RAYON VECTEUR. — COEFFICIENT DU COSINUS
11 y a encore, dans les inégalités des longitudes de l'époque, d'autres termes qui sont aussi du second ordre et du premier degré avec deux petits diviseurs. On les obtient en considérant
dans les expressions de -r- , -j— , . . . les termes non périodiques qui
sont du second degré par rapport aux excentricités, et en y faisant varier les éléments c, 'cs, c, ... à raison de leurs inégalités d'argument 2/'— / ou 2/'— r, par exemple en y prenant, au lieu de e\ l'expression
2e^e=2Becos(2/'— / — Tff) = 2 BM cos [2l'-l — gt-^).
11 vient ainsi, pour le premier satellite, la formule
iM. SOUILLART.
Ae
= 7-— sln [il'— l — qt ~ 8)
1 m an p(i) i m anj^{i] i m"ang(i)\ g».
r T i m un r>ll) i '" i"i T~>
2 !!L^*g(''R'jvf iîîL^B'^^B"
On en peut déduire, par des permutations convenables, les formules relatives à chacun des trois autres satellites. Par exemple, pour obtenir dans As' les termes dus à l'action du premier satellite , il faut, dans les termes de As qui proviennent de l'action du second, permuter les éléments de m et m\ ce qui ne change pas les quantités B''', mais change Bf^ en — (B^'^ H-Bf^) ; il faut de plus permuter B et — B', et conserver l'argument 2/'— l — gt — ^.
Les termes qu'on obtient ainsi sont tous négligealjles en ce qui concerne le quatrième satellite; pour les trois j)i'cmiers satellites, on obtient les valeurs suivantes, encore moins sensibles que celles du tableau XXXVIII :
Tableau XL.
ARGUMENT
LONGITUDE MOYEiNNE. — COEFFICIENT DU SINUS.
a' SATELLITE.
2i—l — gt — /3
o",oo3
rUEOaiE DES SATELLITES DE JUPITER. 71
Puisque la présence de deux petits diviseurs peut sutïire à rendre un peu sensibles certaines inégalités du second ordre par rapport aux niasses et du premier degré par rapport aux excentricités, il y a lieu d'examiner les inégalités de cette espèce qui alTectent le moven mouvement de chacun des trois premiers satellites, d'autant plus quelles sont en nombre illimllé et dépendent toutes du même angle 2 /'— /— ^/ — 13. La plupart des termes, soit du degré zéro, soit du premier, soit du second degré, que
contiennent les expressions de ^, ~, ^^-f-, peuvent en effet, par
l'emploi d'inégalités choisies des éléments a, (>, ts', rt', . . . , être amenés à présenter l'un des deux arguments 2/ — /, 2/'—/, et l'intégration y introduira alors le carré d'un petit diviseur. Parmi les inégalités ainsi obtenues, on retrouvera, comme cas particulier, et on aura soin d'exclure les inégalités à trois petits diviseurs considérées plus haut sous les numéros [XVIÏ], [XVlll], [XIX] et [XX].
Le calcul dont il s'agit est fort complexe : il exige, pour chacun des trois satellites, la considération de plus de soixante formules nouvelles, dont chacune fournit un nombre plus ou moins grand de coefficients à conserver. 11 ne suffnait pas ici de se borner aux coefficients qui dépassent o ",o 1 ; ceux qui sont compris entre o",o 1 et o",ooi se comptant par centaines, leur suppression complète altérerait sensiblement, comme je l'ai constaté, plusieurs des coefficients définitifs (relativement au second satellite, deux coellicients seraient diminués de plus de 1"). Aussi, pour les coefficients provenant d'une même formule générale, j'ai eu égard à tous ceux qui dépassaient o",oo), quand ces termes avaient tous le même signe.
Ces diverses inégalités s'entre-détruisent, d'ailleurs, en grande partie, comme le montre le tableau suivant, qui les résume :
M. SOLILLART.
Tableau XLI.
