (ht + y),
puisque les valeurs de N'"" relatives aux actions des satellites sont négligeables. L'argument /^^ qui se rapporte au déplacement de l'équateur, se calculera aisément au moyen de la dernière des équations (64). Celle-ci peut s'écrii'e
des mouvements des Satellites de Jupiter. 133
et, à cause des relations qui ont lieu, pour tous les arguments que nous considérons, entre les cinq différences qu'elle contient, elle deviendra
(70) Z/Niv =^ {^^l+ 7 /x'+0^"+(3)/^'"-^;)(N'^-N^'O• Quand il s'agit de ^4, il est permis de négliger N^'^ : on a vu en effet que les déplacements de l'orbite se calculent par un système d'équations qui ne dépend pas des déplacements de l'équateur. Le facteur N'^ devient alors commun aux deux membres, et il reste
On aura ainsi les premiers termes des valeurs de p^^ et q'^., savoir
N4"- sin (&4^+74)> 1^4''' cos {hit + ji),
N4''' et ji étant deux arbitraires,
Pour les termes suivants, si nous considérons l'un d'eux en particulier, son argmnent h devra aussi vérifier l'équation (70), laquelle peut s'écrire
On en tire
formule qui donnera la valeur du coefficient N'', puisque h et W^ sont connues par la théorie des planètes. Si donc l'on désigne par S3 l'ensemble des termes qui se rapportent aux déplacements des orbites des planètes, les valeurs complètes de //'' et q^^ seront :
>' = N;'v- sin (M + 74) -^1^3^;^ sin (ht + y), r/v = N.,"- COS (Z'4^+ 74) -^4-37-7- cos Qjt + y).
134 M. SouiLLAET, Théorie analytique
Ou en tirera w et vj/ par les formules
w sin -.// = iP, — w cos -^ = 2^'',
Ou peut transformer ces formules de manière à n'avoir pas besoin de considérer individuellement chaque valeur de b. Pour cela, faisons d'abord disparaître la quantité h qui se trouve en dehors des signes sinus et cosinus, en introduisant au lieu de ht+y l'angle ht—h^t+y. Il vient
w sin i-^ + h^t) = N4"- sin 74-^4237^ sin {U-l^t + y),
w COS (-^P + h^t) = -N^î^ COS 74 + ^^4^3 7^ cos (U-hit+y),
ou bien
w siu i^ + lS = ^i'' sin y^-bifdŒ^W'^ cos (ht-h^t + y), w cos (^ + &40 = -N"/^ cos y^-lMlf^z^^'^ sin {11-1.^1 + y).
Mais des deux formules
* sin 0 = S3N^'> sin (It + y), * cos G = 'E.^W cos {ht + y),
on tire
SgN^ sin {11-1^1 + y) = «ï) sin (e-&40, ^^W^ cos (&^-&4^ + 7) .= * cos {Q-h^t).
On aura donc enfin, pour le calcul de w et \(/, les deux formules
Iw sin (■>/' + Z^40 = N4'^ sin yx — lJ'^ cos {Q — h.f)àt^ w cos (i//+Z>40 = -'N.i'''cosy.i-bJ<i> sin {Q-l>^t)flt.
Ayant calculé w et \(/, on obtiendra co' et \j/' par les équations
w' sin iL' = ^ sin ti/ — <I> sin 9,
i— 0/' cos ■»//' = — w cos y — * cos 0.
des mouvements des Satellites de Jupiter. 135
Mais si l'on veut trouver directement a' et -^^ sans passer par l'intermédiaire de oi et \!/, on tirera de ces équations les suivantes
w' sin {l' + hjft) = w sin (\p + hit) — (^ sin (Q — h^t), w' cos Q'\^' + h^t) = w cos (\p + hit) + f^ cos (9 — 64^),
et par suite
w' sin (4'' + 2*10 = ^4''' sin Yi-h^fi cos (e-&40fZîî-* sin (e-&.iO> (ii/' + M) = -1^4^^ cos yi-hifh sin (e-Z*40cZ^+* ces (e-&40.
w' cos
53. Les formules qui précèdent se rapportent à un plan fixe quelconque, mais elles se simplifient beaucoup lorsqu'on choisit pour ce plan celui de l'orbite de Jupiter à l'origine du temps, et pour origine des longitudes l'équinoxe de Jupiter à la même époque.
