LXVII
dX=i:i:U^[8in{2l-bt-y-gt-^) + sm{bt+y-gt-^)] -fAw'2M[sin(2^+f-^/-|a)-sin(f+(//+|3)].
Appliquée successivement à chacun des quatre satellites, cette formule donne les termes suivants :
a = -o",235[sin(2/+f-^^-|S)-sin(f+^f+|S)] - o",2 I 7 [sin(2/+i//'-^2'-|3.,)-sin(;;/'+^2'+f22)] -o",i22 [s\n{2l-\-yp'-g^t-^,)-sm(\p'-hg3t-^^3)],
SX' = -l\2oà[s\n{2t + ^P'-g,t-^,)-sm{f+gJ-h^,)] ~ 2", 12 I [sin(2/'4-'>/^'-5f2/-f32)-sin(\//'+5f2^+|S2)] -i",i3/i[sin(2/'+f-^3/-ft)-sin(f+^3/+ft)] + o\iSb[iim{2l'-bj-y,-gJ~^,)^t,'m{bj+y,-g,t-^,)] -i-o",'626\jiin{2l'-bj-yi-g^t-^^)+sm{bit-\-yi-g2t-^2)] + o",i75[sin(2/'-èi/->/i-^3/-|33)+sin(6i/+yi-5f3/-ft)],
THÉORIE DES SATELLITES DE .irPITER. 151
SX"=- 1 2",o59 hm{2l"+^f^'-(J,l-^,)-sm{^P'-{-fJ,l-h^,)] - 6",3o3 [sin(2r+f -^3/-fS3)-sm(f +(/3/ + (S,)]
+ o",378[sin(2r-è2/-y-,-.73^-(33)+sln(Z»2/+y2-</3^-fe)]
Sk"'= i",372[sm(2r+f-^2^-|S2)-sin(f+^2'+(32)] -69",6oo[siii(2r+;P'-(/3/-|33)-sln(f+^3' + f33)]
-o\ii'][sm(2!"-b,(-y,-(j4-^^) + sm{b,t-\-y,-g^l-^.^] -^5\ç)2'][sm[2l"'-b,t-y,-(j,t-^,) + sm{b,t-i-y,-(j,t~^,)].
Damoiseau ne donne aucun terme de cette espèce pom^ les deux premiers satellites; relativement aux deux autres, il donne les termes
êr= i/i",3/io[sin(2r-n-'ct2) + sin(n-t:J2)]
— o", 9 9 3 [sin ( 2 /" — A2 — 'cs.,) + sin ( Ao — '5^2)] ^ Sr= 6 9", 3 3 2 [sin (2 r - n - '^^3) + sin ( n - 'U^,)]
- 6", 5 3 5 [sin ( 2 f ^ A3 -- -^^3) + sin (A3 - -^3)] .
les lettres n, Ag, A3, 'CS^, ts^ ayant la signification indiquée plus haut (p. 26 et 1 37). Ces termes correspondent approximativement, le second excepté, aux plus considérables de ceux que nous obtenons.
Quant à Terreur qui provient de la substitution des angles > et(p à leurs sinus, il n'y a pas lieu de s'en préoccuper ici pour la corriger; l'erreur relative qui en résulte est, en effet, du même orcbe de grandeur que le carré des inclinaisons, et déjà on a commis mie erreur relative du même ordre dans la détermination des inégalités séculaires des inclinaisons et des longitudes des nœuds, et par conséquent dans celle des latitudes.
Mais il faut remarquer que, par suite de cette inexactitude fondamentale, il devient illusoire de tenir compte de beaucoup des
termes rapportés plus haiil. Les inclinaisons étant voisines de 3°,
-jr^y ou du nombre plus simple ( — )"= 7-—; en conséquence, les erreurs absolues sont voisines des nombres respectifs
1 io4i "
4oo
4oo
OU envn^on
Les erreurs effectives pouvant néanmoins rester assez notablement au-dessous de ces limites, il serait excessif de négliger tous les termes des latitudes dont le coefficient n'atteint pas 26" environ; mais on pourra, sans crainte aucune, supprimer tous ceux qui ne dépassent pas 1 ".
L'ensemble des inégalités périodiques et des termes nouveaux peut ainsi se réduire au tableau suivant :
Tableau LXIII.
ARGUMENT
COEFFICIENT DU SINUS
ARGUMENT
COEFFICIENT DD SINUS
1" satellite.
fU'-'ol-b^t-y^
1 Zl'-il-b^t-y^
3" satellite.
2' satellite. <
4' satellite. {
— Gg ,600
e. Inégalités séculaires des inclinaisons el des longitudes des nœuds [second mode de calcul). — Nouvelle expression de la partie elliptique des latitudes.
