XLV

Pour les termes d'argument 6/ — 3/, on obtient l'inégalité qu'ils produisent en remplaçant simplement dans la formule [XXXVII]

le facteur — Q^ par i8n' — ^; il vient ainsi

m' \Ja

i8»' mJa i (3EB2+ 2FBB'+GB'2) )

^ (n-2«+.9)SnV«'(-(FB-^+3GBB'+3HB'2)X'j ^ ''

et, par suite, les coefficients

Enfin ce qui provient de l'argument 6/' — 3/' se déduira de la même formule [XXXVII] comme on a obtenu [XLIV] au moyen de [XXXVI]; ce qui donne

( (3E'B'=' + 2F'B'B" + G'B"-^) A' L ' J P "=(„„■ + g,, i jp,g,,^ 3G'B'B"+3H'B"-i) X

'J^M-^i'-i^'jt-^y

avec les coefficients

En ce qui concerne le troisième satellite, il faudra considérer, dans l'expression de -^, les termes du premier degré d'argument

2/"—/', les termes du second degré d'argument /i/"— 2/', et ceux du troisième degré d'arguments 2/"—^/', 6/"— 3/', [\l"-~l.

Les termes du premier degré en 2/'—/' produisent une inégalité qu'on déduit de [XXXIX] par l'addition d'un accent à chaque élément de satellite ou coefficient, et un changement de signe final pour ramener l'argument 2/'- / — ^/- (S au lieu de 2/"— /'-<// — |3; il vient ainsi

[XLVII] ap"= ^^^^^. (^, A:/^ A"/) Msin{=/'-/-j/-,3),

et cette formule donne les coefficients

— o",ooi, o",o2^, — o", iGo, o",o85.

Les formules auxquelles conduisent les termes en hï'~iï et les termes du troisième degré en 2/"-/' et en 6f — 3/' se déduiront, par le même moyen, des formules respectives [XLI], [XLIU] et [XLVl; il viendra ainsi les inégalités

[XLVIII] '"—■ + «'• L'ii^(Lr^D'+(S)D")X'-((S)D'+^D")X"

XMsin(2r-/-(7/-|3),

[XLIX] j ^ ('^-=^'^' + âf)^mV^'j + [(R;-S')B''^-2rB'B"+U;B"-^]X" j

XMsin(2/-/-^^-^),

U x8n" mVg j ( 3E-B-^ + 2F-B-B-+ G-B---) X )

[L] ^ ('^-2'^' + 5'r^mVa"(-(F'B'-^+2G'B'B"+3H'B"2)r j

( XMsin(2/-/-^f-|S),

lesquelles donnent les coefficients respectifs

Enfin rinégalité qui résulte de l'argument ^l"— l se déduira de la formule [XXXVIII], mais elle ne donne que des coefficients insignifiants.

On peut observer, par la comparaison, deux à deux, de celles des formules précédentes qui sont dues aux actions nuituelles

M. SOLILLAUT.

de deuv satellites (par exemple [XXXiV] et [XXXIX], [XXXV] et [XLI], ...), que, si Ton admet les égalités approchées n = 2n\ n=2n", ce qui entraîne SKl = o, <îA"=o, on aura les relations

m \/aB-p + m'\/aB-p' = o , m y/a'B-p' + m"\/a"B-p"= o ,

savoir l'extension du théorème de Laplace au cube de la force perturbatrice.

L'ensemble de toutes les inégalités précédentes est résumé dans le tableau qui suit :

Tableau XLIX.

AUGUMENT.

LONGITUDE MOYENNE. — COEFFICIENT DU SINUS

l" SATELLITE.

2 ,!io5

— o",Oii/i 0 ,923

En prenant dans les fonctions perturbatrices les mêmes termes que pour les moyens mouvements, on obtient, pour les grands axes et pour les longitudes de l'époque, des inégalités du troisième ordre et du premier degré, comme les précédentes, mais présentant seulement trois petits diviseurs. Celles qui affectent les grands axes sont tout à fait négligeables. Celles qui affectent les longitudes de l'époque sont aussi très peu sensibles : nous les réunirons, dans le tableau suivant, à deux autres groupes de même importance, où l'on trouve aussi le premier degré et trois petits diviseurs, savoir : 1" les termes produits dans les longitudes de l'époque par l'introduction des formules (5o) dans les termes non périodiques et du

second degré que contiennent les expressions de -7- , ■^, -7-; 2° ceux

des termes des moyens mouvements dans lesquels deux niasses sont remplacées chacune par le facteur J. 11 vient ainsi, par suite des réductions mutuelles de ces divers termes, les résultats presque

insignifiants

Tableau L.

ARGUMENT

LONGITUDE MOYENNE. — COEFFICIENT DU SINU.'^

l"' SATELLITE.

il' — l - (J,t — ^,

o",oo6 o ,006 0 ,oo3

— o",oo8

2 1 . Tous les termes du troisième ordi^e que nous venons d'obtenir dépendent des excentricités. Les termes qui n'en dépendent pas ne pouvant présenter aucun des arguments 2/-/, 5/ -2/, SSIXo' - 2SfXs , ils ne contiendront pas d'autres petits diviseurs que ceux des inégalités qui auront servi à les former.

11 en existe d'ailleurs un très grand nombre qui présentent deux petits diviseurs. En premier lieu, chacun des termes du premier degré

' ff • . . j j • 1 d^p da de d-p

en e, e , e qm entrent dans les expressions de j^-iff^Yt' 'If'' ' ' '

donnera, par femploi des formules (5o) (1"^ partie, p. 99), un terme du troisième ordre et de degré zéro avec deux petits diviseurs. Les formules ne différeront des formules [XXll] à [XXVI] (voiiplus haul, p. 7.3 à 76) que par le changement des coefficients B, B', B' en — D, — D', — D" respectivement.

Les termes du second degré des mêmes expressions, cpiand on y remplace les quantités h, k, h\ ... par les expressions (24) ( r" partie, p. 66), donnent aussi des inégalités toutes pareilles à celles du premier groupe : pour abréger, je n'en rapporterai pas les formules.

lOi M. SOUILLART.

Le tableau suivant résume l'ensemble de toutes les inégalités

qu'on vient d'mdiquer

Tableau LI.