Les expressions générales
$ sin e = 2N(*5 sin (It + y), * cos 9 = 2N<'^ cos (ht+y)
se réduisent alors à la forme
* sin 8 = A^, * cos 9 = B^.
En effet pour ^=o, on doit avoir <ï>=o, et par suite on aura les identités
SN^^) sin 7 = 0, ^W'^ cos y = o ; on pourra donc écrire
* sin e = 2N(') sin (ht + 7) - SN^^^ sin 7 = 2SN'*> sin - cos (- + y\
* cos 9 = 2N^') cos (?/i + 7)2N''> cos 7 = -2^^^ sin - sin C~+y\
ou bien encore, en supposant que l'on puisse se borner aux termes contenant la première puissance de t,
$ sin 9 = t'^W''^ cos 7, * cos 9 = — /2&N"' sin y.
Les valeurs numériques de A et B pourront d'ailleurs s'obtenir directement, en observant quelles sont respectivement 'j^,~dti et calculant les expressions données pour ces quantités par les équations (61). Pour s'en faire une idée, il suffira même, bien que l'origine des longitudes soit différente, de prendre au tome II des Annales de l'Observatoire (p. 10 1) les variations annuelles de -y et J pour 1850 ; on en déduit, en adoptant toujours nos unités, les valeurs suivantes des variations diurnes :
nombres du même ordre de grandeur que
Il résulte de là que l'on pourra négliger les intégrales qui figurent dans les équations (72) et (74). On aura en eflfet
/î sin {e-h^Odt = flAt-h,Bt^)dt = èf-l^'^^
fl Gos(e -h, t)dt = fl'Bt + hiAt^)dt = ^ + h,~.
Les termes en t^ doivent être rejetés tout d'abord sans examen, parce qu'ils ne seraient pas les seuls si l'on prenait des valeurs plus approchées de ^ sin 0 et <ï> cos 0 ; on rejettera pareillement les termes en t', parce qu'ils doivent être encore multipliés par le facteur &*, et qu'ils deviennent par là insensibles à côté des autres termes. Les équations (72) se réduiront donc à
0) sin (4^ + h.iO = N,'" sin y.,, w cos (^p + h^t) = — N.,'"' cos 74.
Mais d'après le choix de l'origine des longitudes, on doit avoir -^=0 pour ^=0 : la constante 74 doit donc être nulle, et on aura
A ce degré d'approximation, l'inclinaison de l'équateur sur le plan fixe
des mouvements des Satellites de Jupiter, 137
reste constante, mais il n'en est pas de même de son inclinaison sur l'orbite. Les équations {y 2)) deviennent
w' sin ;//' = — tii sin hit — A^, w' cos 1//' = w cos 64^ + Bi;
à cause de la petitesse des angles \|/ et hj:, on en tire
(76) ù>' = w + B^, xp' = -bit--L
Les formules (68) et (69) qui déterminent le plan de l'orbite du satellite m, respectivement par rapport à l'orbite de Jupiter et par rapport au plan fixe, deviennent dans la même hypothèse
(77)1 et
I sin T = SilST sin (U + y)—fx(u)hi + B')t, I cosr = 2iNcos(&^+y)— /i(w + BO,
' 2 = SiNco3(&^+7)+ (i-fx)Bt-fMU).
IL Inégalités périodiques des inclinaisons et des longitudes des nœuds. — Termes correspondants des latitudes.
54. Considérons maintenant les inégalités périodiques de l'inclinaison et de la longitude du nœud : on les obtiendra en ne prenant dans les équations (56)) (57) Gt analogues, que les termes périodiques.
Ces inégalités étant toutes du premier degré au moins par rapport aux inclinaisons, elles ne peuvent devenir sensibles que par la présence d'un faible diviseur ou du facteur J.
