DÉPLACEMENTS DE L'ÉQUATEUU DE JUPITER
34. En adoptant le premier mode de calcul des inégalités séculaires, nous avons reconnu (1"^ partie, p. 1 32- 1 87), avec Laplace, c|ue l'inclinaison de l'écjuateur de Jupiter sur le plan fixe est constante, à ce degré d'approximation, et cjue son nœud descendant rétrograde, dans le temps t, de la cjuantité — b^t, dont la valeur est o**,ooooo22o5 1 5 t (voir plus liant, p. i56); tandis que son inclinaison sur l'orbite actuelle et la longitude de son nœud descendant sur cette orbite, mesurée à partir de sa position initiale, sont données par les formules (76)
w' = «o + B/, yb' = -ht--t.
Ces expressions donnent
La variation annuelle de l'angle w', savoir o, 02/1 2 9, s'accorde sensiblement avec le nombre o",o2 2 7934 adopté par Damoiseau
'II1E0I\IE DES SATELLITES DE .lUPITER. 167
dans son Mémoire manuscrit; ce dernier nombre est d'ailleurs équivalent au nombre o ,070300 donné par Laplace. Mais il y a désaccord formel sur la valeur de ^p'. Laplace a trouvé [Méc. céleste, 1. VllI, n" 9 3), pour le déplacement des équinoxes de Jupiter sur son orbite, une précession annuelle de
résultat que Damoiseau a adopté sans modification ; nous trouvons, au contraire, un mouvement direct égal à o",0 7io.
La différence de ces conclusions provient de ce que Laplace s'est borné à une première approximation dans l'évaluation du nombre 64
[qu'il désigne par — „ ^^ j. Il a employé en effet, pour ce calcul,
les valeurs provisoires qu'il avait d'abord obtenues pour les masses des satellites, et en même temps les valeurs cjue lui a fournies une première évaluation des nombres i», v', v\ v'\ qu'il désigne par X, V, X", X" [Méc. céleste, 1. VllI, n" 2 3). En refaisant le même calcul avec les valeurs corrigées des masses qu'il donne plus loin, au numéro 28, et les valeurs plus approchées des nombres A, A', X", X", qu'il o])tient au numéro 29, on trouve pour le nombre ^p la valeur 8,9772 au lieu du nombre primitif 9^8788; en continuant à adopter pour - la valeur 9^0629, il vient, au lieu du mouvement rétrograde annuel de 0^,8259, un mouvement direct de
Avec les masses de Damoiseau et les nombres v, v\ v\ /'qui en résultent, nous obtenons 64 = — o°,ooooo2 2o5 1 5, d'où l'on conclut pour ip la valeur 8^,9492 3; d'autre part, le nombre - que nous obtenons, rapporté aussi à l'année julienne, est
2",97o6 = 9", 1684, résultat un peu supérieur au noml)re de Laplace; la variation jinnuelle de '^' devient alors — o\i\ 92 ou — o",07 1 o, comme on l'a indiqué plus haut.
En ce qui concerne les déplacements de l'éqiiateur de Jupiter, Damoiseau s'est borné, dans son Mémoire manuscrit, à adopter les nombres de Laplace. Pour compter la longitude -^p' à partir de Féquinoxe terrestre mobile, dont il admet le déplacement annuel égal à oc ", 1 , il prend pour variation annuelle de l'angle \p' la quantité 5o", 1 — o",2676 = 49,832/1, ce qui donne o*',oooo3789824 pour la variation diurne. Dans l'Introduction de ses Tables, il modifie léoèrement ce dernier nombre, sans indication sur ce changement, et il prend o'^ooooSySSgô/i- La valeur de yp\ telle qu'on peut la déduire des données rapportées dans l'Introduction, est ainsi
/ étant compté en jours moyens à partir de 1700.
C'est par cette formule que nous avons calculé la valeur de cet angle pour le i^'" janvier 1800, savoir l'angle
D'après nos calculs, au contraire, le mouvement annuel de f équinoxe de Jupiter par rapport à féquinoxe terrestre mobile est
ce qui donne le mouvement diurne o°,oooo38 1 5576.
