N; sin (/' - 62/ - yo ) + Nâ sin ( /' - /;.,/ - y

A" ^ - fx Vsin (l"^-^') + N" sin (/"- /;/ - y ) + N;' sin ( /"- hj-y,)

-f-Xgsin (/"— 62/— 72) +N3sin [l" —b^t -y.).

A'" ^ - pL"''^'sin {l"'-{-xp') + y sin (f- bl-~-y) + N^'sin (f- b,t y, )

+ N:sin(r-62/-72) + iN;>m(/"'-V-}J

Dans chacune de ces formules, le premier terme est de beaucoup le plus important; si les autres étaient négligeables, les plans des orbites des satellites passeraient tous constamment par l'intersection mutuelle variable de l'équateur et de l'orbite de la planète, et leurs inclinaisons sur cette orbite seraient les angles respectifs, à peu près constants, fxw', pi'w', jU."a)', |!x"'w'. Laplace considère les plans ainsi définis, et il les nomme les plans fixes des satellites. En réalité, les plans des orbites se déplacent suivant une loi compliquée : pour en exprimer géométriquement la position à ime époque donnée, Laplace fait usage d'une construction qu'il a indiquée au numéro 69 du livre 11 de la Mécanique céleste, et il en simplifie encore l'énoncé au moyen de quelques dénominations. Observant que, si b est celle des quatre racines qui se rapporte au premier satellite, le nombre N se trouve alors être plus grand que chacun des nombres N', N", N"', il appelle N l'inclinaison propre de l'orbite du premier satellite sur son plan fixe, et la quantité bt-\-y la longitude du nœud ascendant de cette orbite sur ce plan.

Pareillement, en désignant par by, b^, b^ les racines qui se rapportent, respectivement, au deuxième satellite, au troisième, an

quatrième, les nombres N| , No, N3 sont appelés les inclinaisons propres des orbites de ces satellites sur leurs plans jixes respectifs, et les expressions hj.-\-y\, b^t-^-y^, b^t-\-y^ les longitudes des nœuds de ces orbites sur les mêmes plans.

Ces inclinaisons propres et ces longitudes des nœuds ont été déduites des observations par Delaml3re, ainsi que le déplacement 61 du nœud du second satellite; mais nous ne savons pas sur quels principes repose cette détermination. Il se trouve que l'inclinaison propre N de l'orbite du premier est insignifiante, et cette circonstance fait disparaître le second terme dans cliacune des formules (XXIX).

De même que pour la question des longitudes. Damoiseau a reproduit toute cette tbéorie, en adoptant des valeurs un peu différentes pour les données déduites des observations, sans s'expliquer sur la détermination de ces nouvelles valeurs. Ici encore, d'ailleurs, il ne rapporte pas explicitement les expressions définitives dont il a fait usage; mais on peut les reconstruire au moyen des formules qu'il donne, dans V Introduction des Tables, relativement à la demi-durée des éclipses.

L'expression qui y est désignée par M est, pour chaque satellite, la quantité ^ de la Mécanique céleste, c'est-à-dire le produit

de la latitude par le facteur ' ^ , p' étant faplatissement de la

section de fombre (aplatissement que Damoiseau confond avec celui du méridien de la planète) et jS le mouvement synodique moyen du satellite pendant la demi-durée moyenne d'une éclipse dans le voisinage des nœuds.

Les valeurs de fangle jS adoptées finalement par Damoiseau étant, d'après le Mémoire manuscrit, les nombres respectifs

345ii",20, 2i73i",28, i3/ii6",8o, 7665", 887,

on pourra aisément retrouver les coefficients des formules qui expriment les latitudes elles-mêmes. Mais les nombres qu'on ob-

tiendra ainsi sont relatifs au cas des éclipses; poui' avoir ceux: des formules générales, on devra en détacher les coefficients de certains termes dont rargumenl, aux autres époques, est différent de la longitude moyenne.

L'Inlrodaction donne, pour les termes des quantités 'C ((iTil faut ici considérer, les expressions suivantes :

^ =o,J/i5/i2Asin (/ — n) — 0,001097 sin (/ — Al) — 0,0002 28 sin (/— A2),

r = 0,545574 sin (/'— n) — 0,083957 sin (/'—A,) — o,oo53i8 sin (/' — A^)

— 0,00 1 089 sin (/' — A3),

r = 0,86455 1 sin (/"—II) + o,oo4656 sin (/"— Aj) — 0,0 52 532 sin (/"—A..)

— 0,008979 sin (/"- A3),

^"^ 1,327853 sin (/'"—II) + 0,000222 sin (/'"— Aj) + 0,020/178 sin (/'"— Ao)

— o, i 19283 sin (/'"— A3),

dans lesquelles les lettres II, A|, Ao, A3 désignent respectivement (suivant la notation de Damoiseau, cpie nous adopterons pour un instant relativement à ces angles) la longitude du nœud ascendant de l'équateur de Jupiter sur son orbite .et les longitudes des nœuds ascendants des orbites des deuxième, troisième et quatrième satellites sur leurs plans fixes respectifs. Ces diverses longitudes sont relatives à l'époque prise pour origine, et elles sont comptées à partir de Téquinoxe terrestre moyen relatif à cette époque; en les évaluant d'après les données de Y Introduction, on obtient, jwur te 1"' janvier 1850 et relativement à l'é(/uinoxe terrestre de 1850, les valeurs

Sav. étp.ang. l. XXX. — N° 1. 18

M. SOUILLAUT.

Si l'on i-epasse des expressions de ^, T, tudes elies-nièmes, il vient

à celles des lali-

■ 1 1 o37",/i3 sin (/—II) — 35",o52 sin (/—Ai) — 7",285 sin (/ — Ao), 1 0977^,275 sin (/'—II) — ] 689",449 sin (/'— Al) - io7",ooi sin(/'— A2)

— 2o",9o5 sin (/'— A3) , 1 o739",775 sin (/"—II) + Ô7",839 sin (/'—Ai) — 652",572 sin (/"— A2)

— 1 1 r',5/n sin (/"— A3), 9428",6/i8 sin (/'"- U) + i",576 sin (f- A^) + 1 /i5",35o sin (/'"- A,)

-8/i6",63osin(/"'-A3).

Ces formules se rapportent au cas des éclipses, et par suite leurs coefficients englobent ceux des termes des latitudes dont l'argument est celui de Véveclion; dans son Mémoire manuscrit. Damoiseau a trouvé pour ceux-ci les valeurs suivantes :

1 "satellite. — o",909 sin (2J^ — / — II),

2^= satellite. - 2^,802 sin (2j^- /'- II) + 0", i 8/i sin (2^- /' - A,),

3^ satellite. - 6",35o sin (2j^- /"- II) + o",2 1 1 sin (2J^- /"- A2),

/i« satellite. - 1 3",Go7 sin (2 J^- /'"- 0) -t- o",63/i sin (2 J^ -/'"- A,

D'après cela, les termes des expressions générales des latitudes qui ont poiu argument la longitude moyenne , pris avec les valeurs définitives que Damoiseau a adoptées pour leurs coefficients, sont les suivants :

A =iio38",3/|sin(/-Il)-35",o52sin(/-Ai)-7",2 85sin(/-A2), A' = 1 o98o",o77 sin (/' — H) — 1 ()89",4/i9 sin(/' — Aj) — 1 07^,00 1 sin (/'— A2)

— 2o",9o5sin (/'— A3), A"= 1 07AG", I 25 sin (/"- n) + 57",839 sin (/"- A,) - 652",783 sin (/"- A2)

- 1 1 1 ",5/| 1 sin (/"— A3), A'"- 9/|38",255 sin (/'"- II) + 1 ",576 sin (/'"- Ai) + 1 /|5",35o sin (/"'- A^)

~8A7",2 64sin (/'"— A3).

On tire de ces expressions les inclinaisons des plans des orbites des satellites sur le plan fixe et les longiliides de leurs nœuds ascendants sur ce même plan, comptées à partir de l'équinoxe terrestre moyen de 1850, tous ces cléments se rapportant au i"^ janvier 1850 , à midi moyen. On obtient les valeurs suivantes :

(p^=2 35 32,79, 0'„ = Z\ 1 Zk 1 i,i3,

H reste à évaluer les angles Wo, 'i'o. au n.oyen desquels nous définissons la position de Téquateur de Jupiter à l'origine du temps.

L'auf^le 180° — '^/'o représente la longitude du nœud ascendant de cet équatcur, c'est-à-dire l'angle désigné plus haut, d'une manière transitoire, par la lettre II : on aura donc

;f;^ = i34°/i4'57",552 ou ;l/o- 2 25''i5'2",/i/i8.

