IV
INÉGALITÉS DES LONGITUDES ET DES RAYONS VECTEURS DÉPENDANTES DES EXCENTRICITÉS ET DU 1 ^'' ORDRE PAR RAPPORT AUX MASSES.
4. Avant de procéder aux calculs des inégalités dépendantes des excentricités, nous avons à déterminer, pour l'époque de 1 85o, les excentricités des orbites des satellites et des longitudes des périjoves, et à évaluer ensuite les inégalités séculaires de ces éléments.
24 iM. SOUILLART. ]
a. Valeurs, en 1850, des excentricités des orbites des satellites et des longitudes 1
de leurs périjoves. ;
Pour olitenir ces valeurs, nous prendrons, dans les expressions des longitudes des satellites données par Damoiseau, les termes • qui dépendent de la longitude moyenne du satellite considéré, et nous les réunirons en un seul de la forme l
2 e sin(/ — tir). f
Les termes dont il s'agit, qui constituent la partie elliptique des longitudes, se présentent, dans leurs expressions algébriques, sous a forme suivante ( r*^ partie, p. 4o; ou Mec. ccL, 1. Vlll, n° 6) :
h =2Msin(/— ^/-jS) + 2Misin(/— ^if-|3i) + 2M2sin(/-5f2<-|S2) + 2M3sin(/-^3/ — jSs), ' 'îu'=2M'sin(/'-fy/-(3)+2M;sin(/'-^,/--|Sl) + 2M;sin(/-^2^-(32)+2M;sin(r-^3/-|33),
^i;" = 2M"sin(r-^/-|S)+ , !
Sv"'=2M"'sm{l"'-gl-^)-^ i
Dans les arguments de ces termes, les parties proportionnelles au temps ne sont pas tout à fait les mêmes que dans les longitudes moyennes des satellites; elles en difl'èrenl par les petites quantités gt, gj, g4-, g^t. Il suit de là que les excentricités seront des éléments variables avec l'époque choisie, et que les longitudes des périjoves lie s'accroîtront pas proportionnellement au temps. En présence de cette grande variabilité, Laplace [Méc. cél., 1. Vlll, n° 29) renonce 1 considérer ces éléments elliptiques; mais, pour exprimer la ;
composition et la dépendance mutuelle des divers termes des for- 1
nules précédentes, il emploie un langage conventionnel sur lequel '
1 ne faut pas se méprendre. ■
Chacune des quatre racines g , gi, g^-, g^ se rapportant plus spé- ;
•ialement à l'un des quatre satellites, désignons par g celle qui se rapporte au premier : il arrive, comme on pouvait le prévoir, que
e nombre M est alors plus grand que chacun des trois nombres
M', M", M'" relatifs à la même racine. Pareillement, si g y est celle (|ui se rapporte au second satellite, !c coelFicient M\ se trouve être plus grand que cliacun des trois coefficients Mi, Mj, M'I'; et ii en est de même pour les deux autres satellites. Pour ces motifs, Laplace appelle le nombre M l'excentricité propre du i" satellite, et l'angle gt-\-^ la longitude de son périjove propre; le terme 2M sin (/ — ^ff — jS) constitue ainsi pour ce satellite une espèce d'équation du centre, qu'il ne faut pas confondre avec la véritable, laquelle oscille autour de cette valeur movenne.
De même les nombres M\, jMÔ, M3 sont appelés les excentricités propres des trois autres satellites, et les angles correspondanis ^i/4-|Si, ^2^ + fti g^i + ^s les longitudes de leurs périjoves propres.
En adoptant cette manière de parler, on peut dire que chaque satellite possède quatre équations du centre, dont Tune se rapporte au périjove propre de ce satellite, les trois autres se rapportant chacune au périjove propre de l'un des trois autres satellites.
Laplace emprunte à Delambre les valeurs des excentricités propres ainsi que les longitudes des périjoves propres pour l'époque de 1 700, et le déplacement de l'un de ces périjoves : nous n'avons d'ailleurs aucun renseignement sur la manière dont Delambre a obtenu, par la discussion des éclipses observées, les valeurs de ces divers éléments. Les excentricités propres des deux premiers satellites ont été trouvées insensibles; d'après cela, le nombre des équations du centre se réduit à 2 pour chaque satellite, savoir celles qui se rapportent aux périjoves du troisième et du quatrième.