Relativement au premier satellite, celles qui présentent un diviseur voisin de 2n—4n\ s'obtiendront par les deux équations
^= -(o,i}[^ sin (4l'-2l-2d)-<}>' sin (4I'- 21-6-6')'],
<t>^= {o,i}[<p C03 (4l'-2l-26)-f' cos (4l'-2l-6-d')l
138 M. SouiLLART, Théoiie analytique
On peut, dans l'intégration de ces équations, avoir égard approximativement aux variations séculaires des éléments 6 et 6'^ comme on a fait précédemment pour les éléments tn-, ct' . . . , c'est à dire en posant
les quantités ^, ^' désignant les parties constantes de ^, ^, dont — |o^| et — 1 I I sont les termes les plus importants. Il vient ainsi les deux formules
u= -{o,i}r ^, — ^,cos(4Z'-2ï-2ff) f ^ ^,cos {4'-2i-e-e')\
fcd= -{o,i}r ^; ^sm(4l'-2l-2d) ?^-^ — ^sin (4l'-2l-d-d')].
^ *- ' 'l27i-4n' + 2l3 ^^ ^ 271-411' +li + li' ^^ ^J
Mais à cause de l'insuffisance de ce mode de correction, il vaudra mieux y recourir le moins possible. Ecrivons les équations à intégrer, sous la forme :
~ = — {0,1} [(0 cos 6-(t>' cos 0') sin (4I' -2l-d)-(<f> sin 0-0' sin 0') cos (4Z'-2Z— 0)],
(p— = {0,1} [(0 COS 0-f cos 0') cos (4l'-2l—e) + {(l> sin 0-f sin 0') sin (4Z'-2Z-0)],
et remplaçons dans les seconds membres les quantités ^ sin^— ^' sin 6\ (j) cos ô—cj)' cos 0' par leurs valeurs déduites des formules (69) et analogues, savoir, en omettant l'indice du signe X, ce qui n'a plus d'inconvénient,
0 sin 0-</)' sin 0' = S(N-N') sin (6« + y) + (/i-^')a,' sin \P', (p cos 0—0' cos 0' = S(N— N') cos (bt + y)-(fx-fji')u)' cos \p';
il viendra
^= {o,i}[-S(N-N')sin (4I' -2l-e-ht^y) + (fx-u')u,' sin (4l'-2l-6 + ^P')\
dt
fl>f-= {0,1} [ S(N-N') cos (4l'-2l-d-U-y)-(fi-tx'y cos (4Z'-2Ï-0 + ^')]. dt
des mouvements des Satellites de Jupiter, 13g
On en déduit, le coefficient de t dans la valeur de \|/' étant relativement néo^lio^eable,
30= {0,1} f-s — ^7-^' , cos(4;^-2Z-e-;;f-y) + -^^~^'^'^'-cos(4;^-2;-0+;i.')1,
0êtf= {0,1) ["-S ^~^', sîii(4Z^-2Z-e-^^-y)+ ^^"^P*^' sin (4Z'2Z-e + f)l.
Ces formules étant plus approchées que celles de plus haut, il semble que l'on obtiendrait encore une plus grande exactitude, si l'on achevait l'élimination de l'élément 0 dans les seconds membres, ce à quoi l'on parvient par le changement de variables J9 = ^ sin Ô, q=(f> cos 0. Mais il se présente encore ici la même circonstance qu'au n** 9, et il en résulterait au contraire une approximation moindre.
Les inégalités correspondantes de la latitude seront données par la formule
(XXXI) JX = {°,-}[^,4;^;,^,3in Ul'.,l-M-y)-lB^^,^ (4Ï'-3H*')].
Considérons, en second lieu, les inégalités qui présentent le diviseur 2oV, En opérant absolument comme dans le cas précédent, on obtient
(XXXII) 3X = [o][-S^^5^^sin (2j-l-U-y)+ ^J^. sin (2j'-Z + f )j.
Dans les éclipses du satellite m, on a J?=/±7r, 2^— /=/±27r, et par suite les inégalités (XXXII) dépendent des mêmes arguments l—ht—y^ l—b^t—y^^ . . . , /+\)/' que les termes des formules (XXIX). En particulier le dernier terme devient alors
— i^^«^'sin (Z + ^O;
2j'-fl
ainsi que l'a remarqué Bowditch, Laplace a, par mégarde, pris ce terme en signe contraire. Quant aux autres termes des formules (XXXI) et (XXXII), ils coïncident exactement avec ceux de la Mécanique Céleste.
