PARTIE NON PÉRIODIQUE DES RAYONS VECTEURS

2. Evaluons, en premier lieu, les parties non périodiques des inégalités des rayons vecteurs. Celles de ces inégalités qui dépendent de la première puissance de la force perturbatrice sont exprimées, pour le premier satellite, par la formule (1) (i'"" partie, p. 2i). Elles sont indépendantes des excentricités; celles qu'on pourrait v ajouter, étant au moins du second degré par rapport à ces quantités, seraient insignifiantes.

La formule (I) peut s'écrire

Sr 1 fo) 2 [o] 1 ,„' , a'"' a 6 n c) n b i

le dernier terme étant censé être suivi de deux termes pareils dus à faction du o^ et du fi^ satellite; elle s'applique d'ailleurs aux autres satellites par des échanges d'éléments. Nous obtenons les résultats suivants :

^r=o,ooi34404, (5r' = o, 00087034, <^/'"= 0,00077878, Sr"'= 0,00 1 70241 •

Il n'v aura pas lieu de faire usage de ces nombres, car les valeurs que nous adoptons, avec Damoiseau, pour les moyennes distances, se coiuposent : 1° des moyennes distances elliptiques; 2° des parties constantes que la première puissance de la force perturbatrice ajoute aux rayons vecteurs, c'est-à-dire précisément des termes que nous venons d'évaluer. Si les valeurs numériques obtenues pour ces termes diffèrent un peu de celles qu'a trouvées

Damoiseau (voir plus haut, p. lo), cela tient aux valeurs que nous avons employées pour les moyennes distances. Mais il y a à tenir compte aussi de la partie constante qu'amène le terme -ae'

de la partie elliptique, lorsqu'on a égard aux vaiiations séculaires de l'excentricité. On verra plus loin (p. 4 i ) que les seuls termes sensibles de cette espèce sont :

Pour le S*^ satellite 0,0000 1G02,

Pour le li^ satellite 0,00071207.

Le carré de la force perturbatrice introduit aussi dans les rayons vecteurs des termes non périodiques, lesquels ont été exprimés, pour le premier satellite, par la formule (XVlll) ( 1 '^'^ partie , p. 88). Cette formule, par suite d'une omission, est inexacte dans son troisième terme , et doit être rectifiée comme il suit :

(^ = iB^ + 2^M: + lI^(iiaA'^> + 7aAl'V2aA^^MB

+ ^!!if2aAi^^ + aAl"-^)B'.

Pour le second satellite, la valeur de —r se composera d'une

première partie, due à l'action du troisième, qu'on déduit de la formule précédente en ajoutant, explicitement et implicitement, un accent à chaque élément de satellite, et d'une seconde partie, due à l'action du premier satellite, qui est

^„ ' ™ (2a'A«i + 3a'Af' + a'Af ) B

Pareillement la valeur de —r se composera, en premier lieu, des

termes

r D + — -TT, '

Sav. étrang. t. XXX. — N*" 1.

iifpniifEnie :(atio!«alc

et, en second lieu, des termes dus à raction du second satellite, dont l'expression se déduit de [U] par l'addition d'un accent à chaque élément ou coefficient.

Enfin, la valeur de -4- se réduira au terme — ^4'

Les nombres B, B', B' qui figurent dans ces formules ont, comme on le verra plus loin (tableau XI), les logarithmes suivants :

B... 3,6oio884 B'... 3,9762662 B". . . 4,7983567.

Ayant égard , en outre , à la correction - a f - j^ ( 1 ""^ partie , p. 91), on trouve ainsi les nouveaux termes

Ar =0,00006242 , Ar' = 0,00044090, Ar"= — 0,00000 1 20, Ar"'= 0,000002 2 3.

On verra plus loin (n"' 19 et 2 4) que la 3*^ et la 4° puissance de la force perturbatrice amènent aussi dans les rayons vecteurs des trois premiers satellites de nouvelles parties constantes, qui sont

8t=— 0,00000.527, 8t'= — 0,00004090, St"=— 0,00000084, ^4r=o, 00000065, ^4r'= 0,0000047 1 , «5^4/= 0,0000001 3.

Piéunissant ces divers nombres, on aura pour les parties non périodiques des rayons vecteurs les nomljres respectifs :

i^"" satellite 0,00006780,

2*^ satellite 0,00040476,

3^ satellite 0,0000 1 4 1 1 ,

4*^ satellite 0,00071 4 3o.

§ III

INÉGALITÉS PÉRIODIQUES DES LONGITUDES ET DES RAYONS VECTEURS, DU PREMIER ORDRE PAR RAPPORT AUX MASSES, ET INDEPENDANTES DES EXCENTRICITÉS.

3. Les inéoalltés de cette espèce aui sont inlrocluites dans la

pece qi

[III]'

théorie du i'^'^ satellite par Taction du second et par celle du Soleil sont exprimées par les formules (11) (i'*^ partie, p. 22). On a vu que ces formules peuvent être transformées de manière à se confondre avec celles de Laplace, lorsqu'on néglige, dans les numérateurs, la correction a; mais il est plus exact, et cela ne complique guère les calculs, de conserver les expressions telles qu'elles se présentent alors, sans y rien négliger. On a ainsi

( i r!L, «A^''+ ... ^t"? r. f«AS'-) + ^^ aA^'Ol 1

§^__rn j^Uln-n i- i^n-ny -{n- aY\ 1 n-n ^MsmUl'-U)

\ i- [n — Il f — [n — ay '

(JL n — n a'- In — n' [n — n')- — {n — a)-\ n — n'J [n - n'Y — [n — aj'd ^ ' a ft i-[n — n j^~ [Ji— aY \ 1 n — n ) ^ '

+^ ^^:^-<f) £;(^ + ,!i^)cos(r-/)

^\ji — riY — {n — afa^\ n — n) ^ '

la lettre i devant recevoir exclusivement des valeurs entières et positives. En remplaçant dans ces formules les éléments du second satellite successivement pai' ceux du 3^ et du 4% on obtiendra les termes dus à l'action de ceux-ci sur le premier.