ARGUMENT
LONGITUDE MOYENNE. — COEFFICIENT DU SINUS
i" SATELLITE.
a' SATELLITE.
al-l-gt-^
— o",oo'i
o ,oGi
2^-'-^,«-ft
Relativement au quatrième satellite, il existe aussi, mais en nombre très limité, dans les inégalités de son moyen mouvement, des termes tout pareds aux précédents, qu'on obtiendra de la même manière, et qui dépendent aussi de l'angle 2I' — l — gt— ^; mais pour qu'il y eût lieu de les considérer, il faudrait qu'ils eussent par eux-mêmes des valeurs sensibles, la longitude de ce satellite ne contenant pas d'autres termes de même argument : or la somme algébrique de leurs coefficients ne dépasse pas les centièmes de seconde.
A cause de la petitesse des résultats qui précèdent, on peut être assuré qu'il ne se trouvera rien de sensible, pour aucun des satellites, parmi les inégalités analogues du grand axe et de la longitude de l'époque, puisqu'elles ne contiendraient qu'un seul petit diviseur.
On peut obtenir d'une autre manière, soit pour le grand axe, soit pour les deux parties de la longitude moyenne, des inégalités du second ordre et du premier degré présentant aussi un seul petit diviseur; ce diviseur peut , en effet, être introduit par l'inégalité employée. Par exemple, si l'on prend pour ternies de départ ceux qui sont du second degré en e, <?', c", e\ on y fera varier les éléments c, 'US, c\ . . . , à raison de leurs inégalités d'argument 'il — t ou 2/"— /'. Les arguments varient alors d'un terme à l'autre, mais
les coefficients sont tous négligeables, même ceux qui présentent comme factems la masse du troisième satellite et l'excentricité du quatrième,
d. Inégalités des longitudes moyennes et des grands axes, indépendantes des excentricités.
16. Considérons maintenant, (/rtA?5 le grand axe et la longitude moyenne de chaque satellite, celles des inégaJilés du second ordre qui sont indépendantes des excentricités.
Les plus miportantes de ce groupe, relativement au premier satellite, ont été exprimées (i*^*^ partie, p. 86) par les formules (Sg), auxquelles nous devons avoir égard ici. Pour en obtenir d'autres contenant aussi un petit diviseur, on prendra les termes du
premier degré qui entrent dans les expressions de -^, ^, -r, et
on y fera varier les excentricités et les longitudes des périjoves à raison de leurs inégalités (24) (voir plus haut, page 66). L'action de m' sm' m conduit aux formules générales suivantes :
- 1 "i (d^)^ [7^77= [(-• + ■ )«A"-'+ «An B' sin (,-)(/'"') ^ [XXII]
lit, IL 1
{2 !aA"'+ aA';') B cos (1 - 2) (/'- /)
'^^ = -ï?,T^r:^[- = '"A"''+(**' + 3)«Al"+8«Af]Bsin(,-2)(r-/;
Aa m' n i— 1
\ - 7^' ^ r^ [(^ • + ■ ) «A"V «A';'] B' cos (. - > ) (/-;).
(Nous négligeons d'écrire les termes complémentaires que la seconde partie de la fonction perturbatrice ajoute aux précédents pour î = =fc I : on connaît la manière de les formei.)
Les actions des satellites m" et m" sur m donnent des formules
Sav. étrang. t. XXX. — N" 1. 10
M. SOUILLAUT.
analogues aux précédentes; mais, pour les déduire de celles-ci, il ne suffit pas dV remplacer les éléments de m par ceux de m et de m" : il y a aussi à modiller les arguments et par suite les dénominateurs.
Je ne rapporterai pas ces nouvelles formules, non plus que celles qui proviennent de l'action du Soleil : les termes qu'elles donnent seraient tous négligeables s'ils dépendaient d'arguments nouveaux. Quant à la partie de la fonction perturbatiice qui est due à l'aplatissement de Jupiter, il n'en résulte pas d'autres termes que ceux des formules (3 9).
