L -1 271 — 4'î+a + Sf ^ J ri

Quant aux termes du second degré en àl"—l, pour en former l'expression, posons

î!L^R^^^^^^ = Ie3cos(/ir-/-3T;y)+Je-/cos(4r-/--'CT''-2tïy) — Kee"'^cos (4/"— l— 2'cj"— 'ny)4-Lc'"^cos(4r— /— 3^?"),

les coefTiclents I, J, K, L avant les valeurs respectives

j =1 !!^ (ii 7 À^^) + i^ Àf ^+ 1 9À^^)+ 3Af ) ,

K = i:^(76A(^'+54AiV2oAf'-h3Af^),

Il vient alors

( IJJ = - [3i(/,2 /,-2) 2 J (/-^." /jj") ^ K (A"^- A"-^)] cos (/if- /) [1 31 ' "^

- [61AA - 2 J(A7i"+ M") + 2K//A"] sin {M"- l).

Ces termes du second degré, traités comme les précédents, donnent, eu égard à la relation /— 3/'+ 2/"= 1 80°, la nouvelle

inégalité

Dans la théorie du second satellite, les termes de -y- (jii'il faudi^a considérer sont, de même, ceux dont les arguments sont

Les termes du premier degré non périodiques, traités comme ceux de -7-, donnent de même l'inégalité

[151 M'=l^^^^±^4^usmar~2i-cjt-^),

L J an— An + a + o ^ j \ /

et ceux du premier degré qui dépendent de àl' — 2/ ou de l^l"— 'il ne donnent encore que des termes non périodiques.

Pour former les termes du second degré en 2/'—/, observons que les termes du troisième degré dépendants de cet angle sont

les mêmes pour les deux fonctions R^j q^ et R(o,i), sauf dans les coefficients de cos (2/'-— I — ts')^ où les nombres 8— et 12—3 que contient Rj^^^ doivent être remplacés respectivement par les nombres peu différents 2 — et 3 —^. Si l'on pose

T> T) , 1 rn'an fa 4«\ jT TT i 3 rn'an fa li(i\

on aura

f^-iA:(r+r)cos(2r-/)

-A:/i[-i'siD(2/'-/) + A'cos(2r-/)] -^ '"^'!; AA' [- A sin (2/'- /) -h /î cos (sf- /)]

ni \Ja

[Ri(A2+A-2) + Ui(//^+r2)]cos(2/'-/) + 2 QA' [A- cos (2 /'- /) + h sin (2 /'-/)] ^ J +2UiA'[A'cos(2/-/) + /i'sin(2/'-/)] m'v^ 1 + S [(A;2- A-^) cos (2/- /) + 2AAsin (2/' ~ /)] + 2T// [Acos (2/'- /) - h sin (2/- /)] + 2T/t' [A sin (2/'— /) -|-/tcos(2r— /)].

Il en résulte les inégalités

sja

[17] AA'= 2 2n-4n'+a'+.9 } Msin(4/'- 2/-,7f-|3).

( my^ R,B-QB'+2(TB-U,B')>/

Quant aux termes du second degré dépendants de l'angle 2 /"— /', la formule à laquelle ils conduiront s'obtiendra au moyen de la formule [11], en y mettant les éléments du second et du troisième satellite au lieu de ceux du premier et du second (en particulier,

les termes AM et 2(PB — SB')M sont remplacés par M^XU et 2 (P'B' — S'B")X'M). On am-a ainsi, en observant cpie Tangle l[ l" — il' peut être remplacé par [\ ï— 2 /, et pareillement 2 n— [\n par 271 — Ixn ,

i g/ m'\Ja 2 ( P' B' - S' B") A' + (R' R' - Q' B ") >/'

4 in — kn -{■ CL -{■ g in ~ liU -\- a.' -\- q

xUsm{kl' - il - gt - ^).

