LIVRE PREMIER. liS

d'une intégrale définie. L'intégration de l'équation (i) aux différences finies est donc ainsi ramenée à l'intégration de l'équation (2) aux différences infiniment petites et à une intégrale définie.

Considérons présentement l'équation (3) et faisons d'abord S = o.

Si l'on suppose que Sj, -r^? ^2"' ' * " deviennent nuls au moyen d'une

même valeur de x, que nous désignerons par h, et qui soit indépendante de .ç, il est clair qu'en supposant C nul, cette valeur satisfera à l'équation (3), et qu'ainsi elle sera une des limites entre lesquelles on doit prendre l'intégrale /Sj9 dx. La supposition précédente a lieu visiblement dans les deux cas de Sj = x^ et de ^j = c-^-^; dans le premier cas, l'équation ^ = o, et dans le second cas, l'équation ^r = oc rendent

nulles les quantités Sy, -~t-> ~j~'Ç^ — Pour avoir d'autres limites de

l'intégrale J^y^ dx, on observera que, ces limites devant être indépendantes de s, il faut, dans l'équation (3), égaler séparément à zéro les

coefficients de ty, -^^ --o ce qui donne les équations suivantes :

Ces équations sont au nombre de i, si i est l'ordre de l'équation différentielle (2); on pourra donc éliminer, à leur moyen, toutes les constantes arbitraires de la valeur de cp, moins une, et l'on aura une équation finale en Xy dont les racines seront autant de limites de l'intégrale ffyr^dx. On cherchera par cette équation un nombre de valeurs différentes de X, égal au degré de l'équation différentielle (i). Soient <7, q^*K q^^\ ... ces valeurs; elles donneront autant de valeurs différentes de 9, puisque les constantes arbitraires de ç, moins une, sont déterminées en fonctions de ces valeurs. On pourra ainsi représenter

les valeurs de 9 correspondantes aux limites q, q^^\ q^^\ ... par BX, B(OxM), B'2'^(^^ ..., B, B^'), B^^^ ... étant des constantes arbitraires, et l'on aura, pour la valeur complète de 7^,

fs = B/ô/ ldx-{- B(o/aj >.() ) dx- + B(^)/ô/ X(2) dx-h...,

l'intégrale du premier terme étant prise depuis œ = h jusqu'à x = q, celle du second terme étant prise depuis a^ = h jusqu'à x — q^'\ et ainsi du reste. On déterminera les constantes B, B"^ ... au moyen d'autant de valeurs particulières de j^.

Supposons maintenant que, dans l'équation (3), S ne soit pas nul. Si l'on prend l'intégrale J^y^dx depuis £r = A jusqu'à x égal à une quantité quelconque p, il est clair que l'on aura G = o, et que S sera ce que devient la fonction

lorsqu'on y change x en p. Ainsi, pour le succès de la méthode précédente, il est nécessaire que S ait la forme de cette fonction. Faisons, par exemple, ty = x\ et

en comparant cette valeur de S à la précédente, on aura

X devant être changé en/? dans les seconds membres de ces équations, dont le nombre est égal au degré de l'équation différentielle (2). On pourra donc, à leur moyen, déterminer les constantes arbitraires de la valeur de 9, et si l'on désigne par ^ ce que devient 9 lorsqu'on a ainsi