Relativement au second satellite, les inégalités dues à l'action du troisième peuvent se déduire des formules [XXII] par la simple addition d'un accent à tous les éléments de satellites, ainsi qu'aux coefficients A''\ Af\ AJ^ B et B' qui en dépendent; mais celles qui proviennent de l'action du premier ne peuvent pas complètement se déduire des mêmes, par une simple permutation d'éléments, attendu que les formules (2/1) ne sont pas symétriques en / et /'. 11 vient, pour faction de m sur m , les expressions
^' -yV^T^. [^'^^ A"-^ + ( . + 1 ) a'Ai'V a'A^ B sin [1-1) [l- 1) [^^"*]i ■ +^^;^^[(io^+5)a'A^' + (8.+ i3)a'Af'+8«'Af)]
X B' sin (i-i )(/'-/);
(JL n
(2m'A'' + a'A;'>) B cos {1-2) (/'- /)
\ +^^^^[(2.+ i)a'A"-^ + a'AnB'cos(.-i) (/'-/).
L'action du quatrième satellite et celle du Soleil ne fournissent que des termes insignifiants, dont quelques-uns à peine sont à considérer, parce qu'ils modifient légèrement des termes d'autre pro-
venarice; mais la correction d'aplatissement introduit des inégalités sensii)les. Ces dernières ne sont pourtant pas ici les plus considérables de toutes, l'importance lelative du facteur J étant un peu diminuée par celle du diviseur a'-; elles peuvent s'écrire
/ Ao'= 3-^^. B'sin (/-/'),
l ' (n — Il - ^ '
[XXIVl /A£' = ---^B'sin (/-/'),
^' = - 2 -ii^B'cos (/-/').
Observons que ces formules peuvent se déduire des formules (39) par l'addition d'un accent à chaque élément de satellite , ainsi qu'au coefficient B, et l'emploi des relations
En ce qui concerne le troisième satellite, les formules relatives à l'action du second et à l'influence de l'aplatissement s'obtiendront de même au moyen des formules [XXIII] et [XXIV], par l'addition d'un accent à chaqne élément de satellite , ainsi qu'aux coefficients A''\ Af\ Ai'\ B et B'. L'action du premier satellite ne donne aucun terme à conserver, et celle du quatrièiue donne les formules suivantes :
I " 2 fx [n —[i-\- i]n -\-in ]^^ ' ^ ^ '
xB"sin [//"'-( «•+!)/"-[-/']:
A£"=. 1 ^' , ,. "'' „, ■„, f- 2 m"A'"'' + (8^- 4- 3) a"A';W-|- 8a"A:^')] ^ ^ '■ xB"sinP"'-(i-+i )/"+/];
Aa"
fx n — (j+ i}n -{-m ^ ' ^ '
xB"cos[r~(/+i)r-f/'].
Les inégalités de l'espèce en question sont l)eaucoup moins nombreuses dans la théorie du quatrième satellite que dans celle des autres, parce que les éléments c'\ 'zs'" ne présentent pas de grandes inégalités. Par ce même motif, la correction d'aplatissement et l'action du Soleil n'y donnent aucun terme. D'ailleurs, ce qui provient des actions du premier et du second satellite est presque entièrement négligeable; celle du troisième conduit au\ formules suivantes :
/ Ap"'= - ^ ^ , , r/\^M i{^ia"'A"^^^+ a'" A?)
' 2 fx [n — [i-]- i]n -{- m Y ^ '■ '
l xB"siniïr-(i + i)r+r];
xB"sm[il"-{i+i)r -{-(']; ^-'^ , ,./" „^.. «•(2m"'A"^') + a'"A';''')B"cos [.7'"- [i^ i ) /"+ /'].
L'ensemble de toutes les inégalités précédentes est résumé dans le tableau suivant :
Tableau XLII.
LONGITUDE
li.WON VECTEUR.
ARGUMENT
COEFFICIENT DO SINUS
COEFFICIENT DD C0S1XU9.
1 " satellite
LONGITUDE
R.\YON VECTEUR
COKKFICIENT DU SIXLS.
