JI

7 2^(^0 ^-(^=^-^^)^ g£ = 1^' '^ fl aA/'' sin (il'-iî)-2 ^, sin (Z'-hI

Va> fj. ^^ fx J

Dans ces formules, il faut joindre aux termes qui contiennent le facteur m'y les termes analogues dus à l'action des deux autres satellites perturbateurs. La lettre i doit d'ailleurs recevoir toutes les valeurs entières positives et

négatives, exceiM la valeur i=o, qui ne donne rien dans ~ et ^, et à laquelle on a eu éo^ard dans ^.

° dt

Les formules relatives aux autres satellites se déduiront des précédentes par des échanges convenables d'éléments. Pour obtenir, par exemple, dans les inégalités du second les termes dus à l'action du premier, on prendra dans les expressions précédentes les termes qui contiennent le facteur m\ et on y permutera les éléments du premier et du second : ce qui laissera invariables les quantités A^'^, mais changera A/'^ et A/**^ respectivement en — A^'^ — A/'^ et

II. Inégalités des excentricités et des longitudes des périjoves.

8, Ne voulant obtenir que les termes indépendants des excentricités et des inclinaisons, nous réduirons les valeurs générales de -^^ et ^ aux suivantes

° M dt

de II d^ d'or T I cZîî

dt 7ia^ 6 d-m ' dt na^ e de

et la fonction i2 à ses termes du premier degré relativement aux excentricités. Nous prendrons en conséquence :

+- -^ecos(?' — -Jc-) ~-ecofi( — l' + 2l — 'S7);

/y ri^ ^ ^ n' ^

— — e cos (? — TO-) — °e cos (2^ — Z— •ro-) +^ e cos ( — 2^+ 3Z — 'et) ; Ji\. 24 4 J

V ^ — e cos (Z — ■ar).

Nous obtiendrons ainsi pour ~, e~ des expressions de la forme

(a) ^=-SC sin (rf+/-.^), e'^ = se cos (c^+/-^),

C désignant un coefficient qui dépend des masses (ou de J) et des moyennes distances, c un coefficient fonction des moyens mouvements, et / la même fonction des longitudes de l'époque.

Dans la méthode de la variation des constantes., on intègre ces équations en regardant aux seconds membres les quantités C, c, /, tn- comme invariables^ ce qui donne

(&) ^e = s - cos {ct+f-'uj), eo^ = S - sin {d+f-T^) ;

mais ces formules seraient ici trop peu approchées, car l'observation constate un déplacement assez rapide des périjoves. Afin d'avoir quelque égard aux variations des angles ût, en-', . . . , nous emploierons le procédé indiqué par

14 M. SouiLLART, Théorie analytique

Poisson pour le cas analogue de la théorie de la Lune : nous supposerons ces variations proportionnelles au temps, et nous poserons, en conséquence, dans les seconds membres

Les quantités a, a', ... , seront les parties non périodiques des valeurs de ~, -!J- , . . . , dont on trouvera plus loin (n° i6) les expressions, et qui

seront alors désignées par les notations j o j, | 1 1, etc. Si l'on adopte les unités indiquées plus haut (n° 5), on aura approximativement, en faisant usage des données numériques de la Mécanique Céleste,

le premier de ces nombres est, comme on le voit, environ ^d\mombren—2n\

Pour effectuer l'intégration des équations («), nous remplacerons l'argument ct—zj par (c— a) t—zj^, ce qui introduira le dénominateur c—a au lieu de c, et nous remettrons ensuite ct—777', nous aurons ainsi

Cette modification de la méthode générale n'a donc d'autre effet que de changer légèrement les dénominateurs introduits par l'intégration ; mais ce changement, insignifiant dans la plupart des termes, acquiert de l'importance dans ceux où le nombre c est comparable au nombre a, comme cela arrive pour les termes d'argument 2I' — l.

On observera que ce mode d'intégration équivaut à celui qu'a suivi Laplace {Méc. Céleste^ liv. VIII, n° 3) : car la quantité a est précisément égale à la différence qui existe entre n et la quantité qu'il désigne par N.*

* L'égalité des quantités a et n — 'R peut se constater au moyen de leurs expressions; mais on peut aussi l'établir à priori.

Laplace détermine les inégalités du rayon vecteur par une équation qu'il met sous la forme

o =— ^ +N2 ^J +A + SB cos (ht + ft). A cause de la petitesse de l'excentricité, qui permet de négliger e^, il déduit de cette

des mouvements des Satellites de Jupiter. i^

Ce procédé ne tient d'ailleurs qu'un compte assez sommaire des variations des éléments : on suppose, en effet, le déplacement du périjove proportionnel au temps, et on n'a aucun égard, dans la deuxième équation (a), aux variations de l'excentricité. On obtient cependant par là une approximation d'un ordre bien plus élevé que par la marche ordinaire ; nous verrons en effet, au n° -^"j^ que les formules (c) comprennent déjà implicitement des termes très-importants parmi ceux qui dépendent des puissances supérieures de la force perturbatrice.