Si Ton faisait usage de ce mouvement diurne, au lieu de celui que donne Damoiseau, pour obtenir la valeur de yp' relative à i85o, on trouverait l'angle un peu différent
La formule deviendrait, en conséquence,
>^' = 2 25"! 4'2 7",46 — o°,oooo38 15576/, / étant ici compté à partir de 1 85o.
THEOniE DES SATELLITES DE JUPITER. 169
La différence des deux valeurs de Tangle \p^ n est pas suffisante pour modifier les valeurs des constantes A, B dans les chiffres que l'on a conservés; mais les valeurs des quantités p'J, q'J changeraient un peu, et par suite il en serait de même pour celles des diverses constantes N et y, quel que soit celui des deux modes de calcul que l'on adopte pour les inégalités sécidaires des inclinaisons et des longitudes des nœuds.
Quand on adopte le second mode, la position de l'équateur de Jupiter par rapport au plan fixe est déterminée, à l'époque ^ par les formules
w sin ;f/ = 2^ N"' sin [ht + y) ,
— w cos ;f/ = 2J N"' cos [ht + y) .
Le signe 2 devrait s'étendre, théoriquement, à la fois aux cinq racines b, b^, h.j, 63, 64 relatives aux orhites des satellites et au plan de l'équateur de Jupiter, et à celles qui se rapportent aux orbites des diverses planètes; mais en procédant comme on l'a fait dans la première partie (p. i33-i3G), si Ton forme les équations
fj) sin (;// + b^t) = N^' sin y^ + N" sin [bi + y- b^t) + • . .
- bi^Jdt^^ W cos [bt + y- b,t) , (jô cos {\p + 64/) = - N4' cos 74 - N" cos [bi-\-y- bj) - • • •
- b, fdi 23 NW sin (bt + y- b,t) ,
qui ne sont autres que les équations (72) complétées, on reconnaît que les intégrales contenues dans les seconds membres resteront négligeables pendant plusieurs siècles, en sorte qu'il suffira d'avoir égard aux cinq premières racines. Il vient ainsi les deux formules
wsin;// =//— 1 ",599 sin [bit+yt) — 3", 1 2 3 sin [b^t+y^)
— 2",9/i8 sin(63/+y3)+ 1 io/i3",53sin (64^+74), [71] {
œcosyp = //— 1 ",599 cos (6i<+yi) — 3", i 2 3 cos (62/ H- y..)
— 2 ",9 48 cos (63^+73)4- 1 I o43",53 cos (64/ + ^4),
Sav. étrang. t. XXX. — N» 1 . 22
IMMIMtHH ii«Tia:<
M. SOLILLART.
dans lesquelles il faut remarquer que l'angle \p, conune chacun des angles y^, y<^, y^, y^, est compté à partir de l'équinoxc terrestre de 1 85o.
Pour obtenir Tinclinaison w' de l'équateur sur l'orbite actuelle, et la longitude — ^p' de son nœud descendant sur cette orbite mesurée aussi à partir del'équinoxe terrestre de i85o, on prendra les formules
rjô' sin yp' = w sin yp — A
ÉQUATIONS SÉCULAIRES ET INÉGAUITÉS À TRES LONGUES PÉRIODES DES LONGITUDES DES SATELLITES.
35. Les équations séculaires des longitudes et leurs inégalités à très longues périodes ont été exprimées (i''^ partie, p. i/i8) par la formule (XXXVII), qui se rapporte au premier satellite, mais qui peut, par des échanges convenables d'éléments, être appliquée aussi à chacun des trois autres. Cette formule suppose qu'on a employé pour la détermination des latitudes le premier mode de calcul; le second mode donnera des formules un peu pkis exactes, cpie nous examinerons plus loin.
