III. Parties non pério'diques des rayons vecteurs

1 1 . Au moyen des formules du n° précédent, nous allons calculer, en premier lieu, les termes non périodiques que le mouvement troublé introduit dans l'expression du rayon vecteur. On les obtiendra, pour le premier satellite, en substituant dans l'expression

— a[i,e cos (Z — ■ro-) + ec'Er sin (Z — •sr)]

les termes d'argument /— ttt que présentent les inégalités (5) ; car la partie ^a ne contient que des termes périodiques. Désignant par r^ l'ensemble de ces termes, on aura

J ,1 Ji a3 I m'

\ a'fx 2 fx J,^ 2 n J

en omettant toujours d'écrire les termes qui proviennent des satellites m" et m'".

20 M. SouiLLAKT, Théorie analytique

La partie constante du rayon vecteur sera donc a + r^.

La quantité «, dans ces formules, est le demi-grand axe de l'ellipse qui représente le mouvement non troublé : on la déduit du moyen mouvement elliptique n par la formule

Mais cette quantité n ne doit pas être confondue avec le moyen mouvement 9?o donné par l'observation. La longitude moyenne, qui est nt+e dans le mouvement elliptique, devient {n + cr)t-\-e dans le mouvement troublé, en désignant par at l'ensemble des termes proportionnels au temps obtenus plus haut dans les perturbations de l'élément e, c'est-à-dire en posant

On aura donc n^=n-\.(j^ d'où n^n^—a.

Si l'on prend n^n^^ on obtient pour a la valeur approchée

mais la valeur exacte est

Dans les formules du mouvement elliptique, ainsi que dans le calcul des perturbations, on prend a^ et n^ au lieu de a et n (Annales de V Observatoire^ t. II, p. 31) ; mais lorsqu'on veut tenir compte des termes du premier ordre par rapport aux masses, on doit prendre

La partie constante du rayon vecteur sera donc

ou bien, en supprimant les indices, devenus inutiles puisque Ton emploie exclusivement a^ et ?^o,

des mouvements des Satellites de Jupiter. 21

par conséquent La partie non périodique des perturbations du rayon vecteur sera exprimée par la formule

.(I) .> = „(i4'^^-»'„A,""), V3 «V 6 jx J,^ 6 II J

OÙ le dernier terme est censé être suivi de deux termes pareils en m" et m'".

Cette formule est identique à celle que donne Laplace, eu égard à la différence des notations. Celles qui se rapportent aux autres satellites s'en déduiront par des échanges d'éléments, comme il a été dit au n" 7.

On verra plus loin (n°' 33, 34, 35) que le carré de la force perturbatrice introduit, dans le rayon vecteur de chacun des trois premiers satellites, quelques termes non- périodiques dont il faut tenir compte : on devra y

joindre, bien qu'il soit peu sensible, le terme (~) cIq négligé plus haut.

Dans l'évaluation numérique des moyennes distances, Laplace comprend le

terme prmcipal a . — ^ de la formule (I), et il le supprime en conséquence

dans les inégalités du rayon vecteur.

C'est ici le lieu d'observer que la réduction en nombres des formules de Laplace, laquelle est due à Bouvard, et qui est rapportée au n" 2 1 du liv. YIII de la Mécanique Céleste, présente un certain nombre d'inexactitudes. M. AiRY, dans son premier Mémoire sur la masse de Jupiter (3Iemoirs of the B. A. Society, vol. VI) a signalé, relativement à la partie constante des rayons vecteurs, les erreurs suivantes : les termes constants des rayons vecteurs ont tous été changés de signe, et, quant à la valeur absolue, on a omis de diviser par 6 ceux qui proviennent de Vactioji du Soleil.

BowDiTCH a aussi remarqué que, dans les inégalités du premier satellite, le terme constant dû à V action du second est environ deux fois trop grand.

Bessel a eu soin de corriger tous ces coefficients, dans les formules qu'il emploie pour construire une table des positions des satellites par rapport à Jupiter (Bestimmung der Masse des Jupiter, Astronomische Untersuchungen, Bd. II, ou bien Abhandlungen, Bd. III).

* Nous désignerons par des chiflVes romains les inégalités des trois coordonnées, rayon vecteur, longitude et latitude.

2 2 M. SouiLLAET, Théoùe analytique

lY. Inégalités périodiques des rayons vecteurs et des longitudes.

12. Pour obtenir les inégalités périodiques du rayon vecteur et de la longitude du premier satellite, indépendantes des excentricités, il faut substituer dans les formules (3) (n** 6) les valeurs de Sa, 8/, 8e, eStn- données par les formules (4) et (5) (n°^ 7 et 10), après avoii' supprimé dans les formules (4) le terme proportionnel au temps que présente la valeur de Se, et dans les formules (5) les termes d'argument l—zj^ déjà considérés. Il vient ainsi :

^ = - rf__^!! +-ILJ\aK^- +i ., .." aA/"] cos {U'-il)

a ii\\iit' — {^1 — 1)11 — a n — nj 2 tn —{i—i)n — a J

fi a*\n—n 2 n — a 2 211 — n — nj

/x \\in' — {i—\)n — a 2i\n — nJ J \iu —{%—ï)n — a i n — nj )

Ta -7 + ^ + 3 ; ) + ; sm (^ "0

fi a^\ji —a 211 — n— a \n — nj n — nJ

formules dans lesquelles on doit donner à i toutes les valeurs entières positives et négatives, zéro excepté, et oii l'on a encore omis les termes dus à l'action des satellites n^' et rr^" .

Pour être comparées avec les formules correspondantes de la Mécanique Céleste, ces expressions doivent être mises sous une autre forme. Modifions d'abord la première ligne de chacune d'elles, de manière à n'avoir plus à

considérer que des valeurs positives de i. Le coefficient de — cos (iV —il)

devra être alors

r ^'^ I ^'^ -, «^- "I aA^' + if ^ ^ IgA/''

\i(n' — n)-\-n—a i(^n' — n) — {n—a') n — n'j 2\ji(^^ii,' — n)+n — a i{n' — n) — (w— a)J

des mouvements des Satellites de Jupiter. 23

Pareillement le coefficient de — sin {il' — il) sera

\j{n'-n)-\-n-a i{n' -n)-{n-a) i\n-n'J} \j{n'-n)-\-n—ai(ji'-n) — {n-a) i '^iT^']

ce qu'on peut écrire

{n-ay

L i\n-n'J i\n-n'j %^{n-n'y — (ji-ay i\n-ny-{n—ay} i n-u' i^(n— n'y — (n-ay

OU encore

Le coefficient de ^ cos (^'— ^ peut de même, par un groupement

convenable, être mis sous la forme

npi-a) r ^ ^^^-"A n{n-a) / 2^'~"'\

(«' — a)(2% — w'-a)\ n — ii'J {lo — n'y - {n-ay \ n — n'J'

et celui de

sous la forme

,^ ~, Sin (l'-l),

fx a^ n — n

2(n — ay 4n(n — ay 4a(n — n')

n 2(11 — ay / , 2n \ 4n(n—n')

n — n' (n—n'y—(n — ay\ n — n'J (n — n'y—(n — (i

On peut sans inconvénient négliger la petite quantité a dans les numérateurs de ces expressions ; on peut même aussi, dans les formules (II), la négliger en même temps que la quantité J\f dans les dénominateurs des termes dus à l'action du Soleil, parce qu'aucun de ces dénominateurs ne sera

petit. Cela posé, en remplaçant l'expression — -^3 par la quantité égale ^

on pourra substituer aux formules (II) les formules équivalentes :

M. SouiLLART, Théorie analytique

- = .0, ^5-^ ^J aA,« + -aA^'^ cos OZ'-îY)

(III

a„= -'l^ -JL ir^aAo>+-- j^. ^^faA,« + -^aA«)]sin07'-^7)

on' 01 a^r 01 201^ / 2n \

fx 01 — 01' a''^\oi — oi' (?;— w')2— (?; — a)2\ oi — oi'J

siu (l'-I)

- sin (2J-2]),

OU la lettre i ne doit j^lus prendre que des valeurs entières et positives. Si l'on compare ces expressions avec celles qu'on trouve clans la Mécanique Céleste (liv. YIII, n° 3), en observant que les quantités désignées ici par A^'^ sont égales et de signes contraires à celles que Laplace désigne par la même notation (avec une particularité pour le cas de i=i)^ on verra qu'il y a identité complète.

Les formules précédentes se rapportent au premier satellite : celles qui se rapportent aux trois autres s'en déduiront comme il a été dit au n° 7. Par exemple, s'il s'agit du second satellite, et qu'on veuille obtenir seulement les termes dus à l'action du premier, on aura, suivant qu'on adoptera la forme (II) ou la forme (III), les formules

^'[\in— {1—1)01 —a' oi — oi'J 2 loi—ii—ïjn' — a' J

-■'", ^(-^+^ -^+i "',^ ,) cos (l-V),

yu cr \ 01—01 2 01 — a 2 01 — 201 -\- a'/

o.' = "'ir 'J^ +3r!}Lyia'A^o r ^! ■-î-^1(a'A^'■)^-a'A,'«)lsin(^^-^7')

H [\r/i — {i—j)oi—a' 2i\oi — n'J J \j.oi—{i—i)n' — a ^ oi — oi'j )

[ onaJ^V^n^ ^ +3Y^^y ?^"]sm(Z-n

OU les suivantes :

des mouvements des Satellites de Jupiter. 25

fi' ?i— w' i\ji-n' i^(n-ny-{n' -a'y\ ^ n-n' j\ ^ ^

/ n-n' a^\)i-n' (n-n'y-(n' -aJ^K^'^ n-n'J

sin (i-r).