9. Lorsqu'on traite les équations {a) par le changement de variables que l'on devra employer plus loin, il se présente une singularité qu'il est bon d'expliquer. Si l'on pose

e sin -ZÂJ- = //, e cos w =Z;,

on aura

dli de ■ , rZ-sr

-rr- = -zr sm 1^ + e—- cos -sr,

dt dt dt

dk de d'Or .

dt dt dt '

et par suite il viendra les équations ;

00 | = 2Ccos(c^+/), f^ =-^C sin (d+f).

La quantité tn- ayant disparu des seconds membres, on n'a besoin, pour intégrer, de faire aucune hypothèse sur la loi de variation de cet élément ; il

équation, non-seulement les perturbations du rayon vecteur, mais encore sa partie elliptique, qui résulte alors des arbitraires introduites par l'intégration. L'intégrale est de la forme

— J = -Mcos (m + K)-— + -E-^—

M et K étant les deux arbitraires. D'après ce qu'on vient de dire, le terme —M cos (NZ + K) représentera la partie elliptique du rayon vecteur, en sorte que N/ + K sera l'anomalie moyenne ; la quantité N est donc l'accroissement, dans l'unité de temps, de l'angle que fait le rayon vecteur avec la direction du grand axe, et comme elle n'est pas égale au moyen mouvement n, on en conclut que le périjove avance dans le même temps d'un angle représenté par 7i — N.

i6 M. SouiLLART, Théorie analytique

semble donc qu'on doive obtenir ainsi des résultats plus exacts. L'intégration donne

(e) t/i = :S - sin (rf+/), Ih = S - cos (c^-+/), c c

et comme on a

^e = lit sin -ZD- + ^/j cos ra-, e^w = o7i cos w — ch sin -cr,

on retrouve pour Se' et <?8Tïr les valeurs (Z>), qui se présentent maintenant comme préférables aux formules (c).* Pour expliquer cette contradiction, et montrer le défaut du dernier calcul, observons que les équations (a) sont incomplètes: sans parler d'un grand nombre de termes périodiques, nous

avons omis dans la valeur de e y le terme aé, qui donnerait les inégalités

séculaires de ct. Les équations (t?) sont donc pareillement incomplètes ; elles devraient être remplacées par les suivantes :

(/) § = se cos {<:t +.f ) + ah, j|: = - 20 sin (c^ +/) - ali. ;

les seconds membres ne sont donc pas indépendants de ts-.

Si l'on appliquait purement et simplement la méthode de la variation des constantes, en calculant séparément les inégalités périodiques et les inégalités séculaires, on obtiendrait les mêmes résultats par les deux modes de calcul. Mais lorsqu'on veut, dans la détermination des inégalités périodiques, avoir ■égard approximativement aux variations séculaires de certains éléments, comme il y a mélange des deux espèces d'inégalités, on conçoit que la même méthode d'intégration par quadratures puisse donner des résultats dont l'approximation change avec le choix des variables.

* Les valeurs (?>) sont celles que j'avais adoptées, pour ce motif, dans mon premier travail (Essai sur la théorie analytique des Satellites de Jupiter, n° 12). J'avais été conduit par là à augmenter notablement les coefficients donnés par Laplace pour les grandes inégalités des longitudes. Les coefficients obtenus ainsi sont ceux que donne la méthode ordinaire de la variation des constantes, quand on se borne strictement à la première puissance de la force perturbatrice: on verra, au n" 37, que les coefficients de Laplacb contiennent implicitement, en outre, les plus importants des termes qui dépendent de la seconde puissance, mais qu'ils ne contiennent pas tous ceux qui sont sensibles. Il en résulte qu'en définitive les coefficients des grandes inégalités qu'on trouve dans la Mécanique Céleste doivent être, non pas augmentés, mais diminués.

des mouvements des Satellites de Jujnter. 17

On peut du reste, au moyen des équations (/), obtenir le même degré d'exactitude que par les premières ; mais il faut pour cela avoir égard aux termes ak, —ah. Si l'on intègre ces équations, regardées comme exactes, par la méthode qui s'applique aux équations linéaires avec seconds membres, il arrive précisément que les inégalités en question se retrouvent sous la forme (c) ; on a, en effet, A et B étant deux arbitraires

h = A sin af + B cos at + ^ sin (ct+f),

Z; = A cos a^ — B sin at + I.—=^ cos (ct+f).