140 M. SouiLLART, Tliéorie analytique
Considérons enfin les inégalités qui dépendent de la figure de Jupiter, la présence du facteur J au lieu d'une masse pouvant leur donner une valeur relativement sensible. En procédant encore comme plus haut, et faisant usage des formules
<p sin 0 — w sin ;^ = SN sin (5i-f-y) — (i — yu)w' sin t/-', <p COS0 + W cos 4^ ^ 2N cos (5i + 7) + (i— /i)w' cos \!/\
qui résultent des formules (69) et {72>)i on obtient
(XXXIII) aX = -(o)rS ^V-, sin (l-U-y)-\- -^^ w' sin (Z + -^')T
Ces termes dépendent encore des mêmes arguments que ceux des formules (XXIX). On ne les trouve pas dans la Mécanique Céleste : peutêtre cependant ne seront-ils pas tout à fait négligeables.
Occupons-nous maintenant du second satellite, et considérons d'abord les inégalités qui présentent un diviseur voisin de 2n—^n\ On les obtient au moyen des équations
^= - {1,0} [f sin (4l'-2l-2d')-cf,sm (4I' -2l-b' -0)], ^'^= {i,o][(p' cos(4l'-2l-2d')-<pcos(4l'-2l-d'-d)'\,
d'oii l'on tire
(XXXIV) aV= (i,o}r2 '^'7\ sin (si' -^l-'bt-r)- ^^''~^^"'\sm(sl'-2l+4.')].
Pour obtenir ensuite les termes à petit diviseur dus à l'action du troisième satellite, il suffira de prendre la formule (XXXI) et d'ajouter un accent à chaque lettre qui se rapporte à un satellite particulier : cela donne
(XXXV) cX'= î,,.)[z-,J^^^f^^.in(4r-3r-M-r)- J^f^, - Ul"-3l' + ^')}
des mouvements des Satellites de Jupiter. 141
Les deux dernières inégalités peuvent d'ailleurs être réunies en une seule, les arguments étant les mêmes, à cause de la relation
4"-2,V = zl'-2l+2w.
A cela il faut joindre les inégalités dues à l'action du Soleil et à l'aplatissement de Jupiter^ que l'on obtient en mettant dans les expressions (XXXII) et (XXXIII) les éléments du second satellite au lieu de ceux du premier.
Pour le troisième satellite, il faudra prendre d'abord l'inégalité due à l'action du second, toute pareille à (XXXIV), savoir
et ensuite celles qui proviennent de l'action du Soleil et de l'aplatissement de Jupiter.
Enfin ces dernières seront les seules qu'il y aura lieu de considérer dans la théorie du quatrième satellite.
Les perturbations qu'on vient de calculer sont celles des latitudes au dessus du plan fixe ; elles difîèrent très-peu de celles des latitudes rapportées au plan de l'orbite de Jupiter, et comme leurs valeurs sont à peine sensibles, il n'y a pas lieu à distinguer.
Quant aux inégalités périodiques des éléments w et \f/, on les déduirait de même des équations (59), si elles n'étaient pas insignifiantes.
Remarque. — Dans ce qui précède, on n'a considéré, parmi les inégalités de la latitude, que celles qui sont du premier ordre par rapport à la force perturbatrice. On peut se demander si les ordres suivants n'amèneraient pas quelques termes sensibles, comme cela s'est présenté pour le cas de la longitude. La réponse est négative, car la fonction perturbatrice ne contenant les inclinaisons qu'au second degré au moins, les inégalités périodiques du premier ordre des variables c^, ô dépendent toutes des inclinaisons, et il en est de même de leurs inégalités du second ordre.
Il n'y a pas lieu davantage à ajouter aux seconds membres des équations (60) des termes non périodiques d'ordres supérieurs : de pareils termes
1^2 M. SouiLLART, Théorie analytique
existent en grand nombre, mais il est facile de s'assurer, en considérant les plus importants, qu'ils sont tous négligeables.