31. Les résultats qui précèdent sont encore entachés d'une autre inexactitude qu il serait difficile d'évaluer a priori.
Les déplacements séculaires de l'équateur de Jupiter et ceux des plans des orbites des satellites sont déterminés solidairement par les cinq équations (64) (i'"^ partie, p. 126); mais, à l'exemple de Laplace, nous les avons calculés séparément au moven des équations (65), (67), (70), (71) et de celles qu'on en déduit. Nous avons admis pour cela, non seulement que les valeurs des coefficients N^*' relatives aux quatre racines 6, b^, 69, ^3 sont insensibles, ce qui n'est pas douteux, mais que l'on peut aussi négliger les coefficients N"^, ce qui est bien moins exact.
On peut, a posteriori, obtenir pour les coefficients N" des valeurs approchées, en introduisant dans la dernière des équations (64) les nombres du tableau LXI (p. i/i6); il vient ainsi, pour ces coefficients, les logarithmes respectifs
]N'^..-3,3/^o5, Nr.. . -0,2066, .N.7...-o,5o52, N;'..,-o,5207,
lesquels sont comparables à ceux du même tajoleau.
Comme d'ailleurs cette nouvelle cause d'erreurs n'a rien de comnum avec celle qui provient de la suppression des termes du troisième degré dans les équations différentielles, il convient de la faire disparaître en traitant les équations (6/1) elles-mêmes, après y avoir négligé seulement les termes en N'*^; ce qui donne
o = -(è + [5])N + (o,i)N' + (o,2)N"+(o,3)r+(o)r', o = (i,o)N-(6 + |T])N'+(i,2)N"-f (i,3)N'" + (i)N"\ [62] ( o = (2,o)N + (2,i)iV-(6 + H)N"+(2,3)r + (2)N", o = (3,o)N + (3,i)N' + (3,2)V'-(6-f[3])N'" + (3)r-,
Sav. ÉTHA>G, t. XXX. — N° 1. 20
lUPniUEnie nauosale.
Nous avons tout d'abord à évaluer les nombres (1'^'= partie, P- 1 19)
©SaC — A — Bm2 r-\ SaC — A — Bm'/2 /-n SsC — A — B(v>'2
Comme on a, d'autre part,
(les nombres fx, fx, . . . redevenant ici les quantités 1 4- m, 1 -\-m\ . . . ), il en résulte les relations
^^^"^Mq)=J3,2C-A-B)®- /^^VaM0-J3(2G-A-B)®- •••'
que l'on peut écrire sous la forme
mfx / \ J 4iC ^ ni [x' / \ J ^JC ^-n
"^ ^*^^^^3 3(2C-A-B)^' ir7r^^/'~y?V3 3(2C~A-B)'^' *••
D'après les valeurs adoptées pour les moyennes distances, les quatre expressions
n V II ^a ^ a -a
ne sont plus tout à fait égales entre elles ; on leur trouve les logarithmes respectifs
dont la moyenne est 6,9620046. Convenons de prendre ce dernier nombre pour logarithme commun de ces quatre expressions, c'est-à-dire pour logarithme commun de la conslantey,- posons en conséquence
log/== 6,96200/16.
Reprenant les nombres r, c\ c'\ c" définis plus haut (p. i^A),
et posanl, en outre,
on aura la série de relations
Laplace a trouvé poiu' valeur du rapport ri le nombre
0,14735, et, pour évaluer la vitesse i de la rotation de Jupiter, il a adopté comme durée de cette rotation oJ,4ï377, nombre assez voisin de celui que Scbmidt a obtenu il y a quel{|ues années. Adoptant ces mêmes nombres, on trouve pour l'expression r", dont la valeur numérique dépend essentiellement des unités clioisies, et pour les quantités (o), (T), . . . , qui seront exprimées en secondes sexagésimales, les logarithmes suivants :
rv
32. Les valeurs qu'on a trouvées, au n° 27 ci-dessus, pour 6, />i, 62, 63, quand on considérait les équations (65), fournissent déjà pour chacune des racines correspondantes une première approximation, et il suffit de quelques essais pour arriver à deux valeurs consécutives de h cj[ui soient presque identiques. Relativement à
la racine è, , nous prendrons pour première valeur approchée le nom])re
bl^ = — 0°,00000 22 05l5,
donné par la formule
( 1 ""^ partie , p. i 3 3 ) , ou la formule équivalente
Nous avons obtenu les résultats suivants :
Tableau LVIII his.
Première racine.
liésultats précédents.
— o^i4ioo62,
Seconde racine.
6i = -o°,o33oi 186, -o'\o3298567,
Troisième racine.
Résultats précédents.
5^__ 0^,00702 i5ii9, -o^oo699.l926,
^= 0,006076725, o,oiii:U288,
Quatrième racine.
5^__ 0^0019006390, -o",oo 18934821, ii,__ 0,001 7 17928, +0,001972218,
^ = o,oo3632793. "
Cinquième racine.
br.
LUX no m ores a =
N' „ N" cédenimenl, ajoutons les suivants :
> défi
mis
pre-
anisi
qu€
cr, =
(To =:
