S VI
INÉGALITÉS DES LONGITUDES ET DES RAYONS VECTEURS, DU TROISIÈME ORDRE PAR RAPPORT AUX MASSES.
19. Pai^nii les inégalités du troisième ordre par rapport aux masses qui affectent les longitudes et les rayons vecteurs des satellites, considérons en premier lieu les
a. Inégalités provenant des puissances et produits des pertui^hations du premier et du second ordre.
Elles sont exprimées, pour le premier satellite, par les formules (5i) (i'"'^ partie, p. 99). Observons cpie dans la seconde de ces formules on a, par mégarde, au coefficient de sin (4/ — àl)-,
écrit — 3 -4- B au lieu de — 3 — B^ n- n
Les formules relatives au second satellite peuvent se déduire de celles-ci par la simple addition d'un accent aux coefficients ainsi qu'aux éléments de satellites. On y introduira ensuite, au lieu des multiples de l'angle 2/"— 2/', ceux de /— /', au moyen de la relation 2/"- 2/'= 180°- (/-/').
Les formules ainsi obtenues permettront, à leur tour, de former celles qui se rapportent au troisième satellite, par la nouvelle addition d'un accent.
Quant au quatrième, les termes de provenance pareille sont tous négligeables. D'ailleui^s, pour cliarpe satellite, on peut continuer à négliger, comme on l'a fait dans les formules (^9) (p. 98),
les termes de même espèce qui dépendraient des excentricités et ceux qui proviendraient des variations des grands axes.
Les trois nombres D, D', D" qui entrent dans les expressions à évaluer, et qui ne dépendent pas des unités choisies, ont pour loo^arithmes les noniljres respectifs
D. . . 4,34281, D'. . . 4,65428, D". . . 5,94026. On obtient les résultats suivants :
Tableau XL VIII.
LONGITUDE
RAYON VECTEUR
ARGUMENT
COEFFICIENT DU SINUS
COEFFICIENT Dlj COSINBS.
1'" satellite
M'- kl
o",io5
— o,ooooo3o6
2^ satellite
il - 2/'
o,ooooo3o6
3^ satellite
o",oo5
et, en outre, les termes constants des rayons vecteurs, utilisés par avance au numéro 2 ci-dessus,
St=— 0,00000527, ^^'=—0,00004094, St"^— 0,00000084.
En procédant comme pour le second ordre, on trouverait d'au 1res termes non périodiques dans les rayons vecteurs, mais ils sont insensibles.
b. Inégalités des longitudes moyennes et des grands axes.
20. Considérons maintenant les perturbations du troisième ordre des éléments. Le degré actuel d'approximation ne nous permet plus de rejeter sans examen, comme on l'a lait dans la première partie, tous les termes dépendants des excentricités; il s'en trouve, en effet, parmi les inégalités des moyens mouvements des trois premiers satellites, qui présentent par compensation quatre petits diviseurs et cp.ii acquièrent par là une certaine importance.
Pour obtenir quatre petits diviseurs dans une inégalité du troisième ordre affectant l'un des moyens mouvements, il Tant d'abord en introduire deux, par l'emploi de deux inégalités du premier ordre ou d'une inégalité du second; les deux autres proviendront de l'intégration finale , si l'argument est devenu l'un des angles 2/'—/, 2/'—/', ou de leurs multiples. Les seules inégalités que l'on pourra employer à cet effet, pour ne pas dépasser le premier degré, sont celles des éléments A, A, //, . . . , données par les formules {2I1), {So) , [<^] et [2-]] (1''^ partie, p. 66 et 99; présent mémoire, p. 65 et 89); par suite, le terme de départ devra luimême dépendre de l'un des angles 2/'—/, 2/"—/', ou de leurs multiples, et l'argument final sera dans tous les cas l'un des deux angles 2/'—/, lï'—ï.
Quand il s'agit du premier satellite, les termes de départ à choisir dans l'expression de -7^ sont ceux qui présentent l'un des arguments
oJ-U kï~2l et 31, kï'-L
Les termes du premier degré en 2/ — / peuvent s'écrire [28] f = 3n)[A4-!;;j^(A:+M:)r]sin(2/'-/)--[A/,-!2^(A:+M:)/,']co,s(2/'-0J; par l'emploi des formules [27], ils donnent
[XXXIV] ap = --|^.[Aj'-^(A: + M:)/]Msln(./'-/-,//-^).
Cette expression donne, pour les diverses valeurs de g, les coefficients respectifs
Les termes du second degré en lit— 2/ peuvent s'écrire ( 1 ■■•= paitie, p. 70)
i ^==-37ifr^(A-^-A^)-2C^(M^-M^)+^rr;^(r--r)1sin(d/-2/)
y '- m\Ja J
\hk
(g7) (kh'-i-hk') + ^' [T;^ 2h'k'] cosiM'- 2/
L'expression li^—h^ donnera, par les variations de k et de h, la suivante
S¥-§li'-{-2[kLk~hMi),
où l'on mettra pour Sk et Sh la somme des inégalités [2 h) et [9], savoir
(ÎA = Bsin(2/'-/)+^Msin(/i/'-2/-^/--^),
^A = Bcos(2r-/)+xMcos(/ir-2/-^f-|3), pour h et k les valeurs ( 1 3 )
/i = Msin(^f + |3), Â: = Mcos(^f + (3),
et pour AA, AA les valeurs (5o)
A/i = -Dsin(2r-/), A^ = -Dcos(2/'-/).
On traitera d'une manière semblable les autres expressions , et il
viendra finalement l'inég^alité
(fïï7riB+(p:i)B>-^(cî^B+nT^B>'
msja
[XXXV] { ("--+9") I +(^D+(5^D-)^™v^((^D + Q^D,);^-
«i \Ja — i— — j
xMsin(2/'-/-^?-|3).
theortp: des satellites de JUPITER. 95
qiii donne les coeHicients respectifs
Les autres termes de -f- qu'il faut considérer sont du troisième
degré. Prenons d'abord ceux d'argument 2/'— /, et posons, comme dans la première partie (p. io3),
m an y-
R^„^^^ = (Pe3 + Qee'-)cos(2/'-/^'îïr) + (ReV+Ue'')cos(2/'-/-'nr') + SeVcos (2 /'— /— 2tff4-'C5') +Tee'-cos (2 /'— /— 21:5 -1-tir),
les lettres F, Q,R,S,T désignant les mêmes expressions, et la
lettre U désignant la suivante
On aura dans -^ les termes
T(/,^4/,2) + Q(//-2|^/2j^S(ÂÂ^'+M')][A-sin(2/'-/)-Acos(2/'-/) ^, \ +p(/,2,/,.2)|u(r^+P)+T(/.7/+M')] [//sin(2/'-/)-/i'cos(2/'-/)l
dt'
+ S(M'-A^')[Acos(2/-/) + /^ sin(2r-/)] -T(/.//-M')[A'cos(2/'-/) + A'sln(2/'-/)]
Pour en tirer des termes de f espèce cherchée, on ne fera usage que des formules (i3) et (2 4). La règle à suivre revient à celle-ci : en premier lieu, remplacer les facteurs A , A , //, k par les valeurs (24) dans chaque facteur du second degré de cette expression, et par les valeurs (1 3) dans chaque facteur du premier degré; en second lieu, remplacer les facteurs A ,/.,//', A' par les valeurs (2/1) dans chaque facteur du premier degré, et par la somme des valeurs (i 3) et (24) dans chaque facteur du second degré.
jl vienl ainsi rinégalité
[XXXVll
[PB2-2SBB'+(Q-T)B'^]
sin(2/'-/-^/-(3),
('i-2/i+5frj+[-(I^S)B2-2TBB'+UB'-^]A' (jiii donne les coefficients
0,000, o",oi7, 0,039, o'',02i.
Pour les ternies d'argument 6/'— 3/, si Ton pose encore, comme dans la première partie (p. 100),
!!i^R,,,,j = Ee3cos((3/'-3/-3'ny)4-FeVcos(6r-3/-2'cî-tïy')
— Gec'-cos(G/'— 3/— 'çr~2'cj')+Hc'^cos(6/'— 3/— 3'nî'),
on ama les termes
-[E(A-^-/r-^) + G(//2-P)][A-sin(6/'-3/)-Acos(6/'-3/)]\ + {2¥M+2Gh'k')[l, cos(6/'-3/) + /i sin(6/'-3/)] + [F [k' - li')^R(k'-'-h"')][l/sm{6I'~ 3/) - //cos(6r- 3/)] - (2FM+ 2HA7.') [//cos(6r- 3/) + //sin (6/'- 3/)]
On en tire, par Temploi des formides (2 4) «t (i3), en appliquant la règle énoncée plus haut, l'inégalité
[XXXVII] 3-p
3EB^+2FBB' + GB'^) -(FB2+2GBB'+3HB'^)X'
sm
In — 2n -^gf
(jui donne les coefficients
Fnlin, pour les termes d'argument f[t" - /, on aura les formules toutes ])areilles à celles qui se rapportent à l'argument équivalent 6/'— 3/, et (ju'on pourra en déduire en changeant les quantités
[XXXVIIl] B-p= ^"
n — 1 n -\- çj f
sin(2/'-~/-<//-|S).
respectivement dans les suivantes :
Il vient anisi la nouvelle inéofalité
(3IB^^2JBB" + KB"^) -(JB^--2KBB"+3LB"2)y
laquelle donne les coefTicients insignifiants
// // o",oi4, o",oo8.
Dans la théorie du second satellite, les termes de -tt qu'il faudra considérer successivement sont :
1° ceux du premier degré en 2/'—/ et 2/"—/';
2" ceux du second degré d'arguments Ixï — 2/, kl" ~- 2/';
3" ceux du troisième degré qui dépendent des angles 'il —l, 2/"-/', 6/'- 3/ et 6/"- 3/'.
Les termes du premier degré d'argument 2Ï—I peuvent se mettre sous la forme
rsal ^ = 6.'rf-^Ai^-A:A^')sin(2/'-/)-(^A/z-A:A')cos(2/'-/^
^ ^ "'■ \-\m\ja ' \m\/a' / '
on en tire, par l'emploi des formules [27], l'inégalité
laquelle donne, pour les quatre valeurs de g, les coefficients respectifs
— o",oo5, o",oi6, -o'',o67, — o",o35.
La formule relative à l'argument 2/"—/' se déduira de la formule [XXXIV] en y mettant, explicitement et implicitement, les éléments du second satellite au lieu de ceux du premier, et ceux du troisième au lieu de ceux du second. L'argument devient ainsi
SaV. ÉTRA>G. t. XXX. — N° 1. l3