Damoiseau n'a fait que reproduire tous ces résultats, avec quelques changements dans les valeurs numériques des données, sans aucune indication sur la manière dont il a calculé ces valeurs nouvelles. Les diverses équations du centre, avec les coefficients qu'il leur a définitivement attribués pour la constiuction de ses Tables, ne sont rapportées explicitement ni dans l'Introduction ni dans le Mémoire manuscrit; mais on peut les déduire des formules données dans V Introduction pour déterminer, relativement à chaque satellite, l'instant de la conjonction.
Sav. étrang. t. XXX. — N° I. à
lupntucnic xatiû^jllc.
On observera que, pour les termes dont il s'agit, Damoiseau a fait porter exclusivement sur l'argument les corrections cpi'ils devaient subir dans le passage de la conjonction moyenne à la conjonction vraie : il suffira donc d'en prendre les coefficients tels qu'ils sont, et de les traduire en secondes d'arc, à raison du moyen mouvement svnodique du satellite, puis d'en changer les signes.
On trouve dans V Introduction les termes suivants :
Sv =— i*,52 7 sin(/ — tiys) — o^w^Q sin(/ — iiJg), Sv' = — 27^,229 sin(r — tUo) — 1 2',022 sin(/' — 'CJa), h" = — 2o8*,G62 sin(r — -nJa) — 65',073 sin(r — t^a), èv" == 7 9', '.\ 7 0 sin ( /'" — 73.2) — 'c)'6 3 7 % 3 9 o sin ( /'" — 'Cîf 3 ) ,
les angles trr.i, '^^ désignant ce que Damoiseau appelle les longitudes des périjoves propres du 3*^ et du [\^ satellite, comptées à partir de l'équinoxe terrestre moyen relatif à l'époque prise pour origine, et ayant, d'après les données qu'il rapporte, les valeurs suivantes au 1^' janvier 1800 :
-cTa^ 2 i6°49'o8",702, TS^^ 25i°35'4o",6o7.
Sans nous préoccuper du degré de confiance que méritent ces divers nombres, nous devons les regarder comme tout à fait exacts, notie but étant ici de retrouver les formules employées par Damoiseau; par suite, en les exprimant en secondes sexagésimales, nous calculerons chaque coefficient avec sept chiifres : il vient ainsi les expressions
h = 1 2^,94 1 O9 sin(/ — îira) H~^>"iOo8947 sin(/ — 'n3'3), ^v = 1 1 /i'.,9 1 9b sin(/' — TSçi) -\- 5o",73866 sin(/' — -cTg), V = o4-i",4o()6 sin(f — -nj-jj-h i3()",2o/ii sin(/" — ^^3), h'" = — 7 1 ",06790 sin(r — Tcra) + 2988",074 sin(r —'5^3).
Mais il faut observer que ces formules se rapportent au cas particulier des éclipses, et que, par suite, on y trouve réunis (pour
les trois derniers satellites) des termes qui, à toute autre époque, ont des arguments différents : on devia donc, pour obtenir les coefficients des formules générales, détacher de ceux qu on a obtenus plus haut les coefficients des termes qui s'étaient réduits avec le terme principal. Ceux de ces derniers termes qui ont été considérés par Damoiseau sont exclusivement ceux qui présentent l'argument de ïévection, et il leur avait trouvé les valeurs suivantes, qu'il n'a pas modifiées ensuite :
i<^'sateUite, aucun terme sensible;
2*^ satellite -o",233 sin(24;^- l'--^^) - o"'099 sîn(2=Ç- ï-'a^)\ 3^^ satellite - i",874 sin(24^- /"--cyg) - o",8o2 sin(24^-r-^3); /i*= satellite o",5/i7sin(2i^- T-'u^^) - 2 2",2 i /isin(24^- /'"--cJa).
Les équations du centre que Damoiseau a adoptées définitivement sont donc les suivantes :
, ^v = i2",94i(39sin(/-tïïo) + (3",oo89/i7sin(/-'CÎ3), Uy' = 1 1 o", 1 52G sin(/' - 'ui^) + 5o",83766 sin(/' - -m^] , ^^1 i ^/ = 5/i3",28o6sin(/"-'n52)+i37",oo6isin(r-t:Î3), f ^/' = 7i",6i490sin(r-t:y2) + 3oio",288sin(r-'cy3).
