III. Equations séculaires des longitudes

55. Au moyen des formules obtenues dans ce Chapitre pour les variations séculaires des éléments ^, ô, 4^', . . . , et des formules analogues trouvées au Chapitre III pour les éléments e, rr, e ',..., on peut déterminer les équations séculaires des longitudes des satellites.

On sait que pour obtenir cette espèce d'inégalités relativement au

satellite m^ il faut prendre exclusivement dans l'expression de ^J les termes

explicitement indépendants du temps et qui sont du second degré par rapport aux excentricités et aux inclinaisons. Ces termes contenant les quantités

e2 = /i2 + P, eé cos ('C7-'=r') = hh' + kk', ,

02 = ^;2 + ^2, 00' COS (0 - 6') = pp' + qq', .....

si l'on remplace les éléments A, k, A', . . . , 79, g, p', . . . par les valeurs

h='M.sm(gt + l3) + , h' = ,

k = McoB(gt + fi) + ..,. , h' = ,

25 = N sin (6i + y) + +fxù)'sm\p', p' = ,

g = N cos (7jf + y) + . . . . — yuw' cos \//', 2' = >

et qu'on ait égard, en même temps, aux variations séculaires qui affectent l'excentricité de l'orbite de Jupiter, et l'obliquité de son écliptique, on obtiendra dans ^^ :

i" des termes proportionnels au temps ;

2" des termes périodiques dont l'argument croît proportionnellement au temps, mais avec une grande lenteur ;

3** beaucoup d'autres termes, soit constants, soit périodiques, dont il n'y a pas lieu de s'occuper.

Les termes de la première espèce donneront, par l'intégration, des inégalités du second ordre proportionnelles au carré du temps ; ceux de la seconde espèce pourront acquérir de l'importance par les faibles diviseurs qui

des mouvements des Satellites de Jupiter. 143

s'y introduiront : on les ramènerait d'ailleurs à la première espèce si on les développait suivant les puissances de t.

Quand on se borne aux termes du second degré par rapport aux excentricités et aux inclinaisons, la formule qui donne — se réduit à

^ 2 cKl . e cKi 0 du

dt na da 2na^ de 2na^ d(f) '

et on doit prendre dans la fonction perturbatrice les termes suivants

R(o,i)= J B^"[e2 + e'2-,^2^'2^2^^/ cog (0-0')] 1 B«W cos (^-^'), a 4

Nous négligerons d'écrire les termes provenant de R(o,2), et R(o,3) ; on les déduira de ceux que fournit K(o,i), en remplaçant les éléments du second satellite successivement par ceux du troisième et du quatrième.

La première partie

2 (Kl 1 de

na da dt

donnera les termes suivants

— ^ — i — le^ + e'^ — (j)^ — é'^ + 2(p<i)'cos{d—d')j-\ — *— ee' cos (-nr — w')

dt fi 4 fjL 2

-2[o][e2+(f^-0^-*H20* cos (6-6)]

+ 3(o)[e^— 0^ — w^— 2i/)w cos (i^-l- 0)] ;

la deuxième partie

e da

2rui? dt.

donnera

-;- = -l'one'* [0,1] ee' cos (■nr — ■cr');

dt 2' — ' 2

nous considérerons plus tard la troisième partie.

144 ^I- SouiLLART, TIléorie analytique

En effectuant dans ces deux expressions les substitutions indiquées plus haut et se bornant à la partie utile, on obtiendrait encore un nombre assez considérable de termes : mais il en est beaucoup que l'on peut négliger à priori. A cause de l'extrême petitesse des excentricités des satellites, on pourra faire abstraction de tout ce qui en proviendrait ; il n'en sera pas de même au sujet des inclinaisons, bien qu'elles soient aussi d'assez petites quantités, parce que leurs variations séculaires dépendent des déplacements de l'équateur et de l'orbite de Jupiter^ tandis que celles des excentricités ne dépendent pas de l'excentricité de la planète.

Nous négligerons en conséquence le deuxième groupe tout entier, et, dans le premier, les termes contenant é', é^, ee' ; mais nous conserverons le terme — 2[o](^^, pour avoir égard aux variations séculaires de l'excentricité de Jupiter.

Posons ê=ëo + ct' On trouve dans le tome II des Annales de V Observatoire (p. 6i et loi), en prenant 1850 pour origine du temps exprimé en années ,

Dans le carré ê^=êo+'2êoCt+àf, nous devrons, en vue du calcul actuel, négliger la partie constante ê^ et le terme ât^ ; nous aurons ainsi un premier terme du second ordre qui sera

(A) ^ = -4[o]<foc^.