Si l'on considère d'abord les termes proportionnels au carré du temps, on les trouve tous insensibles, même pour le quatrième satellite, ainsi que l'avait reconnu Laplace. Les coefficients respectifs qu'on o])tient sont
— o",oooooo698,
— o",oooo 1 3/i 1 o,
— o",oooo ] 9760,
— o",oooo/i77 1 9,
le temps étant ici exprimé en années juliennes, et les nombres relatifs aux trois premiers satellites ayant clé modifiés par les termes du second ordre dus à faction mutuelle de ces satellites. Celui de ces coefficients qui se rapporte au quatrième satellite est assez voisin du nombre — o",oooo/i37o trouve par Laplace. Considérons ensuite les inégalités à longues périodes, dépendantes des arguments hl+y-\-^^^\ h^ij^y^^-^\ ^ données, pour le preujier satellite, par les expressions
-[/i[o]|:x+6(o)(i-pL)]w'S^sin(6/+)/+f)-^fxw'2Xsin(6f+y+f).
On en tire, pour les quatre satellites, les résultats suivants, où l'on a eu égard encore aux termes du second ordre relativement aux trois premiers :
ARGUMENT
LOîsGITUDE MOYENNE. — COEFFICIENT DU SINUS.
l" SATELLITE.
a' SATELLITE.
Ces coefficients, quand on les exprime en secondes de temps, à raison des divers mouvements synodiques, reproduisent à peu près les nombres obtenus par M. Adams dans le supplément au Nautical Almanac pour 1881; les petites différences tiennent à cette circonstance que M. Adams a dû employer pour les coefficients N les valeurs trouvées par Laplace.
Les inégalités précédentes, qui sont ducs à faplatissement de Jupiter et à faction perturbatrice du Soleil, sont les seules que Laplace ait jugé devoir être sensibles; mais il n'est pas permis de négliger les Inégalités toutes pareilles qui proviennent des actions
mutuelles des satellites, et dont l'expression est, d'après la formule (XXXVII), pour l'action du second satellite sur le premier,
j -\-m Posons, pour abréger,
na
les nouveaux termes à considérer dans l'expression de ^e seront les suivants :
2(pi-f;L')(o,i)a)'2il^sin(6f+7-j-f)-2(fx-f;i'')(o,2)w'2^sin(è^+y+f)
- 2 [fx-fi!") (^) w'2^"sin {bf-hy+^f^')
On aura pour chacun des autres satellites des expressions semblables.
Les nouveaux coefficients (o,i), (0,2), (o,3) et les coefficients analogues relatifs aux autres satellites seront, comme les moyens mouvements, exprimés en degrés et rapportés au jour moyen; ils ont alors pour logarithmes les nombres du tableau suivant :
Tableau LXIV.
COEFFI- CIENTS.
LOGAnrTIlMES.
COEFFI- CIENTS.
LOGARlTn.MES.
COEFFI- CIENTS.
LOGAniTH.MES.
COEFFI- CIENTS.
LOGiniTIlMES.
2,oio53
En considérant successivement l'action que chaque satellite éprouve de la part des trois autres, et ayant toujours égard aux termes du second ordre relativement aux trois premiers, on ob-
tient les inégalités nouvelles, dépendantes des mêmes arguments que les précédentes:
ARGUMENT
LONGITUDE MOYENNE. - COEFFICIENT DU SINUS
l" SATELLITE.
V+yi + f
Kt + 7. + ^'
L'ensemble de ces inégalités et des précédentes donne le tableau suivant :
Tableau LXV.
ARGUMENT
LONGITUDE MOYENNE. — COEFFICIENT DU SINUS
l" SATELLITE.
a° SATELLITE.
Kt + 7-2+i' M + 73+f
0 ,3io
La formule (XXXVII) a été bornée aux inégalités qui précèdent, en raison du facteur w' qu'elles contiennent; mais les inégalités de même provenance où ce facteur est remplacé par Tun des coefficients N, N', . . . , et qui ont été négligées a priori, suivant l'exemple de Laplace, sont encore assez sensibles. On trouve pour celles-ci, relativement au premier satellite, les expressions
