INTRODUCTION

Le travail que j'ai publié dans le tome XLV des Memoirs of thc Royal Aslronomical Society, sous ce titre : Théorie analytique des mouvements des satellites de Jupiter, présente, sous forme algébrique, les expressions des inégalités qui affectent les mouvements de ces astres : Tévaluation numérique de ces inégalités a été retardée, d'abord, par la difficulté d'obtenir des valeurs convenables des éléments, et, plus tard, par le désir d'atteindre une plus grande approximation, qui a exigé beaucoup de recherches théoriques nouvelles.

Sav. ltrang. l. XXX. — N" l i

«PBlUEItlC XATIOXALt,

Bessel a signalé dès i8/j2 rinsuffisance des données rapportées par Damoiseau dans l'Introduction de ses Tables écliptiques; il dit à ce sujet [Astrojwmische Vntersuchumjen, t. Il, Mémoire sur la masse de Jupiter, p. 20) :

« Icli fûrchte dass nian, um die Formeln fur die Bewegangen der Jupiters-Satelliten wieder theoretiscli ganz zasammenliamjend zu machen, gezwungen sein wird, die unvoUstàndlg dargestellten Resultate des Herrn Damoiseau zu verlassen, und l)is zu einer neuen Untersuchung der Elemente zurùckzugehen. »

Damoiseau n'ayant pas publié les formules théoriques des rayons vecteurs, des longitudes et des latitudes, qu'il a substituées à celles de la Mécanique céleste, Bessel essaye alors de combler cette lacune, et il reconstruit approximativement ces formules, en utilisant pour cela tous les nombres que fournit ï Introduction des Tables. Les expressions qu'il obtient ainsi sont trop peu approchées pour cpi'on en puisse déduire les valeurs des éléments elliptiques : car en plusieurs circonstances Bessel est forcé d'employer les nombies de la Mécanique céleste, faute de connaître ceux qui devraient les remplacer. C'est d'ailleurs ce que l'on constate, a posteriori, par la comparaison de ces formules avec celles de Damoiseau : car, fort heureusement, le Mémoire que Damoiseau avait rédigé pour expliquer la construction de ses Tables, et qu'il n'a pas livré à l'impression, a été légué, il y a quelques années, à la bibliothèque du Bureau des longitudes. Le Bureau a bien voulu mettre à ma disposition ce précieux manuscrit, et j'ai pu, en complétant par les données qui s'y trouvent celles que renferme l'hitroductlon , déterminer les valeurs numériques des diverses constantes que l'on a à considérer.

Gomme les Tables de Damoiseau s'accordent assez bien avec les observations, les formides théoriques sur lesquelles elles reposent permettront d'obtenir avec assez d'exactitude, pour une

époque donnée, les éléments relatifs à la forme et àJa position des orbites des satellites, ainsi que leurs longitudes moyennes. En ce qui concerne les moyennes distances, les nombres qu'il emploie laisseront probablement à désirer; tandis, en effet, que les premières déterminations de tous les autres éléments ont été corrisfées ultérieurement par la comparaison des formules primitives avec un grand nombre d'observations d'éclipsés, les moyennes distances ont conservé dans les formules finales leurs premières valeurs. On en aurait des valeurs plus exactes en prenant les élongations des satellites données par Bessel dans le Mémoire cité plus haut, bien que les expressions des coordonnées qu'il admet comme point de départ de ses calculs ne coïncident cp.i'imparfaitement avec celles de Damoiseau : on aurait sans doute plus d'exactitude encore en adoptant, au lieu des élongations de Bessel, celles cp.i'a obtenues M. le professeur Scbur dans son travail récent : Besiimmung der Masse (les Pknieten Jupiter. Mais il faut observer que ce changement de nombres , surtout si Ton adoptait ceux de M. Schur, altérerait sensiblement aussi les rapports mutuels des moyennes distances et fausserait par là les équations au moyen desquelles Damoiseau, à l'exemple deLaplace, a déterminé solidairement les masses des satellites et la constante qui dépend à la fois de l'aplatissement de Jupiter et de la durée de sa rotation, en même temps que plusieurs autres nombres. Or, s'il est possible d'obtenir pour la constante en question une valeur plus approchée en en demandant les éléments aux observations modernes, il n'en est pas de même au sujet des masses, pour lesquelles il n'existe pas de détermination postérieure à celle de Damoiseau.