13. Les rapports presque commens arables qui existent entre les moyens mouvements des deux premiers satellites, et de même entre ceux du second et du troisième, donnent des valeurs considérables à quelques-uns des termes des expressions précédentes. Si l'on fait 2 = 2 dans les formules (III), les termes qu'on obtient présentent le diviseur

4(?t — »')2— (îi — a)2 = («— 2H' + a)(3?i— 2W' — a),

dans lequel le facteur 7i — 2n' + a est très-petit, et par suite ils sont relativement très-grands. Le nombre a étant à peu près - du nombre n—in', sa

présence dans le dénominateur n—2n' + a a beaucoup d'importance, mais on peut le négliger dans le dénominateur 2,'^2 — n' — a qui n'est pas petit : on

peut, en outre, dans ce dernier ainsi que dans n — 7i\ foire ?z'=". D'après

cela, si l'on néglige dans Bu le terme qui n'a pas de faible diviseur, et qui

n'est que ~ environ de celui que l'on conserve, on obtiendra, pour les

inégalités principales du rayon vecteur et de la longitude du premier satellite^ les formules

(VI) -= ^^ COS(2^'-20, cr= ^^ sin(2/'-2/),

A étant l'expression définie plus haut (n° 10). On trouverait d'ailleurs ces mêmes formules, d'une manière directe, au moyen des formules (7) (même numéro) : il en sera de même pour les deux autres satellites.

Dans la théorie du second satellite, si l'on considère les perturbations produites parle premier, on trouve aussi un diviseur voisin de ?i— 2 ?z' : on

l'obtient en faisant z=i dans les formules (V). Il vient ainsi, en employant les mêmes simplifications que tout à l'heure, les inégalités

^' = ^, , cos Q-V), cv' = ?^^, sin (l-V) ;

si l'on considère ensuite l'action du troisième satellite, il en résultera de nouvelles perturbations, tout à fait analogues à celles que produit l'action du second sur le premier, et qui seront

h-' Ao' ^ -,,, ^7/N « , 2A9'

- cos (2l"-2l'), h'' = ^-^^ ^ sin (2P-2Z').

En vertu des deux relations déjà signalées

7i-sn' + 2n" = 0, l-sl' + 2l" = 180°,

on aura

n'-2n" + a' = n-2n' + u' et 2I" -2I' = iSo°- (l-V) ;

les grandes inégalités que produisent dans le mouvement du second satellite les actions du premier et du troisième, dépendent donc du même argument, et présentent le même petit diviseur. On peut les réunir en un seul terme, et on aura ainsi les formules :

(VII) — = —, ■ cos (l-V), cv' = — — - sin (l-V).

Enfin, pour le troisième satellite, on obtiendra des inégalités résultant de l'action du second, analogues à celles que produit dans le mouvement du second l'action perturbatrice du premier. On aura ainsi :

(VIII) ~ = ^JJ cos (V-V), ?y" = y-^ sin (V-V).

Toutes ces formules coïncident avec celles de la Mécanique Céleste.

Les grandes inégalités du mouvement des trois premiers satellites dépendent donc des arguments respectifs,

2nt — 2ïi'b + 2t — 2t', nt — 'iift-\-t — t', n't — n"t + ^'-f-",

et ont par conséquent des périodes différentes ; mais si Ton se borne à les

des mouvements des Satellites de Jupiter, 27

considérer dans les éclipses, il arrive qu'elles présentent la même période. Ce fait, qu'avaient constaté Bradley et Wargentin, est une conséquence des deux relations

■>i — 3w'4-2w" = o, nt — 2,n't + 2it"t-\-(. — 2,t' + 2i." = i8o°.

Observons, en effet, que la position de l'axe à partir duquel se comptent les longitudes disparaissant dans chacun des trois arguments, on peut choisir pour cet axe le rayon mobile mené de Jupiter au Soleil : dans cette hypothèse, les quantités n, n'^ n" désigneront (pour un moment) les moyens mouvements synodiques. Supposons de plus qu'à l'origine du temps les deux premiers satellites aient été simultanément en conjonction, il en résultera e = o, e'=o, et par suite €"=90°. Les trois arguments deviendront donc

2nt—2n't, 7it — n't, n't — n"t — ()o°.

Posons n — 2n' = n—2n" = ùi, il en résultera

272/— 2W' = Ît + W, « — »':=îi' + W, n' — n" ■= 11" -\- b) ,

et les arguments pourront s'écrire

nt + wt, n't + (t)t, n"t — go° + wt.

Cela posé, quand le premier satellite est en conjonction ou en opposition, sa longitude 72t est un multiple de 180° ; l'argument de son inégalité se réduit donc à (ût. Les deux autres arguments se réduisent de même à (ot lors des conjonctions du deuxième ou du troisième satellite.

Les trois inégalités dépendent donc alors du même angle cot, et ont la

même période — .

Pour évaluer cette période, il faut dans l'expression (o=n—2n' remplacer n et 71^ par les moyens mouvements synodiques, c'est-à-dire par n—jV et n—jl/\ en restituant maintenant aux lettres n, n' leur signification ordinaire ; on prendra donc û)=7î — 2n' + J'\ Si l'on fait usage des nombres du n'' 5, on trouve cette période égale à 43779 jours, ce qui s'accorde avec les observations.

2 8 ;M. Souillart, Jliéorie analytique