On en tire, fowr les excentricités et les longitudes des périjoves au I"" janvier 1850, à midi moyen, les longitudes des périjoves étant comptées à partir de ïéquinoxe terrestre moyen de 1850, les valeurs suivantes :
e ==o,oooo/i/i 12661, rs = 2 27°4o'5/i",2 1,
c' =o,ooo3868i2i, -nï' = 227^1 7'56",75,
e" = 0,00 160 102 3, 'ct" = 22 3°37'32",47,
e'" = 0,007 1002 10, 'cï"'=2 02«2 3'i9",o4.
Les excentricités obtenues pour le 3*^ et le 4*= satellite se rapprochent un peu des excentricités propres que leur attribue Da-
moiseau, savoir : 0,001016949 et 0,007297 1 i49; il en est de même en ce qui concerne les longitudes des périjoves. L'excentricité trouvée pour l'orbite du i*^"" satellite peut être regardée comme insensilile, mais il n'en est pas tout à fait de même pour le second, et cela s'accorde avec la note suivante, mise par Damoiseau au bas d'une page de son Mémoire manuscrit :
« Nous avons des motifs de soupçonner dans l'orbite du second satellite une équation du centre propre de 02^ en temps synodique (ce qui correspondrait à une excentricité propre de 0,00032738), mais notre incertitude sur la position du périjove, dont le mouvement est encore à calculer par la tbéorie, nous a fait remettre cette recliercbe à un autre temps. »
Les mêmes éléments relativement au Soleil sont, d'après l'Introduction,
mais on prendra de préférence les valeurs
[Annales de l'Observatoire, t. Xll, p- 8.)
h. Iiiégalilés séculaires des excentricités et des longitudes des périjoves.
5. Les inégalités séculaires qui affectent les excentricités des orbites des satellites et les longitudes de leurs périjoves se déterminent au moyen des équations (35) (1'*^ partie, p. 80).
Pour former ces équations, il faut, outre les coefficients donnés plus liaut par le tableau Vil (p. 1 5), en calculer un certain nombre d'antres, que nous allons considérer successivement.
On a posé ( 1 "^ partie, p. 33 et suiv.)
[0, 1 1 = y - na B'-'), [ 1 ,ol = 7 -! n'a' ^^'\ etc.
Nous obtenons pour ces coefficients, qui sont aussi exprimés en degrés et rapportés au jour moyen, les logaritbmes suivants:
Tableau IX.
COEFFI- CIENTS.
LOCAniTHMES.
COEFFI- CIENTS.
LOC.tniTDMES.
COEFFI- CIENTS.
LOCtniTHMES.
COEFFI- CIENTS.
LOGAKITBMES.
5,8i6.io2o
Nous avons vérifié ces nombres au moyen des relations de la forme
!ïï5[o,,] = !!^'[,,o].
En les comparant avec ceux que donne Damoiseau, nous avons trouvé, relativement à quelques-uns, une discordance qui ne disparaît pas par le rétablissement des diviseurs fx, fx, fx", fx'". Tout d'abord, le nombre 0,0000086925^6, donné par Damoiseau pour
valeur de i2iil, nous paraît fautif : il devrait être remplacé par
o,ooooo83o 1 3 1 5, quand on néglige comme lui le diviseur f/.; on peut supposer qu'il y a eu méprise, car les logarithmes de ces deux nomlires sont respectivement 6.9391469 et 6.9191/169. Ensuite, au lien du nombre 0,00000 1 3oo6/i3 donné pour
valeur de ^^^, nous obtenons 0,000001 3o2 32 8. Il existe, en
outre, relativement à plusieurs autres coefficients, des divergences atteignant au plus le 5- chiff"re significatif à partir de la gauche. On a posé encore [ibid.)
(o^ = ^ ^ 7ï (2 I aA'^^ + 7aAf > + ak^') , = i^/i'(i9a'A'^> + 7a'A;^^ + a'Af),
(1^='--, n (2 1 a'h^'^ + ya'Af ^ + a'Af ) , etc.
On en conclut les valeurs suivantes :
Tableau X.
COEFFICIENTS
LOGAHITHMES.
