LIVRE PREMIER

cette équation prendra la forme

dèr i

En représentant généralement j^ par f}iy(^dr, les deux formes que l'équation (r) prend dans les suppositions de ly = œ' et de ^j = c-"' seront comprises dans la suivante

s=/,..(Ma,.N§:- + .>^fH-Q

dx'^

M, N, P, Q, ... étant des fonctions de ^'indépendantes de la variable s, qui n'entre dans le second membre de cette équation qu'autant que ^y et ses différences en sont fonctions.

Maintenant, pour y satisfaire, on intégrera par parties ses différents termes; or on a

§:N,</. = arN,-/ôr^</x.

l'équation précédente devient ainsi

■' ■' l ^ dx ^ dx-^ dx' ^^--J

•^ L dx dx-' • J

ar L ^ dx

(^ étant une constante arbitraire.

OEuvres de L. — VU.

Puisque la fonction cp doit être indépendante de s et par conséquent de Sj, on doit égaler séparément à zéro la partie de cette équation affectée du signe /, ce qui partage l'équation précédente dans les deux suivantes :

Mtp

c +ôjrN

dx dx'^ dx^

dx dx-

^3) /• ^ dx L '

d- oy .^

La première de ces équations sert à déterminer la fonction ç, et la seconde détermine les limites dans lesquelles l'intégrale /^j^p dx est comprise.

On peut observer que l'équation (2) est l'équation de condition qui doit avoir lieu pour que la fonction différentielle

soit une différentielle exacte, quel que soit fy; et dans ce cas l'intégrale de cette fonction est égale au second membre de l'équation (3); 9 est donc le facteur en x seul qui doit multiplier l'équation

pour la rendre intégrable. Si 9 était connu, on pourrait abaisser cette équation d'un degré, et, réciproquement, si cette équation était abaissée d'un degré, le coefficient de ^j, dans sa différentielle divisée par Mdx, donnerait une valeur de 9; cette équation et l'équation (2) sont conséquemment liées entre elles, de manière qu'une intégrale de l'une donne une intégrale de l'autre.

La valeur de 9 étant supposée connue, on aura celle de r^ au moyen