COEFFICIENT DU COSIMS.
— o,oooo383i
Zl - 3/'
2° satellite
lt'- il
— o,ooooi44o
kl"-lxl'
— o,ooooo46o
i"' lit 21 — 21
— o,ooooo3i 2
3° satellite \
îf- 3/"+ /'
— o,ooooo33i
k' satellite
— o,ooooo353
e. Inégalités des longitudes et des rayons vecteurs, produites par les perturbations des excentricités et des longitudes des périjoves , et indépendantes des excentricités.
17. Les termes de AA, A/r, A/«', A//, Ah", AA" qui sont de degré zéro et présentent deux petits diviseurs fournissent, pour les trois premiers satellites, des inégalités considérables, exprimées par les formules (XX), (XXI), (XXII) (i*"*" partie, p. (j4 el 97), et dont l'argimient est celui des grandes inégalités.
Il existe aussi pour le quatrième satellite des termes analogues, d'où résultent les mégalités
.IMlzJ34i+JMi;'sin(;'-2/' + /),
cos(r-2/'+/);
mais celles-ci sont négligeables, même quand on les joint k plusieurs autres, de provenances différentes, qui présentent le même allument.
La réduction en nombres donne les résultats suivants :
Tableau XLIII.
LONGITUDE
lUYON VECTEUR.
ARGUMENT
COEPFlCIEÎiT DU SlN'l'S.
COEFFICIENT DU COSIM'S.
i " satellite
o,ooi332oo
2" satellite
Ceux des termes de A/«, A//, AA', A/.', A//', A/." qui sont de degré zéro et ne présentent qu'un seul petit diviseur sont en nombre illimité, comme on l'a indiqué au numéro 38 (1'"^ partie, p. 96); par ce motif, joint à cette circonstance que cbacun d'eux amène de nouveau dans la longitude et le rayon vecteur l'argument de la grande inégalité correspondante, il est maintenant nécessaire d'y avoir égard, malgré leur petitesse : le nombre des termes dont le coefficient dépasse o",ooi étant de plusieurs centaines pour chaque argument, nous en tiendrons compte ici comme au numéro 1 5 .
En considérant d'abord ceux de ces termes (première classe) où le petit diviseur provient de l'intégration finale, on reconnaît qu'on ne peut pas se borner à ceux dans lesquels l'une des masses est remplacée parle facteur J, malgré fimporlance relative de ces derniers, principalement en ce qui concerne le premier satellite. Les coefficients qui seraient introduits dans les trois longitudes par ce premier groupe de termes, considéré seul, sont les nombres respectifs
— i",/ii6, o",/496, o",539.
Quant aux termes qui contiennent effectivement deux, masses, le calcul en est très long; il exige pour chaque satellite la considération d'un grand nombre de formules nouvelles, donnant chacune des termes plus ou moins nombreux à conserver. Ces formules s'obtiennent en introduisant :
i'' dans les termes généraux de degré zéro que contiennent les
1 dh dk dfi 1 • ' i-i' ' ' I 11 '
expressions de y, -j, -j-, ..., les inégalités générales de degré
zéro des éléments a, /?, a\ ... ;
2*^ dans les termes du premier degré, les inégalités de degré zéro des éléments //, />, //, ... ;
sous la condition que la combinaison des deux arguments donne l'un des angles 2/'—/, al"—!', eu égard, cjuand il y a lieu, à la relation /— 3/'+ 2/"= 1 80".
Le premier de ces deux moyens donne dans les trois longitudes les coetllcients respectifs
If ry ff f n "
— 0 ,.5io, —0 ,490, o ,097, et le second
Les termes (seconde classe) où le petit divisenr provient de rinégalité du premier ordre employée sont aussi en nombre illimité, mais il se trouve que ceux-là seuls sont sensibles qui présentent les arguments des grandes inégalités.
Quand il s'agit du premier satellite, on obtient au moyen des formules (/iG) (i'"'' partie, p. 96) les termes suivants :
[Ay = ^-^^^,Bsin.(2/'-2/),