COEFFICIENTS
locahithmes.
jo.ii i,o|
On a posé aussi ( i"^^ partie, p. 1 8 et 66)
A:=. i "4 n' UcŒ''^ + a'Mf) , A" = ^ ^' n" f 3a"A'<''+a"A;' - -H ^ 2 2 /^ \ 1 y 2 /M \ 1 a V
Nous aurons aussi à considérer les coefficients A^ + SA[ , A " + ^A", en posant
° 2 fx \a^ a)^ 2 (JL \a- a)
De même que ceux qui précèdent, ces divers coefficients sont exprimés en degrés, excepté les coefficients B, B', B", lesquels ne dépendent pas des unités adoptées et représentent simplement des rapports.
Nous avons obtenu les valeurs suivantes :
Tableau XI.
COEFFICIENTS
LOGAniTBMES.
COEFFICIENTS
LOGAniTHMES.
3,5'i58io3
A" -f Sh"
Les coefEcients qu'il nous reste à déterminer sont, comme les trois derniers, indépendants des unités adoptées. Considérant, en premier lieu, ceux qui ont été définis aux pages 09, Go, 6/4. de la première partie, on a :
Tableau XIL
COEFFICIENTS
LOGAniTHMES.
COEFFICIENTS
tOGARITHMES.
o,774ooo5
On a enfin, pour ceux qui ont été déiinis aux pages 61, 70 et 74 :
Tableau XIII.
COEFFICIEBTS.
LOGARITHMES
COEFPICIEMS.
lO'^AElTHMES.
Nous avons maintenant à former les expressions X, X', Y', Y" définies à la page 77. Dans les deux premières de ces expressions, nous avons , pour plus de simplicité , négligé la petite différence
des quantités^ et -? pour la première, ^ et 4 — pour la seconde,
en prenant simplement A^ au lieu de A^ + ^A[, et A" au Heu de A"-\-§A.". Cette simplification n'a aucun inconvénient ici, où 11 s'agit de calculer des termes de correction; mais il n'en serait pas de même, plus tard, pour le calcul des inégalités sensibles que les formules (XVI) introduisent dans les longitudes. Pour ce motif, nous prendrons de préférence, même ici, les expressions exactes, qui sont les suivantes :
\n — in-\-cfj \n {xma n /'
X'=— 3 ( " V M', y fx"m"a A"+j'A" vA
\n — 2n-^g) \n' fx' ni a" n" /'
Y'=.6(' ^Vffi^^-^°X'V
\n~in-\-gJ \(x m a n n /' \H — ':in"-\-gJ \(ji."m"a'n n" )'
Remplaçant n ~ 2n par n—2n\ et effectuant les calculs, on peut les mettre sous la forme
\ n — 2/1 / (o,5648iG3)X'+ (0,1181 3 i5)X'
\ ti — 2nj
les noml^res placés entre parenthèses étant les logarithmes des coefficients dont ils tiennent la place.
Au moyen de ces expressions et des nombres fournis par les tal)leaux précédents, on peut évaluer les termes non périodiques dépendants du carré et du cube de la force perturbatrice, qui interviennent dans les équations (35). Ces termes complémentaires, pris sous la forme qu'on leur a donnée aux pages 78 et 79. deviennent alors, en faisant abstraction du facteur M cos (f//-t-|3) ,
/ A /\ (2, 170338 0 + (5,88309 4">1X'— 3,fi(i3()4i8;X''
fB'l
n — 2 II (3,64683.01) + (2,1 i2 669o:iX'- (5,7o836n8iX"
-(,^,7227506)- i:3,oi34i53:X'+(4",6329888)X"
Sav. étuanc. l. X.\X. — N" L
(5. Introduisant dans les équations (35) (p. 80) ces divers termes changés de signe, savoir :
(A), (b^), (F) dans la première, (13'), (C), (G'), (H') dans la seconde, (D ) dans la troisième.
il vient pour déterminer les quatre valeurs du nombre g, et les valeurs correspondantes des rapports des coefficients M, M', M", M", le système d'équations
M + (3,2276815) (3, 8835940) JL
n — in
/i,8oi 2363)
JL
(3,oi34i53)
JL
On voit que les coefficients primitifs, ou du premier ordre pjir rapport aux masses, savoir les premiers termes de chaque coetïicient, sont pour la plupart à peine aussi considérables que les termes suivants, lesquels proviennent des parties complémentaires. Ces derniers ne peuvent donc pas être regardés comme de petites variations des premiers; il faut, par suite, renoncer au mode de calcul indiqué (p. 81) pour la résolution de ce système d'é([uations, et recourir à des approximations successives, en les dirigeant comme il est expliqué dans la Mécanù/iœ céleste (1. VIII, n" 29).