Quant à l'inclinaison de l'équateur sur l'orbite , sa valeur en 1 760 est, d'après \ Introduction , égale à 3Vi'5"; d'ailleiu-s son accroissement annuel est de o",022793/i (nombre de Laplace, conservé par Damoiseau dans son Mémoire manuscrit). On aura donc, en i85o.

Or./' "

Wo = 3Vt7 ,279.

b. Iimjalilcs séculaires des inclinaisons et des lungiludes des nœuds.

27. Les inégalités séculaires qui affectent les inclinaisons et les lonoitudes des nœuds s'obtiendront par la résolution des deux systèmes d'équations (65) et (67) (1"^ partie, p. i 28 et i3o).

140 M. SOUILLARÏ.

Considérons d'abord le groupe (67), et comme les valeurs des inconnues fx, (j.\ fx", jU,'" sont toutes très voisines de l'unité, posons

fjL= 1 —V, fx'= 1 -v\ ... ;

les équations se changeront alors dans les suivantes :

identiques à celles qu'ont traitées Laplace et Damoiseau. Comme nous avons obtenu, pour les divers coefficients [o], (o, i), (0,2), . . . des valeurs à peu près identiques à celles qu'a employées Damoiseau, nous devons obtenir aussi pour les nombres v, v\ v'\ v" à peu près les mômes valeurs. En partant des noml^res qu'il donne, savoir :

V = 0,00066767 1 , v' = o,oo584 1 894, i'" = o, 02702^9 1 ,

et y faisant les corrections convenables, nous trouvons les suivantes :

1»' = o,oo584i 62/i,

d'où résultent, pour les inconnues primitives, les logarithmes respectifs

tiikofup: des satellitf:s de jupiter. ui

fX. . .

m fX . .

Nos équations (65) sont pareillement identiques à celles que Laplace et Damoiseau ont données pour le même objet, et, par suite, nous devrons retrouver à peu près les solutions de Damoiseau, lesquelles, d'ailleurs, diffèrent peu de celles de Laplace. Damoiseau s'est dispensé de calculer celle des valeurs de Targumenl b qui se rapporte au premier satellite, par cette raison cpie ïincUnaîson propre de l'orbite de ce satellite sur son plan fixe a été trouvée insensible; pour celle qui se rapporte au second satellite, il adopte, à l'exemple de Laplace, la valeur que Delambre a déduite des observations, et enfin il calcule les deux autres. Les solutions données par Damoiseau et par Laplace fournissant déjà des valeurs très approchées de chacune des quatre racines, il sera plus rapide, pour en avoir les valeurs définitives, d'employer, de préférence à toute autre, la méthode des approximations successives, telle que Ta pratiquée Laplace. Nous avons obtenu ainsi les solutions suivantes, à côté desquelles nous rappelons celles de Laplace et de Damoiseau, chacune des racines étant exprimée en degrés, et supposant comme unité de temps le jour moyen :

Tableau LVIII.

Première racine.

I^aplare.

6 = — 0", 1 /il 00(32, — o", 1 /;c)79'i I ,

M. SOUILLARÏ.

7 = — 0,o3/|22oG8,

Deuxième racine.

Laplacc.

Damoiseau.

Troisième racine.

Laplace. Damoiseau.

62 == — 0^,006991 926, -o'\oo699i9o5, — o",oo6992558,

o,i64oo3o, o,i6388i4,

Oaatriènie racine.

Laplace. Damoiseau.

63 = — o°,ooi 893482 1, —o°,oo 1893053, —o",ooi 893631 , ^, = o,()() 19722 18, 0,0019866, 0,001971316,

28. Il reste à dùtcrmiiior les diverses constantes N et y qui (ignrenl dans les intégrales (66) ou (68) ( i** partie, p. 1 28 et 1 3 1).

THÉORIE DES SATELLITES DE .lUPlTER. Ikà

Pour cela, posons

N;=a-;Ni, n;=^I-\, nt^ct'în,, ^=(7'^,, N.ï=o-:^N2, n:=^'^N2, n;=<7;n3, n'^-=<t;'N3, n';:=<7';n3.

Les nombres (t', (t", t", (T^, ... sont déterniinés par les rapports ci-dessus des coefficients relatifs à chaque racine; ils ont pour logarithmes les nombres suivants :

Tableau LIX.