10, D'après cela, les inégalités de l'excentricité et de la longitude du périjove que nous voulons obtenir seront, pour le premier satellite, données par les formules suivantes, où nous détachons de la première ligne le terme d'argument /— ttt qui répond à la valeur i=o :

/ de=-- — . , ,.'' (2{aA«^ + aA«) cos h7'-(î-i)^-^]

' 2 fj. m' — (t— 1)11 — a y L V / j

H «Ai«" cOS(Z — '5r)+^ cOS(l' — '^) -C0s( — l'+2l — '!^)\

+ ——3 COs(l-^)+^ cOs(2j-l-^)+^ -— C0S( — 2 J' + 3?-'nr)

fi J,^i 2n-a y 4n-2j/^+a ^^ ^ 4Sn-2j'-a ^ ^ ^ '^ ^J

+ -r COS(/-'Zzr),

à^fj. n — a

eS-ro- =:.... (changer les cosinus en sinus).

On observera, comme pour les formules (4), qu'il faut joindre aux termes provenant de l'action du sedond satellite les termes analogues dus à l'action du 3® et du 4^, et donner au nombre i toutes les valeurs entières positives et négatives, zéro excepté.

De même aussi les formules relatives aux trois autres satellites s'obtiendront par de simples échanges d'éléments, comme il a été indiqué à la fin du n° 7. Pour le second satellite, par exemple, les termes dus à l'action du premier seront,

?e'=: -l'JL- ""' — r(2i-i)a'A«-a'A «1 cos Ul-(i-i)l' -^n

+ '4- -7^(a'A^'>^ + a'A,^''^)cos(J'-^') + ^ -^, ^' cos(Z-^0+- -, , ^'cos(2/'-/-,

\e'c'sj' = . . . .

i8 M. SouiLLART, Tliéorie analytique

Nous aurons souvent besoin, par la suite, de considérer les principales de ces inégalités, relativement à chacun des trois premiers satellites : ce sont celles qui contiendront des diviseurs voisins des nombres n — 2n' et n'—2n". On les obtient pour le premier satellite en faisant z = 2 dans les formules (5). Pour le second, il faut faire i= — i dans les formules (6), et prendre en outre les termes dus à l'action du troisième ; ceux-ci sont tout pareils à ceux que produit l'action du second sur le premier, et par suite on les déduira de ceux qu'auront donnés les formules (5), par la simple addition d'un accent à chaque lettre. On aura de même les termes relatifs au troisième satellite, au moyen de ceux qu'on aura tirés des formules (6).

Après les inégalités à faibles diviseurs, les plus considérables sont celles où le coefficient J remplace une masse.

D'après cela, si l'on pose

et si l'on désigne par A'2 et A" ce que deviennent respectivement ces deux expressions, lorsqu'on y ajoute un accent à chaque lettre, les illégalités principales des excentricités et des longitudes des périjoves pour les trois premiers satellites seront données par les formules suivantes, où nous réduisons à

l'unité les fractions — -, -; — :, . • . ,

— COS (2I' —l— 'Zû) + —-

n—2n-\-a a^fi

/ce = y C0S{2l' —l—'S7)+—- cosQ — 'st),

^' cos(2V-l-^') + ^ ^\ ;Cos(2r-Z'-'tïr') + ^c;os(Z'-^'),

n-2n' + a ^ ^ aV

Quant au quatrième satellite, ses inégalités ne contiennent aucun faible diviseur et celles qui contiennent le coefficient J sont rendues insensibles par le dénominateur a'"'^.

des mouvements des Satellites de Jupiter. 19

On a déjà vu, au 11° 5, qu'il existe toujours entre les moyens mouvements des trois premiers satellites la relation n—3?z' + 272" = o, d'où résulte n' —2n" z=n—2n' . L'observation a fait recounaitre aussi que les longitudes moyennes de ces trois corps satisfont toujours à la relation l—2,l'-^2l"= 180°, et on verra, au Chapitre IV, que cette égalité et la précédente doivent être considérées comme rigoureuses. Il résulte de la dernière que l'on a toujours

Les deux premiers termes des valeurs de he' et de e'^rs' ont donc le même dénominateur et dépendent du même argument ; ils peuvent par conséquent se réunir en un seul. Si l'on pose A'^A'o + A'g, les valeurs de he' et e'8(xr' données par les formules ( 7 ) pourront s'écrire :

I oe'= " cos (aZ' — Z — 'ZD-' )+—-—- cos (T — ■nr'),

(ybis)l n-2n+a' a'V

— — — , sm(2/'-Z — w') + — n — 2/i +a a^^

e>l^'=z ___-^^__ sm(2Z'-Z-^') + -^sin(Z'-'=7').