En résumé, tous les nombres, relatifs aux satellites, dont nous ferons usage ici, seront ceux que Damoiseau a donnés explicitement et ceux qu'on tire de ses formules. Outre l'avantage de présenter ainsi un système d'éléments associés, dépendants les uns des

autres, ce choix aura eucore celui d'en faciliter la correction ultérieure : puisque la comparaison a été faite déjà entre les Tal)les de Damoiseau et les diverses observations, il suffira de comparer nos formules à celles de Damoiseau.

Dans la première partie de ce travail, nous avons pris poiu- règle de négliger, parmi les inégalités des longitudes, toutes celles dont le coefficient n'atteint pas 2 secondes sexagésimales; mais une plus grande approximation peut paraître désirable. Damoiseau a, en effet, tenu compte d'un certain nombre de termes beaucoup plus petits, compris dans les formules générales de Laplace et aussi dans les nôtres; seulement, pour avoir égard à ces termes, il faudra en considérer en même temps un grand nombre d'autres c[ui ont au moins la même importance. Damoiseau semble s'être proposé de conserver, dans les formules qui déterminent l'instant de là conjonction d'un satellite, tous les termes dont le coefficient est au moins égal à o% 1 ; si l'on o]3serve que les arcs décrits dans une seconde par les quatre satellites, dans leur mouvement synodicpie, sont à peu près

on voit que cela revient à considérer toutes les inégalités des longitudes dont le coefficient est au moins égal à

o",8 s'il s'agit du i*^'" satellite,

o",/i s'il s'agit du 2*= satellite,

o",2 s'il s'agit du 3° satellite,

o", 1 s'il s'agit du /^*' satellite.

Rien n'empêcherait de pousser aussi loin l'approximation pour les termes (pii ne dépendent pas des excentricités; mais ceux qui en dépendent ne peuvent s'obtenir qu'avec un degré limité d'exactitude.

En effet, pour déterminer l'ensemble de la partie elllpticpie et des inégalités séculaires des excentricités et des longitudes des périjoves, on néglige, du moins à une première approximation, les termes des équations différentielles qui sont du 3*^ degré par rapport aux excentricités et aux inclinaisons : les expressions qu'on obtient ainsi, et par suite les valeurs qu'on en déduit pour les termes des longitudes dépendants des excentricités, sont donc affectées d'une erreur relative de même ordre que le carré des inclinaisons. Or les inclinaisons des orjjites des satellites sur l'orbite de Jupiter diffèrent toujours assez peu de 3": cette erreur relative

aura donc pour limite un nombre voisin de f t^ j", ou à peu près - — . On peut se faire une idée des erreurs absolues qui en résulteront dans les longitudes des satellites, en ne considérant dans chacune d'elles que le terme de plus grand coefficient, savoir, d'après le Mémoire manuscrit de Damoiseau :

5 4", 092 sin ( 2 ï — l — TJSo ) pour le 1 " satellite , — 179 ,ô/i2 sin (2 l' —l — TSc,) pour le 2*^ satellite, 001 ,8 5 8 sin ( r — 'CSo ) pour le 3'^ satellite , 2 9 7 9 , 8 2 7 sin ( r — t^Tg ) pour le 4'" satellite .

On trouve ainsi, pour les erreurs à craindre, les nombres respectifs

Relativement aux deux premiers satellites , ces erreurs sont insignifiantes à côté de la somme de celles que l'on commettra si l'on néglige, dans leurs longitudes respectives, tous les coefficients moindres que o",8 et o",4. H en sera peut-être encore de même pour le troisième, si l'on conserve dans sa longitude tous les coefficients qui dépassent o",2; mais, poiu^ le quatrième, on peut

craindre de poursuivre une approximation illusoire en conservant tous les coefficients qui dépassent o ", i . La nouvelle règle d'approximation n'est donc guère admissible que pour les trois premiers salellites.