Relativement aux termes d'argument 6/'— 3/, comme ils sont les mêmes dans les deux fonctions R(o,i) et R(i,o)i on aura l'expression

^ 1 dX rn^\ [F(A-^-A^)-2G(M'-M') + 3H(P-P)]cos{6/'-3/) '■'^' ^^ mV^j +[2¥kh- 2G(^/i'+M') + 6H/t7/]sin(6r-3/)

et il en résultera l'inégalité

r. 1 \/.' mv/â FB +GB'-{GB + 3HB')À',. • , , j, , ^ c>\

20 A/«=— 2 — V^ rV^ — —, ^ Msm 4' — 2/ — g/ — p .

"- ^ m'^a' in-kn-^a+g ^^ ^ ^1

Enfin, l'inégalité provenant de l'argument 6/" — 3/' se déduira de la formule [12] en y faisant les mêmes changements que ceux qu'on a indiqués plus haut pour la formule [11]; ce qui donne

r n .j, (3E'B'+F'B")A'-(F'B'+G'B")A"iv/r • ///' / / /C\ '

21 ^li = 2' ■ , , , , , '— msmilxl - 21 — qt — p).

LJ in — kn -\- ot. -{- g ^ a ri

En ce qui concerne le troisième satellite, il faudia considérer dans -rr les ai^guments

o, 2r— /', 4/"— 2/', GT— 3/, kl'—l'

Les termes du premier degré non périodiques donnent l'inégalité

[22] ^K'==^2AE±^^Usm[kl'-2l-Qt-e).

L J 2/1 — Zin 4-a +,9 ^ j ri

et ceux du premier degré en /il"—2l' ne donnent encore que des termes non périodiques.

Quant aux termes du second degré en 2I" ~ /', les inégalités qui en résidtent se déduisent de la formule [17], traitée comme on a traité plus haut les formules [1 1] et [ 1 2]; il vient ainsi

I 1 ni' y à' j

[2:^1 Ml"=l 2 2n-MÏ + a"+g M siu [M' ~ 2I - gt ~ ^).

On déduira pareillement de la formule [20] l'inégalité que produira fargument 6 /' ~ 3 / , et cpii sera

r ,1 .,,/ 2mV«'lF'B'+iG'B")X'-(G'B' + 3H'B")X"Tv/r • i,v , , q\

2/1 A// = ^- -^ ^— -7^ — F-r ^Msm a/ — 2/ — fl/ — 6 .

Relativement à l'argument Ix f — /, si l'on pose

1 ô fx \ a- a I

on aura les termes

I J[(i^2^/«2)cos(4r-/) + 2Msin(/if-/)l [25] ^'=i^ -2K[(M'-/J/')cos(/ir-/) + (M" + ^/r)sin(4r-/)] [, "' ^ " f -f 3Li [(r-^- r^) cos [kï' - l) + 2//7."sin (4/"- /)]

lesquels conduisent à l'inégalité r ^1 .,„ ^ mv/^ JB-RB"-(RB-3L,B")X",, . /,., , . ^^

2 0 A/t=— 2 ^ 7-r- — „,' Msm 4/ — 2/— (// — p .

Les inégalités du second ordre, du premier degré et à deux petits diviseurs, qu'on vient d'obtenir pour les éléments /«,//,//', et les inégalités analogues des éléments /c, A', U\ dépendant toutes du même angle k^ — 'il, peuvent être réunies en une seule pour

chaque satellite : il en résultera un groupe de formules toutes pareilles aux formules [9], et que nous écrirons sous la forme

[2']]]Mi=y'Msm{M'-2l-gt-§), Mî-

(A//'=/Msin(4/'-2/-^/-|3), Ar=

Les coefficients j, y\ y" sont relatifs à la racine g; ceux cp.u se rapportent à la racine gi seront désignés par Ji, j(, jï, et ainsi de suite. Pour en déterminer les valeurs, il faut connaître celles des coefficients nouveaux contenus dans les formules qui précèdent ; les logarithmes de ces coefficients, qui sont exprimés en degrés comme les moyens mouvements, sont donnés dans le tableau suivant :

Tableau XLV.

COEFFICIENTS

LOGARITHMES

COEFFICIENTS

LOGARITHMES

3,4io3

Au moyen de ces valeurs , on obtient pour les coefficients j, j', . . . ,

Sav. étrang. t. XXX.