Dans la première et la seconde de ces équations, les termes de la troisième ligne sont ceux qui proviennent des termes complémentaires du troisième ordre par rappoit aux masses. Sans leur présence, nos équations différeraient peu de celles qu'a considérées Damoiseau et devraient donner à peu près les mêmes résultats; leur importance relative fait comprendre pourquoi, au contraire, les nombres que nous allons rapporter diffèrent plus de ceux de Damoiseau que ceux-ci ne diffèrent des nombres trouvés par Laplace.
Nous avons obtenu les résultats suivants, à côté desquels nous inscrivons ceux de Laplace et ceux de Damoiseau, les racines étant exprimées au moyen des mêmes unités (Damoiseau n'a pas calculé les deux premières racines) :
Tableau XIV.
Première racine.
Laplace.
jnr == — o,oo32G5 1 72 , — o,oo3/|337,
Seconde racine.
Laplace.
5fj=o'',o/i3563i3, . o^o/^38953o,
yjT= — 0,0497.5674, — o,o43668(),
Troisième racine.
Damoiseau. Laplace.
'yr,= 0,01757605, o,o23365i, o,o238iii,
"rp = 0,1721409, 0,2079573, 0,2152920,
TT;r= — 0,1 2761 4o. —0,1293321. — o,i29i564-
Quatrième racine.
Damoiseau. Laplace.
</3=o°,ooi 96 1 759, 0*^,00 196 1 1 53, 0*^,00 1961 I 75,
D'après cela, les nombres
vT' ^TW ^-û' ^'-'W/
auront pour logarithmes les nombres suivants :
Tableau XV.
7. Il reste à déterminer les valeurs des huit constantes arbitraires
M,Mi,M2,M3,i3,|3„ft,i33.
A cet effet, posons, pour un moment,
Msin|3 = a;, Mi sin |3j = j;i , M2 sin jSg^ 0^.2 , M3sin|S3=j:'3, Mcos|3=j, MiCosj3i=ji, ,
et désignons par ho, ko-, K, • • • les valeurs des éléments h, k, h\ . . . , en i85o. On aura, d'après les résidtats du numéro 4 plus haut (p. 27), en exprimant les excentricités en secondes sexagésimales, et remplaçant les nombres par leurs logarithmes (placés dans une parenthèse),
llo=— (0,8280187),
Les huit inconnues x, y, Xi, des deux systèmes d'équations
TAl ] — AX-{~AiXi-^A2X2-hA3X3,
j //„ = A j; + ÀiXi-^ A^x^-h À3X3 ,
h"^= X"X + y'IXy + ^2X2 + A3 J^3 ,
ko=— (0,7878000), ko= — (1,7882646),
se détermineront au moyen
^1= A j+ a;ji+ A2j2+A;'j3,
k~À y+ Aij, + A2r2+ A3 Ta.
38 M. SOUILLARÏ.
11 faut observer qu'il n existe plus ici, entre les coefficients A , X", les relations de la forme
ni
72 a- -\- m n a-A A^-i-m n a - A A, + m n a - A Ai = o,
lesquelles auraient beaucoup facilité la résolution des équations précédentes; cela tient à l'introduction, dans les équations différentielles, de termes complémentaires d'ordres supérieurs par lapport aux: masses.
En traitant successivement ces deux groupes d'équations, on o])tient les valeurs suivantes :
Tj= (0,0084435), ri= (1,8379298),
.^2=— (o,3oi 3343), J2=~- (0'^^t90949),
d'où l'on conclut :
Tableau XM.
Mj=— (0,09002.54), |Sj= 23ô"58'io", 1 3,
On observera que les angles ^2 ^t jSg se rapprochent des angles -cTo et '©3 de Damoiseau (voir plus haut, p. 26). D'ailleurs, d'après la manière dont ils ont été obtenus, les angles jS , jS^ , jSs , (S3 sont comptés comme 'Cf, "Cî , tir", ts'" eux-mêmes, à partir de féquinoxe terrestre moven de 1 85o.
Par la combinaison des tableaux XV et XVI, on obtient pour tous les coefficients M les loijarithmes suivants :
Tableau \V1L
Ml..