Considérons maintenant dans le groupe (79) le terme

[(?.2 + f 2-2^f CCS (0-e')]-

La parenthèse peut s'écrire

Or on a, en vertu des formules (69) :

p-p' = S(N-N') sin {U-\-y)-\-{n-fi')io' sin ;//, 2-2' = S(N-N')cos {ht+y)-{ix—ix>)J COQ \p ,

et par suite

ip-p'y + {q-q'y = S(N'-N0-+22(N-N')(N,-N,') cos {U + y-l.i-y,) + (^-^')V2 2(p— ^')w'2(N-N') cos (^^ + 7 + 4-')-

Le premier terme de cette expression doit être négligé, parce qu'il est constant ; les trois autres pourraient être conservés, mais comme il résulte de la réduction en nombres faite par Laplace que les coefficients N, N', . . . sont assez petits pour que leurs produits soient insensibles, nous négligerons encore le second. Le troisième, quand on y remplace oi' par sa valeur o) + B^, d'après la première des formules (76), devient 2{ix—p!y(t}V>t. Nous laisserons le quatrième sans changement, et nous aurons ainsi les nouveaux termes

(B) ^ = !!^ ^^ [(^-/)2c.Bf-(^-/)a,'2(N-N') cos (?,f + y + f )]. at fx 2

Ces termes eux-mêmes, ainsi que les analogues qui résulteraient des actions du troisième et du quatrième satellite, ont été négligés par Laplace, à cause du facteur ju.— ju,' qui se trouve être très-petit.

Prenons ensuite, dans le groupe (79), la partie

2[o][^-2 + (D2-2(/)a» COS (9-e)] = 2[o'\[(p-ûpy + {q-£Y].

Les formules (69) donnent

p-^ = 'E'N sin (bf + y)+fiw' sin\P\ q— o> z= 2N cos (bt + y)—fx(o' cos \p';

on aura donc, en supprimant encore les termes constants et ceux qui contiennent les produits des nombres N, W, . . .

(p-£py+(q-^y = i^^w'^-2^uj'i.'N cos (ht+y+4,'),

et par suite les nouveaux termes du second ordre

Prenons enfin la partie

-^(o)[f + u,^ + 2<{>w cos (^ + 6)] = -3(o)[(i^-y^r+(2-5")']-

146 M. SouiLLART, Théorie analytique

On a par les formules (69), combinées avec les formules {'JZ)^ celles-ci étant écrites sous la forme

piv ^ = w' sin ;//', q'"— J = — a>' cos \|/',

les expressions

p— j)'' = SN sin (ii + y) — (i— /i)w' sin ;//', g-2''' = 2Nco8(&i-j-y) + (l— /x)(.>'cos 4/';

et par suite

d'où encore les termes

(D) ^= -6(o)[(i-^)2wB^ + (i-/.)<.»'SNcos (5i + y + f)].

Il nous reste à considérer les termes qu'amènera dans j la troisième partie

2na^ df

mais au lieu de les calculer comme les précédents, nous les obtiendrons d'une manière plus rapide en les déduisant d'une formule équivalente.

En négligeant toujours les secondes puissances des excentricités et des inclinaisons, on a

et par suite

ou bien

dt na^ (j) d(j>

2na? d^ 2 dt^

<p dDi I qdp—pdq

2na^ dtp 2 dt

Cela posé, considérons les formules (69)

p = SN sin (6^ + y) + ^^ + /i(.>' sin 4>', 2 = SN cos (6i + y) + - A»*^' cos ^\

des mouvements des Satellites de Jupiter. 147

et les suivantes, qui en résultent,

at dt dt

Observons que l'on aura, d'après le n° 53,

ûp = At, J = B/, w' Bin \p' = — (w&4+A)/', w' cos \p' = (o+Bf.

Si donc on peut négliger les produits des nombres N, N', . . . , à plus forte raison sera-t-il permis de négliger les produits des nombres

(Vf Q d^ ^9. d . ù)' BÎn xp' d . to' cos \p' ' ~' dt' dt' dt ' dt

soit entre eux, soit par les précédents. On aura d'après cela

1 qdp-pdq ^ i /2N& cos (U + y + xP')

2 dt 2^ V / ry

-i^f.'cos^'f'+.'smf ^^) 2 V dt dt J

1 nf , , , cZ . w' sin J/' , . ,, (Z . w' cos i// A ,u^( b)' cos il = w sm -à/' ).

2 \ dt dt J

Cette expression se réduira même à la première ligne : en effet

<^' C08 J/' ^ +w' sin ;//' ^ = (w + Bt)A-(ojhi + A)Bt = wA-uth^Bt, dt dt

dt dt

par conséquent la dernière ligne de cette expression se réduit à une constante, et la précédente à une constante augmentée d'un terme du second ordre.

La dernière partie de ^ donnera donc simplement

(E) ^ --^ -i/Liw'2N& cos (It + y + xP').

M. SouiLLART, Théorie analytique

Si l'on réunit maintenant tous les termes obtenus, et si l'on intègre, on aura pour V équation séculaire du premier satellite la formule