Les mêmes formules domieront aussi, par des échanges convenables, les pertmbations du mouvement des trois autres satellites. Par exemple, les inégalités que l'action du premier satellite introduit dans la longitude et le rayon vecteur du second seront données par les deux expressions

, m n ] iln — n iHn — nY—[n—aY\ i n — n J\{ • /., .,« '

V=- ; ,{ . , . }sm{u-il]

ki[n—n']a'

I m n a'^ F n 2 (n — af / i ^ n' \ ^{n — n')a' 1 . ,, ,»

[IV] ^ + ^' -i^ZJ' -^ [irr^-^i^a-nj-in'-af \~ ^ "*" n^^J ~ {n-ny-{n' - aYJ *^" V^)'

^' == £i ^^^î'^} „^ (a'A"' + a'Af + 2 ^^ a'A^'') cos (i7 - il' ) a (X i-{n — nY — {n — a Y \ 1 7i — 7i / \ /

|M (71 — Tif — (71 — a J^ a^ \ n—nj ^ '

Nous avons obtenu ainsi les résultats inscrits dans le tableau suivant, où nous plaçons en même temps les nombres que donne Damoiseau relativement aux longitudes :

Tabieau VIII.

ARGUMENT

LONGITUDE

RAYON VECTEUR

COEFFICIENT

du sinus.

dan» Damoiseau.

du cosinus.

1" satellite. <

M'- kl

LONGITUDE

RAYON VECTEUR

COEFFICIENT

<lu sinus.

ilans Damoiseau.

Ja cosinu..

— 38i",6oi

kl -M'

2' satellite.

— o,ooo5948i

kl!'- M'

— o,oooi5653

bi"~ sr

— 1 ,5oG

— o,oooo5685

61"- fir

— o,oooo238i

o,oooo4o52

\ 21"- oj'

— 2^1 ,^Dfl

■il'- 2/"

3° satellite.

4° satellite.

il"- ài'"

bi"~ sr

0,OOOOl52 1

— 0 ooo4oo66

L'inspection de ce tableau montre qu'il y a, entre nos résultats et ceux de Damoiseau, des divergences nombreuses, très petites pour la plupart, mais assez sensibles en ce qui concerne les grandes inégalités des deux premiers satellites. Toutes ces divergences disparaîtraient, ou du moins deviendraient insignifiantes, si l'on négligeait, dans les numérateurs des formules [III] et [IV], les corrections dont il a été parlé plus haut. L'effet de ces corrections est de diminuer la valeur absolue de chaque coefficient , sauf pour le cas de «= i, où le coefficient est tantôt augmenté, tantôt diminué, parce qu'il est la différence de deux termes comparables, diminués tous les deux.

Il reste à donner les expressions des longitudes moyennes des satellites et du Soleil, lesquelles figurent dans les arguments du tableau précédent, h' Introduction des Tables ècliptujues donnant ces longitudes moyennes pour le i*^' janvier 1700, à minuit moyen, ainsi que les moyens mouvements diurnes tropiques, on obtient aisément , pour une époque quelconque , les valeurs des longitudes moyennes, rapportées à féquinoxe moyen relatif à cette époque.

Nous prendrons pour origine du temps le 1^^ janvier 1850, à midi moyen : les diverses longitudes de l'époque seront alors

s"= 37° 8'36",276, e" = i6/i°i i' 2",796, E = 3/io° i'2o", 172;

mais le dernier nomljre pomTa être remplacé avantageusement par

34o°i'io",2 6.

[Annales de l'Observatoire, t. XII, p. 5.)

En conséquence, les longitudes moyennes, observées du centre de

Jupiter et rapportées à l'éqiiinoxe terrestre variable, seront exprimées par les formules

/ =i48°/iV58",o56 + 2o3°,/i88993385f, /' = i/i°2o'54",o2 4+ ioi°,374762o63 t, l"= 37« 8'36",2 76+ 5o«,3 1 76/16432 /, r=i64*'ii' 2",796+ 2 i°,57i 109432 ^ ■.Çj=34o° i'2o",i72+ o°,o83 1 29377 ^

dans lesquelles / désigne le nombre de jours moyens écoulés depuis l'époque 1850, janvier 0,0, et où les coefficients de t sont les moyens mouvements diurnes tropiques; mais nous observerons aussi que la dernière formule pourra être, de préférence, remplacée par la suivante :

empruntée à la Théorie de Jupiter [Annales de l'Observatoire , ibid.). Suivant l'usage, on comprendra en outre dans 4^ les grandes inégalités de la longitude moyenne de Jupiter, et on verra plus loin (p. 53) qu'il est avantageux de suivre une règle analogue pour les longitudes moyennes des satellites.