Cette règle devrait même être rejetée pour tous les satellites, si les longitudes n'étaient calculées qu'en vue de la question des éclipses, et cela à cause de la grande influence des latitudes sur l'instant d'une immersion et d'une émersion, et de l'mexactitude qui affecte nécessairement les latitudes calculées. En effet, les termes principaux des latitudes s'obtiennent au moyen des formules qui expriment l'ensemble de la partie ellipticpie et de la partie séculaire des inclinaisons et des longitudes des nœuds : ces formules, comme celles qui se rapportent aux excentricités et aux pérljoves, sont affectées aussi d'une erreur relative approximativement égale

à ; il en résulte, pour les latitudes, la même erreur relative, et,

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par suite, une erreur al^solue qui peut aller à 20" ou 00". Cela posé, en laissant de côté la petite erreur dont sera affectée la réduction au milieu de Véclipse, si l'on examine la formule qui exprime la demi-durée, on reconnaît aisément que l'évaluation de cette demidurée comporte, dans les circonstances moyennes, une erreur dont la limite est

selon qu'il s'agit du 1^' satellite ou de l'un des trois autres. L'heure du commencement ou de la fin d'une éclipse ne pouvant être connue qu'avec cette approximation, il suffit que l'instant de la conjonction soit calculé avec le même degré de précision, et, par suite, on pourra admettre dans les longitudes une somme d'erreurs atteignant respectivement

ces angles étant les mouvements synodiques des quatre satellites pendant ces quatre laps de temps. 11 ne serait donc pas nécessaire, pour la question des éclipses, d'évaluer les longitudes avec l'approximation indiquée plus haut.

Mais les satellites ne s'observent pas seulement dans leurs éclipses, et les erreurs des latitudes ont une bien momdre importance dans les calculs relatifs aux observations héliométriques, par exemple. Par ce motif, nous adopterons pour les trois premiers satellites le nouveau degré d'approximation; relativement au quatrième , nous nous bornerons aux termes qui atteignent i ", tout en en rapportant quelques-uns de plus petits, à titre de renseignement.

En ce qui concerne les rayons vecteurs, nous y conserverons les mêmes arguments que dans les longitudes, s'il s'agit des inégalités produites par les variations des excentricités et des longitudes des périjoves : cela revient, à peu près, à conserver les termes dont les coefficients dépassent

0,000001 s'il s'aoit du 1^'' satellite.

,00001 s'il s'aofit du 2^ ou du 3*^,

0,0001 s'il s'agit du [f.

Nous suivrons aussi la même règle pour les inégalités d'autres provenances.

Dans chaque formule, d'ailleurs, nous conserverons, avec les termes qui sont sensibles par eux-mêmes, ceux dont l'argument s'est déjà rencontré ou se rencontrera encore, pourvu toutefois que le coefficient ne soit pas au-dessous de o",oi, s'il s'agit des longitudes, ou de 0,000000 1 , s'il s'agit des rayons vecteurs, et pourvu aussi que la somme de tous les coefficients dépendants de cet argument devienne finalement sensible. Il arrivera même, dans deux circonstances différentes (p. 71 et 78), relativement à certains ar-

guments qui reparaissent une infinité de fois, que nous tiendrons compte, dans les longitudes des trois premiers satellites, des coefficients compris entre o",oi et o",ooi, après avoir constaté que leur suppression pourrait altérer de plus d'une seconde le coeflicient définitif.

Pour atteindre cette nouvelle approximation, et surtout pour obtenir les petits termes dépendants d'arguments qui se présentent un très grand nombre de fols, nous aurons à considérer, outre les inégalités signalées dans la première partie de ce travail, un très grand nombre d'autres termes, soit du premier ordre par rapport aux masses, soit du second, soit même du troisième et du quatrième. Les formules nouvelles que nous aurons à établir étant trop nombreuses pour être rapportées toutes, nous devrons souvent nous borner à des indications.

En ce qui concerne les latitudes , malgré les incertitudes que leur calcul comportera nécessairement, tant qu'on ne poussera pas plus loin l'approximation dans l'évaluation des inégalités séculaires, comme le nom])re des termes à calculer est relativement petit, nous y conserverons tous ceux dont le coefficient atteint i": nous en mentionnerons même lui certain nombre de plus petits, pour les comparer avec les termes correspondants obtenus par Damoiseau.

Nous conserverons ici toutes les notations adoptées dans la première partie , à laquelle nous renverrons fréquemment : à moins d'avis contraire, toutes les indications, soit de pages, soit de numéros d'équations ou de formules, se rapporteront à cette première partie. Quant aux formules et aux équations nouvelles que nous aurons à considérer, nous entourerons d'un crocbet [j au lieu d'une parentbèse () leurs numéros exprimés soit en chiffi^es arabes, soit en cbiffres romains.